變分法的產(chǎn)生

1、約翰伯努利由微積分的創(chuàng)立，又產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的一些重要分支，如微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、 微分幾何、變分法等。18世紀(jì)數(shù)學(xué)家的主要任務(wù)是變分法，變分法的產(chǎn)生和 發(fā)展，最初來(lái)自三大問(wèn)題:最速降線問(wèn)題，等周問(wèn)題和測(cè)地線問(wèn)題.約翰在這些問(wèn)題 的研究中都做出.約翰伯努利(Johann Bernoulli)是老尼古拉伯努利(Nikolaus Bernoulli， 1623-1708)的第三個(gè)兒子，雅格布伯努利(Jakob Bernoulli)的弟弟.幼年時(shí)他 父親象要求雅格布一樣，試圖要他去學(xué)經(jīng)商，他認(rèn)為自己不適宜從事商業(yè)，拒絕 了父親的勸告.1683年進(jìn)入巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)，1685年通過(guò)邏輯論文答辯，獲得 藝術(shù)碩士

2、學(xué)位.接著他攻讀醫(yī)學(xué)，1690年獲醫(yī)學(xué)碩士學(xué)位，1694年又獲博士學(xué) 位.約翰在巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)期間，懷著對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，跟其哥哥雅格布秘密學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)，并開始研究數(shù)學(xué).兩人都對(duì)無(wú)窮小數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，他們首先熟悉 了 G. W.萊布尼茲(Leibniz)的不易理解的關(guān)于微積分的簡(jiǎn)略論述.正是在萊布 尼茲的思想影響和激勵(lì)下，約翰走上了研究和發(fā)展微積分的道路.1691年6月，約翰在教師學(xué)報(bào)(Acta eruditorum)上發(fā)表論文，解決了 雅格布提出的關(guān)于懸鏈線的問(wèn)題.這篇論文的發(fā)表，使他加入了 C-惠更斯 (Huygens)、萊布尼茲和I.牛頓(Newton)等數(shù)學(xué)家的行列.1691年秋天，約

3、翰到達(dá)巴黎.在巴黎期間他會(huì)見了 G. F. A. de洛比達(dá) (LHospital)，并于16911692年間為其講授微積分.二人成為親密的朋友，建 立了長(zhǎng)達(dá)數(shù)十年之久的通信聯(lián)系.洛比達(dá)以后成為法蘭西最有才能的數(shù)學(xué)家之16911692年間，約翰寫了世界上第一本關(guān)于微積分的教科書，積分學(xué)部 分于1742年出版，微分學(xué)部分直到1924年才出版.1693年約翰開始與萊布尼茲建立了通信聯(lián)系，信中就一些數(shù)學(xué)問(wèn)題交換意 見.約翰是萊布尼茲的忠實(shí)擁護(hù)者，以全被卷入了萊布尼茲與牛頓關(guān)于微積分優(yōu) 先權(quán)的爭(zhēng)論，他極力為萊布尼茲辯護(hù)，并猛烈地批評(píng)甚至嘲笑英國(guó)人.法國(guó)巴黎 科學(xué)院院士 P.瓦里尼翁(Varignon)

4、也是約翰的密友，二人之間也進(jìn)行了通信聯(lián) 系.1695年，約翰獲得荷蘭格羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)教授的職務(wù).他接受職務(wù)后，工 作特別努力，一面認(rèn)真教學(xué)，一面在微積分方面做出了許多新的貢獻(xiàn).1705年， 約翰的哥哥雅格布去世，他去巴塞爾大學(xué)繼任數(shù)學(xué)教授的職務(wù)，致力于數(shù)學(xué)教學(xué)， 直到1748年去世.由于約翰長(zhǎng)期的教學(xué)活動(dòng)和他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，受到當(dāng)時(shí)科學(xué)界的高度評(píng) 價(jià).1699年被選為巴黎科學(xué)院的國(guó)外院士； 1701年被接受為柏林科學(xué)協(xié)會(huì)(即 后來(lái)的柏林科學(xué)院)的會(huì)員；1712年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員；1724年被選 為意大利波倫亞科學(xué)院的國(guó)外院士； 1725年被選為彼得堡科學(xué)院的國(guó)外院士.他 還在巴塞爾擔(dān)任名

5、譽(yù)官職，是地方教育委員會(huì)的成員，成為當(dāng)時(shí)巴塞爾的知名人 物.約翰由于在力學(xué)、天體力學(xué)、流體力學(xué)方面的研究成果，曾分別于1724年、 1730年和1735年三次獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)賞.特別是1735年與他的兒子丹尼 爾伯努利(Daniel Bernoulli)共同完成的關(guān)于行星軌道理論的獲獎(jiǎng)文章，受到人們 的高度重視.約翰生活在17世紀(jì)下半葉到18世紀(jì)上半葉.這一時(shí)期數(shù)學(xué)上最突出的成 就就是微積分的發(fā)明與發(fā)展.由微積分的創(chuàng)立，又產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的一些重要分支， 如微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分幾何、變分法等.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家的主要任務(wù)是致 力于這些學(xué)科分支的發(fā)展，而要完成這些任務(wù)，首先必須發(fā)展、完善微積分本 身

6、.約翰就是一個(gè)對(duì)微積分和與其相關(guān)的許多數(shù)學(xué)分支都做過(guò)重要貢獻(xiàn)的人，是 18世紀(jì)分析學(xué)的重要奠基者之一.微積分學(xué)約翰首先使用“變量”這個(gè)詞，并且使函數(shù)概念公式化.1698年他從解 析的角度提出了函數(shù)的概念：“由變量x和常數(shù)所構(gòu)成的式子叫做x的函數(shù)”，記 作X或& 1718年他又改用哲表示x的函數(shù).記號(hào)f(x)是歐拉于1734年才引 進(jìn)的.約翰對(duì)一些具體函數(shù)進(jìn)行過(guò)研究，除一般的代數(shù)函數(shù)外，他還引入了超越 函數(shù)，即三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、變量的無(wú)理數(shù)次幕函數(shù)及某些用積分 表達(dá)的函數(shù).指出對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).約翰對(duì)微積分的貢獻(xiàn)主要是對(duì)積分法的發(fā)展.他曾采用變量替換來(lái)求某些函 數(shù)的積分，在

7、1699年的教師學(xué)報(bào)上給出了用變量替換計(jì)算積分約翰還提出了現(xiàn)在微積分中的一個(gè)著名定理洛比達(dá)定理(或法則)，它是用導(dǎo) 數(shù)求一個(gè)分式當(dāng)分子和分母都趨于零(或無(wú)窮大)時(shí)的極限的.這個(gè)定理是由他的 學(xué)生洛比達(dá)在1696年編寫的一本非常有影響的微積分教材無(wú)窮小分析 (Analyse des infi niment petits)中引入的，后稱為洛比達(dá)法則.這個(gè)法則實(shí)際 上是1694年約翰給洛比達(dá)的信中告訴洛比達(dá)的.1742年約翰出版了他的著作積分學(xué)教程(Lections mathematies de method integralium)，在這本書中約翰匯集了他在微積分方面的研究成果，他不僅給出 了各種

8、不同的積分方法的例子，還給出了曲面的求積，曲線的求長(zhǎng)和不同類型的 微分方程的解法，使微積分更加系統(tǒng)化.這部著作成為微積分學(xué)發(fā)展中的一本重 要著作，在當(dāng)時(shí)對(duì)于推動(dòng)微積分的發(fā)展和普及微積分的知識(shí)都起了積極的作用.微分方程 微積分的迅速發(fā)展和應(yīng)用，必然導(dǎo)致了微分方程這門新學(xué)科的誕 生.其實(shí)微分方程的發(fā)展是與微積分的發(fā)展交織在一起的.約翰在這方面也是一 位開拓者.1691年6月約翰在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表文章，解決了他哥哥雅格布提出的“懸 鏈線”問(wèn)題，即“一根柔軟而不能伸長(zhǎng)的繩子自由懸掛于兩固定點(diǎn)，求這繩所形成 的曲線”.約翰設(shè)法列出了該問(wèn)題的微分方程其中s是由B點(diǎn)到任一點(diǎn)A之間的弧長(zhǎng)，而a是A點(diǎn)處繩的張力在

9、水平方向的分量與單位繩長(zhǎng)重力的比值.通過(guò)解此方程就得到懸鏈線的方程在此基礎(chǔ)上，約翰與雅格布還在1691-1692年間解決了懸掛著的變密度非彈性 軟繩、等厚度的彈性繩、以及在每一點(diǎn)上的作用力都指向一個(gè)固定中心的細(xì)繩所 形成的形狀的問(wèn)題.約翰和萊布尼茲在1694年引進(jìn)了找等交曲線族的問(wèn)題，即找一曲線或曲線 族，使得與已知曲線族相交成給定的角.約翰稱等交曲線為軌線.他將這個(gè)問(wèn)題 作為向雅格布的一個(gè)挑戰(zhàn).雅格布只解決了一些特殊的實(shí)例，約翰導(dǎo)出了一特殊 曲線族的正交軌線的微分方程，并在1698年找到了它的解.這個(gè)問(wèn)題后來(lái)由萊 布尼茲與雅格布的學(xué)生J.赫曼(Jacob Hermann)得到較完美的解決.在

10、求解1695年雅格布給出的“伯努利方程”y，+P(x)y+Q(x)yn=01727年，約翰在一篇論文中研究了弦振動(dòng)問(wèn)題，考慮一根無(wú)重量的彈性弦， 在弦上等間隔地放置著n個(gè)等質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)放置6個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，從而證明了在任何時(shí)刻弦的形狀必定是正弦 曲線.這一事實(shí)也出現(xiàn)在約翰給他的兒子丹尼爾的信中.約翰后來(lái)還解決了一個(gè) 拋射體在阻力正比于速度的任何次幕的介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。變分法 變分法的產(chǎn)生和發(fā)展，最初來(lái)自三大問(wèn)題：最速降線問(wèn)題，等周問(wèn)題和 測(cè)地線問(wèn)題.約翰在這些問(wèn)題的研究中都做出了貢獻(xiàn).約翰在1696年6月號(hào)的教師學(xué)報(bào)上提出了一個(gè)作為向雅格布和歐洲數(shù) 學(xué)家挑戰(zhàn)的題目：設(shè)不在同一鉛直線上的兩點(diǎn)A與B，

11、使一質(zhì)點(diǎn)只在重力的影響 下從A點(diǎn)滑向B點(diǎn)，求所需時(shí)間最短的途徑(摩擦和空氣阻力不計(jì)).這就是最速 降線問(wèn)題.對(duì)這個(gè)問(wèn)題，牛頓、萊布尼茲、洛比達(dá)、雅格布伯努利和約翰伯努 利都得到了正確的解答.最速降線是一條聯(lián)結(jié)A，B兩點(diǎn)的上凹的旋輪線(又稱 圓滾線或擺線).他們的答案相同，而解法各異.除雅格布的解法外，其他人的 解法都發(fā)表在1697年5月號(hào)的教師學(xué)報(bào)上.后來(lái)歐拉和J. L.拉格朗日 (Lagrange)給出了這類問(wèn)題的一般解法.在這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，顯示了約翰 的才能，他是通過(guò)機(jī)靈的直覺(jué)解決這個(gè)問(wèn)題的.他將這一機(jī)械問(wèn)題，通過(guò)已有的 費(fèi)馬最小時(shí)間原理的分析轉(zhuǎn)化為光學(xué)問(wèn)題，從光的折射定律推出了旋輪

12、線的微分 方程.雅格布從另一個(gè)角度給出了一個(gè)較麻煩但更一般的解法.伯努利兄弟對(duì)旋 輪線是最速降線問(wèn)題的解感到驚奇和振奮，約翰說(shuō)：“我們之所以欽佩惠更斯， 是因?yàn)樗紫劝l(fā)現(xiàn)了在一個(gè)旋輪線上的大量質(zhì)點(diǎn)下落，它們總是同時(shí)到達(dá)，與質(zhì) 點(diǎn)的起始位置無(wú)關(guān)緊要.然后，當(dāng)你聽到我肯定說(shuō)旋輪線就是惠更斯的等時(shí)曲線 的時(shí)候，可能驚訝得簡(jiǎn)直發(fā)呆.等時(shí)曲線是最速降線我們看得很清楚.”在1697年5月號(hào)的教師學(xué)報(bào)上，雅格布伯努利提出了一個(gè)含幾種情形 的相當(dāng)復(fù)雜的等周問(wèn)題(即在給定周長(zhǎng)的所有封閉曲線中求一條曲線，使得它所 圍的面積最大)，作為向約翰的挑戰(zhàn).約翰開始過(guò)低地估計(jì)了這個(gè)問(wèn)題的復(fù)雜性， 沒(méi)有弄清這個(gè)變量問(wèn)題的特性

13、，所以在1697年和1701年兩次給出的解答都沒(méi) 有得到成功，這受到了雅格布無(wú)情的批評(píng).1700年5月雅格布在教師學(xué)報(bào) 上發(fā)表了關(guān)于等周問(wèn)題的解，指出這條曲線是一個(gè)圓.1718年，約翰繼續(xù)研究 了等周問(wèn)題，他沿著雅格布的思路，改進(jìn)了雅格布的解法，在科學(xué)院論文集 (Memoires de IAcademie dessciences)中約翰的論文給出了一個(gè)精確的、形式 上漂亮的等周問(wèn)題的解法.這篇論文包含了關(guān)于變分法的現(xiàn)代方法的核心，提出 了變分法的一些概念，奠定了變分法的基礎(chǔ).約翰與他的哥哥雅格布還對(duì)測(cè)地線問(wèn)題進(jìn)行了研究測(cè)地線是指曲面上兩點(diǎn) 間長(zhǎng)度最短的路徑.1697年，約翰在博學(xué)雜志(Jour

14、nal des scavans)中， 提出了在凸曲面上求兩點(diǎn)間的最短弧問(wèn)題，1698年8月26日，他還寫信給萊 布尼茲，談到他覺(jué)察到的測(cè)地線的特有的性質(zhì).1698年，雅格布解決了錐面和 旋轉(zhuǎn)面上的測(cè)地線問(wèn)題，1728年約翰又用雅格布的方法取得了一些進(jìn)展，并且 求得了另外幾類曲面的測(cè)地線.由于在最速降線問(wèn)題、等周問(wèn)題及測(cè)地線問(wèn)題的 研究中約翰的出色工作，使之成為變分法的先驅(qū)者之一.此外，約翰在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，如解析幾何等學(xué)科中，也做過(guò)一些有益的 工作.1715年約翰在給萊布尼茲的信中引進(jìn)了現(xiàn)在通用的用三個(gè)坐標(biāo)平面建立 空間坐標(biāo)系的方法，提出了用三個(gè)坐標(biāo)變量的方程表示曲面的方法.力學(xué) 約翰不僅在純

15、數(shù)學(xué)方面做了大量的工作，而且他在把微積分應(yīng)用到物 理學(xué)特別是力學(xué)和天體力學(xué)方面所作的著述，也有很高的價(jià)值.約翰對(duì)一些力學(xué)上的概念作出了準(zhǔn)確的解釋.1714年，他發(fā)表了軍艦操 作技術(shù)原理(Theorie de la manoeuvre des vaisse-aux)，在這本書中，他澄清 了笛卡兒理論中關(guān)于力與“能量”(當(dāng)時(shí)稱為vis viva)的混亂.1715年，他又提出 了所謂虛擬(virtual)速度原理。727年，他發(fā)表了論文“論運(yùn)動(dòng)的交換規(guī)律”(Discourssur leslois de la communication du mouvement)，在這篇論文中，討論了行星的橢圓軌道和

16、行星 軌道的傾斜度.但是在引力理論方面，由于他的偏見，不支持牛頓的理論，而且 為笛卡兒的旋渦理論辯護(hù)，推遲了牛頓力學(xué)在歐洲大陸的傳播.在實(shí)驗(yàn)物理方面，他研究了光學(xué)現(xiàn)象，提出了焦散面理論.在1692年的教 師學(xué)報(bào)中，他得到了某些焦散面方程，例如當(dāng)一束平行光線投射到球面鏡上時(shí)， 從球面上反射出來(lái)的光線的焦散面方程.他還把最速降線問(wèn)題的研究擴(kuò)展到了可 以確定光線在各種不同密度的介質(zhì)中所通過(guò)的路徑.他還研究了弦振動(dòng)問(wèn)題及水 力學(xué)等問(wèn)題，提出過(guò)二階甚至三階的方程.約翰伯努利是1718世紀(jì)在歐洲有影響的數(shù)學(xué)家.約翰在他的科學(xué)生涯 中，采用通信等方式與其他科學(xué)家建立了廣泛的聯(lián)系，交流學(xué)術(shù)成果，討論和辯 論一些問(wèn)題，這是他學(xué)術(shù)活動(dòng)的一大特點(diǎn).他與110位學(xué)者有通信聯(lián)系，進(jìn)行學(xué) 術(shù)討論的信件大約有2500封，這大大促進(jìn)了學(xué)術(shù)的發(fā)展.約翰一生另一特點(diǎn)是