精華：特殊平行四邊形知識歸納和題型精講精編版

1、最新資料推薦 最新資料推薦 八年級平行四邊形相關(guān)知識歸納和常見題型精講性質(zhì)和判定總表矩形菱形正方形的矩形菱形止方形性 質(zhì)邊對邊平行且相等對邊平行，四邊相等對邊平行，四邊相等角四個角都是直角對角相等四個角都是直角對 角 線互相平分且相等互相垂直平分，且每條 對角線平分一組對角互相垂直平分且相等，每條對角線平 分一組對角判定后一個角是直角；是平行四邊形且 有,個角是直角；是平行四邊形且 兩條對角線相等.四邊相等的四邊形；是平行四邊形且有一 組鄰邊相等；是平行四邊形且兩條 對角線互相垂直。是矩形，且有一組鄰邊相等；是菱形，且有一個角是直角。對稱性既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.矩形矩形定義:有一個

2、角是直角的平行四邊形叫做矩形（通常也叫長方形或正方形）.矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，矩形也是軸對稱圖形，對稱軸是通過 對邊中點的直線，有兩條對稱軸；矩形的性質(zhì)：（具有平行四邊形的一切特征）矩形性質(zhì)1:矩形的四個角都是直角.矩形性質(zhì)2:矩形的對角線相等且互相平分.如圖，在矩形 ABCD 中，AC、 BD 相交于點 O ,由性質(zhì) 2 有AO=BO=CO=DO= - AC= 1 BD ,因此可以得到 直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角22形斜邊上的中線等于斜邊的一半.矩形的判定方法.矩形判定方法1:對角錢相等的平行四邊形是矩形.矩形判定方法2:有三個角是直角的四邊形是矩形.矩形判定方法3

3、:有一個角是直角的平行四邊形是矩形.矩形判定方法4: (4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.例1已知：如圖，矩形 ABCD , AB長8 cm ,對角線比 AD邊長4 cm.求AD的長及點 A到BD的距離AE的長.例2已知：如圖，矩形 ABCD中，E是BC上一點，DFLAE于F,若AE=BC . 求證:CE=EF.例3.如圖，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF，EC,且EF = EC,DE =4cm,矩形 ABCD的周長為32cm,求AE的長.例4、如圖，在 口ABCD中，E為BC的中點，連接 AE并延 長交DC的延長線于點F.求證：AB=CF ;(2)當(dāng)BC與

4、AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【強調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2） 一組鄰邊相等.菱形的性質(zhì)性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；菱形的判定菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂 直.菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形.例1已知：如圖，四邊形 ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于E. 求證：/ AFD= ZCBE .例2已知：如圖 UABCD的對角線AC的垂直平分線與邊 AD、BC分別交于E、F. 求證：四邊

5、形 AFCE是菱形.例 3、如圖，在 口 ABCD中，O是對角線AC的中點，過點。作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F,求證：四邊形 AFCE是菱形.例4、已知如圖，菱形 ABCD中，E是BC上一點，AE、BD交于M , 若 AB=AE, / EAD=2 / BAE 。求證：AM=BE 。例5.(10湖南益陽)如圖，在菱形 ABCD中，/ A=60, AB=4,O為對角線BD的中點，過O點作OELAB,垂足為E.(1)求線段BE的長.例6、(2008四川自貢)如圖，四邊形ABCD是菱形，DELAB交BA的延長線于 巳DFLBC, 交BC的延長線于F。請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證

6、明你的猜想例7、( 2008山東煙臺)如圖，菱形 ABCD的邊長為2, BD=2, E、F分別是邊AD, CD上的兩個動點，且滿 足 AE+CF=2.(1)求證： BDEA BCF;(2)判斷 BEF的形狀，并說明理由；(3)設(shè) BEF的面積為S,求S的取值范圍三.正方形最新資料推薦 最新資料推薦圖5 正方形正方形是在平行四邊形的前提下 有一組鄰邊相等的平行四邊形 有一個角是直角的平行四邊形 正方形不僅是特殊的平行四邊形,定義的，它包含兩層意思:(菱形)(矩形)并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.正方形定義：有一組鄰邊相等 并且有一個角是直角 的平行四邊形 叫做正方形.正方形是中心對稱圖形，對稱

7、中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱 圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對邊平行，四邊相等；角：四個角都是直角；對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的 夾角是45。；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊 性質(zhì).正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì).正方形的判定方法:? (1)有一個角是直角的菱形是正方形；? (2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形

8、.? 注意：1、正方形概念的三個要點：?(1)是平行四邊形；?(2)有一個角是直角；?(3)有一組鄰邊相等.2、要確定一個四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.O, E是OB上的一點，DGLAE例1已知：如圖，正方形 ABCD中，對角線的交點為于G, DG交OA于F.求證：OE=OF.例2已知：如圖，四邊形 ABCD是正方形，分別過點 A、C兩 點作11 / 12,作BM L1于M , DN ,11于N ,直線 MB、DN分別交12于Q、P點.求證：四邊形 PQMN是正方形.例3、( 2008海南)如圖，P是邊長為1的正方形 ABCD對角線AC上一動點(

9、P與A、C 不重合)，點 E在射線BC上，且PE=PB.(1)求證： PE=PD ; PEXPD;(2)設(shè)AP=x, APBE的面積為y.求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值范圍；當(dāng)x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.例4. ( 2006年河南省)如圖，梯形 ABCD43, AD/ BC, AB=AD=D C E為底邊BC的中點，且 DE/ AB,試判斷 ADE的形狀，并給出證明.例5: ( 2008深圳)如圖，在梯形 ABCD中，AB / DC, DB平分/ ADC ,過點 A作AE / BD ,交CD的延長線于點 E,且/ C=2/ E.(1)求證：梯形 ABCD是等腰梯形.

10、EDC(2)若/ BDC =30 , AD =5,求 CD 的長.例題講解例一.分析：(1)因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想， 解決直角三角形中的計算， 這是幾何計算題中常用的方法.解：設(shè)AD=xcm，則對角線長(x+4)cm,在RtAABD中，由勾股定理：x2 +82 =(x + 4)2,解得 x=6 .則 AD=6cm .(2)直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式：AD .EEF為正三明形（3）解：設(shè)尸=EF=h,D甘則S-3 MH *痢160*二呼工當(dāng) BEJAD 時,

11、上.小=2Xsin60*=G,:.S*） 呼蟻）?當(dāng)BE與AB重合時,工.* = 2,： 去= 乂 2=71 4正方形 例1 分析：要證明 OE=OF,只需證明 AEOA DFO,由于正方形的對角線垂 直平分且相等，可以得到/ AOE=/DOF=90 , AO=DO ,再由同角或等角的余角相等可以得 到/ EAO=/FDO,根據(jù)ASA可以得到這兩個三角形全等，故結(jié)論可得.證明：:四邊形ABCD是正方形，/ AOE= / DOF=90 , AO=DO （正方形的對角線垂直平分且相等）.又 DGLAE,/ EAO+/ AEO= / EDG+/ AEO=90 ./ EAO= / FDO . AEO

12、DFO.OE=OF.例2 分析：由已知可以證出四邊形PQMN 是矩形，再證 ABM DAN ,證出AM=DN ,用同樣的方法證 AN=DP .即可證出 MN=NP .從而得出結(jié)論.證明： PNXli, QM li,PN / QM , / PNM=90 .PQ/NM,四邊形PQMN是矩形. 四邊形ABCD是正方形/BAD=/ADC=90 , AB=AD=DC （正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）Z 1 + 7 2=90 .又 /3+/2=90,/1 = /3.AABMDAN .AM=DN , 同理 AN=DP .AM+AN=DN+DP即 MN=PN .四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的

13、矩形是正方形）例3 (1)證法一：四邊形ABCD是正方形，AC為對角線, BC=DC , ZBCP=Z DCP= 45.PC=PC, APBCA PDC (SAS). PB= PD,/PBC=/PDC.又 PB= PE , PE=PD.(i)當(dāng)點E在線段BC上(E與B、C不重合)時,PEXPD. PB=PE,. /PBE=/PEB,. /PEB=/PDC,. Z PEB+ ZPEC= Z PDC+ /PEC=180,. / DPE=360 -( / BCD+ / PDC+ Z PEC)=90 ,. PEXPD.)(ii)當(dāng)點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時, (iii)當(dāng)點E在BC的

14、延長線上時，如圖. / PEC= ZPDC, / 1 = /2,. Z DPE= ZDCE=90 ,. PEXPD.綜合(i) ( ii) (iii) , PEXPD.(2)過點P作PFBC,垂足為F,AP=x, AC= 22 ,貝U BF=FE.PC= 2 - x, PF=FC=22_. 2BF=FE=1-FC=1-(1 -2(2 -x) =1x)x.2Sapbe=BF即yx222 PF= 22x221x(1 x) = 一一 x22(0 x V2 ).2x.2x 二一%一二)21.22 74y 二一一 x 722a 二0，2當(dāng)x一時，2(1)證法二： 1y最大值=_ 4過點P作GF/AB,分

15、別交 AD、BC于G、四邊形ABCD是正方形，四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形, AGP和 PFC都是等腰直角三角形.GD=FC=FP, GP=AG=BF, Z PGD= Z PFE=90 . 又 PB=PE,BF=FE,GP=FE, AEFPA PGD (SAS). PE=PD./1 = /2./1 + /3=/2+ Z 3=90. /DPE=90. PEXPD.(2)AP=x,BF=PG=ax, PF=1-舊x.22 Sapbe=BF PF=三1 2-x2x(1x)x2 二 x.2221 2一一 x2221/x = 一(x22(0 x V2 ).2 141=0,2x =時,y最大值=1.24(注：用其它方法求解參照以上標準給分.)例4【解析】 ADE是等邊三角形.理由如下：AB=CD 形ABCM等腰梯形, / B=Z C.E為BC的中點， BE=CE在 ABE和 DCE中，AB = DC,.B=/C,BE =CEAB* DCE AE=DE.AD/ BC,