數(shù)學(xué)專題突破九：圓錐曲線

1、高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題圓錐曲線（一）典型例題講解:例1、過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程 命題意圖 本題利用對(duì)稱問(wèn)題來(lái)考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng) 知識(shí)依托 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問(wèn)題，對(duì)稱問(wèn)題 錯(cuò)解分析 不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤 恰當(dāng)?shù)乩煤脤?duì)稱問(wèn)題是解決好本題的關(guān)鍵 技巧與方法 本題是典型的求圓錐曲線方程的問(wèn)題，解法一，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜

2、率的等式 解法二，用韋達(dá)定理 解法一 由e=,得,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1 右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1 解法二 由e=,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓C的

3、方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直線l y=x過(guò)AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1 若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 例2、已知雙曲線C 2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn) (2)若Q(1，

4、1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在 命題意圖 第一問(wèn)考查直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，歸結(jié)為方程組解的問(wèn)題 第二問(wèn)考查處理直線與圓錐曲線問(wèn)題的第二種方法“點(diǎn)差法” 知識(shí)依托 二次方程根的個(gè)數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式 錯(cuò)解分析 第一問(wèn)，求二次方程根的個(gè)數(shù)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)的討論 第二問(wèn)，算得以Q為中點(diǎn)弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了 技巧與方法 涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化 解 (1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理

5、得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當(dāng)2k2=0,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn) 綜上知 當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn) (2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2

6、x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得 2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在 例3、如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列 (1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=

7、kx+m，求m的取值范圍 命題意圖 本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識(shí)，一、二問(wèn)較簡(jiǎn)單，第三問(wèn)巧妙地借助中垂線來(lái)求參數(shù)的范圍，設(shè)計(jì)新穎，綜合性，靈活性強(qiáng) 知識(shí)依托 橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法 錯(cuò)解分析 第三問(wèn)在表達(dá)出“k=y0”時(shí)，忽略了“k=0”時(shí)的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系 技巧與方法 第一問(wèn)利用橢圓的第一定義寫方程；第二問(wèn)利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問(wèn)利用m表示出弦AC的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0,利用y0的范圍求m的范圍 解 (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故橢圓方程為=1 (2)由

8、點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出 x1+x2=8 設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得94+25y0()=0 (k0) 即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立) 由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0

9、=y0 由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB(B與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得y0,所以m 解法二 因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4)(k0)將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0 (當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一) 例4、如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程 命題意圖 本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程 知識(shí)依托 利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)

10、的軌跡方程 錯(cuò)解分析 欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題 技巧與方法 對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程 解 設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng) 設(shè)Q

11、(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 （二）鞏固練習(xí) 一，選擇題1橢圓的焦距是它的兩條準(zhǔn)線間距離的，則它的離心率為（）AB.C.D.2若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,則的值為（ ） A B C D3設(shè)定點(diǎn)M（3，）與拋物線y2=2x上的點(diǎn)P的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d2，則d1+d2取最小值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（0,0）B.（1，）C.（2,2）D.（）4拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)P（m,3）到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A.y=4

12、B.y=4C.y=2D.y=25設(shè)F（c,0）為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)F的距離的最大值為M，最小值為m，則橢圓上與F點(diǎn)的距離是的點(diǎn)是（）A.（）B.（0，）C.（）D.以上都不對(duì)6 . 已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于 ( )A. B. C. 2 D. 47斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )A 2B C D 8 已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A 圓B 橢圓 C 雙曲線的一支D 拋物線9.P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓長(zhǎng)軸

13、的垂線，垂足為M，則PM中點(diǎn)的軌跡方程是（ ）（A） （B） （C） （D）10. 設(shè)A1、A2是橢圓=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為( )A B C D 11.P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（0,-1），點(diǎn)M在直線PA上且分PA所成的比為2：1，則點(diǎn)M的軌跡方程是（ ）（A） （B） （C） （D）12.已知兩點(diǎn)M（2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足0，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為 ( )A.B.C.D.二，填空題13. 直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若過(guò)點(diǎn)P且以雙曲線12x24y2=3的焦點(diǎn)作橢圓

14、的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為_ 14. 在拋物線y2=16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_ 15. A是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使OPA=,則橢圓離心率的范圍是_ 16. 已知拋物線y=x21上一定點(diǎn)B(1，0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BPPQ，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_ 17 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_18.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_ 三，解答題19、設(shè)橢圓

15、的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率.已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,求這個(gè)橢圓方程.20、已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（I）求雙曲線的方程；(II)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)的重心，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線使平分線段。試證明你的結(jié)論。 21、已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程 22、如圖，弧為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且ODAB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|

16、+|PB|的值不變 (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；(2)過(guò)D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)=，求的取值范圍 23、已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R (1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值 24、如圖，已知點(diǎn)，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)， 過(guò)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)

17、，Oyx1lF已知，求的值；解答一. 選擇題題號(hào)123456789101112答案BDCCBC CABCAB二. 填空題13. =1 14. 8xy15=0 15. e1； 16. (,31,+)17. 4x2+4y285x+100=0 18. 三. 解答題19、 解:設(shè)橢圓方程為, 為橢圓上的點(diǎn),由得 若,則當(dāng)時(shí)最大,即, ,故矛盾. 若時(shí),時(shí), 所求方程為 20、解（I）設(shè)所求的雙曲線方程為且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以所求所求的雙曲線方程為。(II)由條件的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)坐標(biāo)為假設(shè)存在直線使平分線段設(shè)的坐標(biāo)分別為 得又即的方程為 由 消去整理得所求直線不存在。21、 解 由e=,可設(shè)橢圓方程為=1

18、,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0 化簡(jiǎn)得=1,故直線AB的方程為y=x+3,代入橢圓方程得3x212x+182b2=0 有=24b2720,又|AB|=,得，解得b2=8 故所求橢圓方程為=1 22、解 (1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓 設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,a=,c=2,b=1 曲線C的方程為+y2=1 (2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0 =(20k)2415(1+5k2)0,得k2 由圖可知=由韋達(dá)定理得將x1=x2代入得，兩式相除得M在D、N中間，1又當(dāng)k不存在時(shí)，顯然= (此時(shí)直線l與y軸重合) 23、 解 (1)點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因?yàn)閘為F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c