概率統(tǒng)計(jì)隨時(shí)增

1、 第八章 參數(shù)估計(jì)1參數(shù)估計(jì)問題假設(shè)檢驗(yàn)問題點(diǎn) 估 計(jì)區(qū)間估 計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷 的基本問題2什么是參數(shù)估計(jì)？參數(shù)是刻畫總體某方面的概率特性的數(shù)量.當(dāng)這個(gè)數(shù)量是未知的時(shí)候，從總體抽出一個(gè)樣本，用某種方法對(duì)這個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)就是參數(shù)估計(jì).例如，X N ( , 2), 點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)若, 2未知，通過構(gòu)造樣本的函數(shù), 給出它們的估計(jì)值或取值范圍就是參數(shù)估計(jì)的內(nèi)容.3參數(shù)估計(jì)的類型點(diǎn)估計(jì) 估計(jì)未知參數(shù)的值區(qū)間估計(jì) 估計(jì)未知參數(shù)的取值范圍， 使得這個(gè)范圍包含未知參數(shù) 真值的概率為給定的值.4一、點(diǎn)估計(jì)的思想方法設(shè)總體X 的分布函數(shù)的形式已知，但它含有一個(gè)或多個(gè)未知參數(shù)：1,2, ,k設(shè) X1, X2, Xn

2、為總體的一個(gè)樣本構(gòu)造 k 個(gè)統(tǒng)計(jì)量：隨機(jī)變量第一節(jié) 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)5當(dāng)測(cè)得一組樣本值(x1, x2, xn)時(shí)，代入上述統(tǒng)計(jì)量，即可得到 k 個(gè)數(shù)：數(shù)值稱數(shù)為未知參數(shù)的估計(jì)值問題如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量？對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為未知參數(shù)的估計(jì)量61、矩方法；（矩估計(jì)）2、極大似然函數(shù)法（極大似然估計(jì)）.二.點(diǎn)估計(jì)的方法 1. 矩方法方法用樣本的 k 階矩作為總體的 k 階矩的 估計(jì)量, 建立含待估計(jì)參數(shù)的方程，從而可解出待估計(jì)參數(shù)7一般地，不論總體服從什么分布，總體期望 與方差 2 存在，則根據(jù)矩估計(jì)法它們的矩估計(jì)量分別為注: 矩估計(jì)不唯一8事實(shí)上，按矩法原理，令9設(shè)待估計(jì)的參數(shù)為設(shè)總體的 r 階矩存在，記為設(shè) X

3、1, X2, Xn為一樣本，樣本的 r 階矩為令 含未知參數(shù) 1,2, ,k 的方程組10解方程組，得 k 個(gè)統(tǒng)計(jì)量：未知參數(shù)1,2, ,k 的矩估計(jì)量未知參數(shù)1,2, ,k 的矩估計(jì)值代入一組樣本值得k個(gè)數(shù):11例1 有一批零件，其長(zhǎng)度XN(,2)，現(xiàn)從中任取4件，測(cè)的長(zhǎng)度(單位：mm)為12.6,13.4,12.8,13.2。試估計(jì)和2的值。解： 由 得和2的估計(jì)值分別為13(mm)和0.133(mm)212例2 設(shè)總體X的概率密度為 X1,X2,Xn為來自于總體X的樣本,x1,x2, ,xn為樣本值,求參數(shù)的矩估計(jì)。解： 先求總體矩 13為的矩估計(jì)量, 為的矩估計(jì)值.令 14例3 設(shè)總體

4、X的概率密度為求的矩估計(jì)量 解法一 雖然 中僅含有一個(gè)參數(shù)，但因 不含,不能由此解出,需繼續(xù)求總體的二階原點(diǎn)矩15 解法二 即 用替換即得的另一矩估計(jì)量為得的矩估計(jì)量為用替換即16你就會(huì)想,只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子: 某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵,一只野兔從前方竄過.只聽到一聲槍響,野兔應(yīng)聲倒下.如果要你推測(cè),是誰打中的呢？你會(huì)如何想呢？ 這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.2、極大似然函數(shù)法17例: 設(shè)袋中裝有許多白球和黑球。只知兩種球的數(shù)目之比為3:1，試判斷是白球多還是黑球多。 分析: 從袋中有放

5、回的任取3只球.設(shè)每次取到黑球的概率為p (p=1/4或3/4)設(shè)取到黑球的數(shù)目為X,則X服從B(3,p)分別計(jì)算p=1/4,p=3/4時(shí)，PX=x的值，列于表結(jié)論:X0123p=1/4時(shí)27/6427/649/641/64p=3/4時(shí)1/649/6427/6427/64 定義1:(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x,), 其中為未知參數(shù)(f為已知函數(shù)). （2）若X是離散型隨機(jī)變量，似然函數(shù)定義為稱 為 X關(guān)于樣本觀察值 的似然函數(shù)。 20的樣本觀察值,為樣本 定義2 如果似然函數(shù) 在 時(shí)達(dá)到最大值,則稱 是參數(shù)的極大似然估計(jì)。 例1 設(shè)總體X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即有概率密度 又x1,x2, ,xn為來自于總體的樣本值，試求的極大似然估計(jì).21解 ：第一步 似然函數(shù)為于是 第二步第三步 經(jīng)驗(yàn)證，在處達(dá)到最大，所以是的極大似然估計(jì)。令22例2： 設(shè)X服從(01)分布，PX=1=p, 其中p未知， x1,x2, ,xn為來自于總體的樣本值求p的極大似然估計(jì)。解:X01P1-pp得(01)分布之分布律的另一種表達(dá)形式23令例3：設(shè)總體X服從參數(shù)為的