計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第四章統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

1、 第四章統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn) # 4.1統(tǒng)計(jì)推斷的含義總體和樣本總體是指我們所關(guān)注現(xiàn)象出現(xiàn)的可能結(jié)果的全體，樣本是總體的一個(gè)子集(例如，杭州的人口；下沙開(kāi)發(fā)區(qū)的人口)。寬泛地說(shuō)，統(tǒng)計(jì)推斷研究的是總體與來(lái)自總體的樣本之間的關(guān)系。國(guó)內(nèi)股票交易市場(chǎng)共有1500多支股票。假定某一天從中隨機(jī)選取50支，并計(jì)算這50支股票價(jià)格與收入比的平均值一即P/E比值。(例如，一支股票的價(jià)格為50元，估計(jì)年收益為2.5美元，則P/E為20；也就是說(shuō)，股票以20倍的年收益出售。)根據(jù)50支股票的平均P/E值，能否說(shuō)這個(gè)P/E值就是總體的1000多股票的平均P/E值呢？X如果令X表示一支股票的P/E值，表示50支股票

2、的平均P/E值，能否得知總體的均值XE(X)呢？此處統(tǒng)計(jì)推斷的實(shí)質(zhì)就是從樣本值均值()歸納出總體值E(X)的過(guò)程。4.2參數(shù)估計(jì)通常假定某一隨機(jī)變量X服從某種概率密度，但并不道其分布的參數(shù)值。例如，X服從正態(tài)分布，想知道其兩個(gè)參數(shù)，均值E(X)=UX，及方差v。Xx為了估計(jì)未知參數(shù)，一般的步驟是：假定有來(lái)自某一總體，樣本容量為n的隨機(jī)樣本，根據(jù)樣本估計(jì)總體的未知參數(shù)。因此,可將樣本均值作為總體均值(或期望)的估計(jì)量，樣本方差作為總體方差的估計(jì)量。這個(gè)過(guò)程稱為估計(jì)問(wèn)題，估計(jì)問(wèn)題有兩類：點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)和區(qū)間估計(jì)(intervalestimation)。假定隨機(jī)變量X(P/

3、E值)服從某一未知均值和方差的正態(tài)分布。但是，有來(lái)自該正態(tài)總體的隨機(jī)樣本(50個(gè)股票的P/E值)，如何根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)計(jì)算總體的均值uX(=E(X)和方差x2？頻數(shù)6272S?9棗10511712513414315斗165181合計(jì)：樣本育差-5-275予樣本師進(jìn)差=5.0456中ii數(shù)-眾數(shù)-11?0表4-1點(diǎn)估計(jì)X據(jù)表4-1的數(shù)據(jù)50個(gè)P/E的樣本均值為11.5，顯然我們可以選擇作為UX的估計(jì)值。X我們稱這個(gè)單一數(shù)值為ux的點(diǎn)估計(jì)值。X（注意：點(diǎn)估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)槠渲惦S樣本的不同而不同。）X某一特殊的估計(jì)值（比如11.5）的可信度有多大呢？雖然可能是總體均值的“最好的”估計(jì)值，但是

4、某個(gè)區(qū)間，比如10,更可能包括了總體均值。這正是區(qū)間估計(jì)的基本思想。區(qū)間估計(jì)），則（回區(qū)間估計(jì)的主要思想源于估計(jì)量的概率分布的概念。如果隨機(jī)變量XN（ux憶第三章中心極限定理）：XN(uX或,ZN(0,1即樣本均值的抽樣分布也服從正態(tài)分布。2Q-(XX)2如前所述，通常未知，可用其估計(jì)量S2i代替，則:xnt.Xtxs/服從自由度為(n1)的t分布。在P/E一例中，共有50個(gè)樣本觀察值，因此自由度為49。查附錄中的t分布表可得：P(2.0096WtW2.0096)=0.95也即區(qū)間(一2.0096,2.0096)包括t值的概率為95%。2.0096和2.0096稱為臨界t值,表明了在臨界值區(qū)間

5、內(nèi)，位于t分布曲線下區(qū)域的比例。X/把t代到p(2.0096WtW2.0096)=0.95中，得到:XsP(2.0096WtXl3，稱為單邊備擇假設(shè)。XHl：uXl3，也稱為單邊備擇假設(shè)。XHl：uxH13,稱為雙邊備擇假設(shè)。X為了檢驗(yàn)零假設(shè)(與備擇假設(shè))，可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(比如，根據(jù)表4-1得到的樣本平均P/E值11.5)以及統(tǒng)計(jì)理論建立判定規(guī)則來(lái)判斷樣本信息是否支持零假設(shè)。如何建立判定規(guī)則呢？有兩個(gè)互補(bǔ)的方法：置信區(qū)間法顯著性檢驗(yàn)法4.4.1置信區(qū)間法2根據(jù)表4-1提供的數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本均值為11.5?？芍笜颖揪捣木禐閡X方差為的正態(tài)分布。但是由于真實(shí)的方差是未知的，所以用樣本方差來(lái)代

6、替，在這種情況下，樣本均值服從t分布，tX。根據(jù)t分布，得到ux的一個(gè)95%的置信區(qū)間:WuXW12.36(近似值)X置信區(qū)間提供了在某一置信系數(shù)下(比如95%)真實(shí)的口乂取值范圍。因此，如果這個(gè)X區(qū)間不包括零假設(shè)中的值，比如=13,那么會(huì)拒絕零假設(shè)以95%的置信度拒絕該零假X設(shè)。從上面的討論中，可以看到置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)密切相關(guān)。用假設(shè)檢驗(yàn)的語(yǔ)言，不等式WuXW12.36X描述的置信區(qū)間稱為接受區(qū)域，接受區(qū)域以外的稱為拒絕區(qū)域。接受區(qū)域的上界和下界稱為臨界值(criticalvalues)?？梢员硎鰹椋喝绻麉?shù)值在零假設(shè)下位于接受區(qū)域內(nèi)，則不拒絕零假設(shè)。但如果落在接受區(qū)域以外(也即落在拒絕區(qū)

7、域內(nèi))，則拒絕零假設(shè)。在這個(gè)例子中，拒絕零假設(shè)H0：uX=13,因?yàn)檫@個(gè)值落在臨界區(qū)域，它比接受區(qū)域X的上界12.36大，也即這是一個(gè)小概率事件不到2.5%。簡(jiǎn)言之，如果參數(shù)值超過(guò)上臨界值或低于下臨界值，那么就拒絕零假設(shè)。4.4.2第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤在P/E例中，我們拒絕H0：uX=13,這是否意味著表41給出的樣本不是來(lái)自于均值X為13的正態(tài)總體呢？或許事實(shí)的確如此。但是不等式(10.63WuXW12.36)的置信區(qū)間的置X信度僅為95%而并非100%。如果真的如此，那么拒絕H0：uX=13,就可能能犯錯(cuò)誤。此時(shí)X犯了第一類錯(cuò)誤一一即棄真錯(cuò)誤。同樣的原因，假定零假設(shè)H0：uX=12,在這

8、種情況下，根據(jù)不等式(10.63WuXW12.36),XX我們應(yīng)該不拒絕這個(gè)零假設(shè)。但是表4-1這個(gè)樣本很可能不是來(lái)自均值為12的正態(tài)總體。此時(shí)，會(huì)犯第二類錯(cuò)誤，也即取偽錯(cuò)誤。用另一個(gè)例子進(jìn)一步闡明假設(shè)檢驗(yàn)的置信區(qū)間法。例4.2某種包裝椒鹽花生的重量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但均值與標(biāo)準(zhǔn)差均是未知的，均值的度量單位為盎司。隨機(jī)選取20包發(fā)現(xiàn)其樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為6.5盎司和2。檢驗(yàn)零假設(shè)：真實(shí)均值為7.5盎司；備擇假設(shè)：真實(shí)均值不是7.5盎司。給定99%的置信系數(shù)(或1%的置信水平，皆表示犯第一類錯(cuò)誤的概率至多為1%)。令X代表壇子中花生的重量，因此XN(u,),兩個(gè)參數(shù)均未知。由于真實(shí)X方差是

9、未知的，所以它服從自由度為19的t分布：tXt/、/2019從附錄表可知，自由度為19時(shí)，P(2.681WtW2.681)=0.99可得：P(X2.681SuX2.681S)0.99x冋X將=6.5,S=2，代入上式，我們得到了UX的一個(gè)99%的置信區(qū)間。X5.22WuXW7.78(近似值)X由于區(qū)間包括了零假設(shè)值7.5,因此，我們不拒絕零假設(shè)：真實(shí)的uX=7.5。X“產(chǎn)了產(chǎn)在此區(qū)間567Mb)It4-S對(duì)叨眈的直信呂間可詢珈的置皓國(guó)間(例4$|4_4)例4.3在例4.2中，若置信水平a為5%；即決定冒更大的風(fēng)險(xiǎn)犯第一類錯(cuò)誤。那么情況如何呢？根據(jù)t分布表，當(dāng)a=5%,自由度為19時(shí),t的臨界值

10、為-2.093和+2.093,因?yàn)镻（2.093WuW2.093）=0.95X按照例4.3的步驟，能夠求得：5.56WuXW7.44（近似值）X從中可以看出，這個(gè)區(qū)間不包括7.5,因此，拒絕零假設(shè)：ux=7.5。X兩個(gè)例子的不同之處在于后者的置信區(qū)間比前者略窄一些，后者愿意冒較大的風(fēng)險(xiǎn)去犯第一類錯(cuò)誤，即棄真錯(cuò)誤。4.4.3顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)方法的基本思想：由于tXx服從自由度為（n1）的t分布。可知X,S,n,惟一未知的是ux。但如x果設(shè)定冬為某一值，則可以求出惟一個(gè)t值，根據(jù)t分布很容易求得獲此t值的概率。如果X與uX的差（絕對(duì)值）不大，則Itl也會(huì)很小。如果X=UX，貝比值為0,在此情況

11、下接X(jué)X受零假設(shè)。因此，隨著t|值偏離0,將逐漸地趨向拒絕零假設(shè)，即根據(jù)t分布表，給定自由度，|t|值越大，則獲此|t|值的概率就越小。但在能拒絕零假設(shè)之前，最大的|t|值是多少呢？取決于置信水平.（或者理解為取決于置信區(qū)間大小），即犯第一類錯(cuò)誤的概率，以及自由度。在P/E例中，U=11.5,S=3.0456,n=50。Xt(11.513).4826令H0：uX=13,H1：uXM13,因此有XX3.0456/冋根據(jù)這個(gè)t值能否拒絕零假設(shè)？首先必須設(shè)定置信水平，假定=5%。由于備擇假設(shè)是雙邊假設(shè)，可以將犯第一類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)均分在t分布的兩側(cè)的兩個(gè)拒絕區(qū)域，如果計(jì)算的t值位于任何一個(gè)拒絕區(qū)域，就能

12、夠拒絕零假設(shè)。當(dāng)自由度為49時(shí)，在5%的顯著水平下，臨界的t值為-2.0096和2.0096,獲此t值小于或等于一2.0096的概率為2.5%，獲此t值大于或等于2.0096的概率也為2.5%。本例中計(jì)算的t值約為一3.5,位于t分布的左側(cè)拒絕區(qū)域，因此拒絕零假設(shè)。用顯著性檢驗(yàn)的語(yǔ)言，經(jīng)常遇到下面兩個(gè)術(shù)語(yǔ)：（1）檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)量）是統(tǒng)計(jì)顯著的。（2）檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)量）是統(tǒng)計(jì)不顯著的。當(dāng)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)顯著的，一般是指能夠拒絕零假設(shè)。當(dāng)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)不顯著的，是指不能拒絕零假設(shè)。4.4.4顯著水平的選擇與p值假設(shè)檢驗(yàn)的古典方法一般常用的值有1%、5%和10%，但是這些值并不是固定不變的。在實(shí)踐中常用p值（即，概率值），也稱為統(tǒng)計(jì)量的精確置信水平，可定義為拒絕零假設(shè)的最低置信水平。（反過(guò)來(lái)，即是拒絕零假設(shè)的最高置信系