常微分方程基本概念及其例題選講-供參考

1、一、基本概念微分方程的定義及其解的定義（解、通解和特解，以及奇解）；微分方程解的結(jié)構(gòu)（包括非齊次線性微分方程（組）與齊次線性微分方程（組）解的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系、解空間的維數(shù)和高階線性微分方程與線性微分方程組之間的等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)化等）；函數(shù)組（向量函數(shù)組）的線性相關(guān)性；微分方程的通解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是多少？判斷在整個(gè)數(shù)軸上函數(shù)組，；以及向量函數(shù)組的線性相關(guān)性 二、填空題1、一階微分方程通過(guò)點(diǎn)的特解是 ；2、若是方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程的通解是 3、若，是方程的兩個(gè)解，則 是方程的解4、設(shè)是的基解矩陣，是的某一解，則的任一解可表為 三、求微分方程的一些基本方法1、分離變量方法求解微分方程，例如

2、：；2、 恰當(dāng)方程的求解方法（積分因子）：；3、參數(shù)求解方法：4、高階微分方程的求解方法（階的結(jié)構(gòu)）：降階方法、歐拉待定指數(shù)方法（特征根方法）、常數(shù)變易方法、比較系數(shù)方法、拉普拉斯變換法等，例如：求解微分方程：；5、微分方程組的求解（基解矩陣的求法：特征根方法）：，其中四、近似計(jì)算1、方程定義在矩形域上，試?yán)么嬖谖ㄒ恍远ɡ泶_定通過(guò)點(diǎn)的解的存在區(qū)間，求第三次近似解，并給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)；2、歐拉數(shù)值方法五、證明題1、基解矩陣的驗(yàn)證等，例如：試證 是方程組在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間上的基解矩陣2、試證階非齊線性方程至多存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的解3、試證n元非齊次線性微分方程組之多有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解4、給定方程，其中在實(shí)數(shù)軸上連續(xù)，設(shè)，是該方程的兩個(gè)解，證明極限存在5、證明：如果在區(qū)間上是某一個(gè)線性齊次微分方程組的基解矩陣，那么此方程組必為并求做一個(gè)線性齊次微分方程組，使它的基解矩陣為6、證明：若和是的解，它們構(gòu)成的朗斯基行列式記為， 則滿足一階線性微分方程7、設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在區(qū)間上線性無(wú)關(guān) （注：