線性代數(shù)(經(jīng)管類)串講資料

1、（經(jīng)管類）串講資料第四部分考點(diǎn)串講（按標(biāo)準(zhǔn)試卷題序串講）一、單項(xiàng)選擇題：1、行列式的計(jì)算本題型為歷年必考題型，其有兩種形式一種直接解答，考查其運(yùn)算能力，其次是考查如何利用性質(zhì)求行列式解，應(yīng)掌握這兩種方法：1）利用傳統(tǒng)的計(jì)算方法直接計(jì)算；2）利用性質(zhì)巧計(jì)算，主要性質(zhì)有：行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等；行列式可以按行列提出公因數(shù)；互換行列式中的任意兩行（列），行列式的值改變符號；如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零行列式或以按行（列）拆開把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得行列式值不變。2、字母型行列式計(jì)算本題型主要考查考生利用

2、矩陣行列式公式能力，主要涉及公式有：|KA|=K n |A|AB | | A| B | |A|=|B|AT | | A|4)|A1|A*|A|A* | |A|n 13、考查方陣的性質(zhì)及公式，主要是會靈活運(yùn)用公式，主要有以下公式：(A 1) 1 A(KA) 11 A 1k111(AB) 1 B 1A 1(AT) 1 (A 1)T(Ak) 1 (A 1)k4、考查伴隨矩陣的求法1)求件隨機(jī)矩陣先求出各元素的代數(shù)佘子式，再把每行對應(yīng)的代數(shù)佘子代換成對應(yīng)的例。2)根據(jù)公式：A1A*|A|A* | A| A 15、求方陣的逆距陣：求方陣的逆矩陣也有兩種方法，根據(jù)實(shí)際情況選定：1)根據(jù)公式：1 A*A 先

3、求出 A*|A|2)利用初等行變換求逆矩陣6、向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的考查這種題型有兩種考法1)利用線性相關(guān)這一已知條件可實(shí)數(shù)：如若向量組a1(1,t 1,0)a2 (1,2,0)a3 (0,0,t2 1)線性相關(guān)，則實(shí)數(shù) t 為多少？解：因?yàn)橐阎蛄拷M線性相關(guān)所以有110t120020 0t 1t12)根據(jù)線性相關(guān)和線性無關(guān)性質(zhì)關(guān)斷某些推斷的正確和否如：已知量組A: 1 , 2, 3, 4,中2, 3, 4線性相關(guān)，那么A: 1, 2, 3, 4線性無關(guān)，B、1, 2, 3, 4線性相關(guān)C、1可由 2, 3, 4線性表示D、3，4線性無關(guān)根據(jù)線性相關(guān)組的擴(kuò)充向量組必為相關(guān)組，所以造B7)考

4、查A 和 B 相似性質(zhì)：設(shè)立 A 和 B 是兩個 n 階方陣，如果存在某個n 階可逆矩陣P 使得B P 1 AP 則稱 A 和 B 是相似的，記為A BA 和 B 相似有：trA=trB8、考查線性方程組的解法：1）齊次線性方程組的解：若 1. 2是齊次線性方程組Ax 0的解，則12也是Ax 0的解若 是齊次線性方程組Ax 0 的解，k 是任意實(shí)數(shù)，則k 也是 Ax 0 的解。2）非齊次線性方程組的解：如果y1 .y2是非齊次線性方程組Ax b 的解，則y1 y2是它的導(dǎo)出組Ax 0 的解。如果 y 是非齊次線方程組Ax b 的解， 是它導(dǎo)出組Ax 0 的解，則y 必是 Ax b 的解。9、考

5、查正交向量性質(zhì)：設(shè) （ 1, 2, n）（b1,b2,bn ） Rn如果（ . ） 0則稱 和正交，記為 TOC o 1-5 h z 例：下列向量中和=（ 1、 1、 -1）正交的向量是（）A、1=（1、1、1）B、2=（-1、1、 1）C、3=（1、-1、1）D、4=（0、1、1）跟據(jù)性質(zhì)不難得出D 為正確答案10、本題一般考察由所給的二次型轉(zhuǎn)化為對稱矩陣或由對稱矩陣轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的二次型， P164本題型簡單應(yīng)該必得則必有 |A|=0則必有 |A|=011、本題仍然考查行列式的計(jì)算性質(zhì)如 | kA| kn | A|等相關(guān)公式的運(yùn)用例，設(shè) A 為三陣方陣且|A|=3，則 |2A|=23|A|=8

6、 3=2412、本題主要考查矩陣的性質(zhì)及相關(guān)運(yùn)算1)矩陣的乘法利用基本的矩法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算2)求伴隨矩陣?yán)米罨镜母拍钋蟀殡S矩陣3)求可逆矩陣1 A*利用公式A求方陣的逆矩陣|A|利用矩陣的初等變換求伴隨矩陣4)轉(zhuǎn)置運(yùn)算律(AT ) T A( A+B ) =AT+B T(kA)T KAT k為實(shí)(AB)T BTAT(AA2 Ak)TAkTKk 1T5)方陣行列式的性質(zhì) | AT | A| |kA| kn | A| AB | | A | B | (行列式乘法規(guī)則)6)可逆矩陣的基本性質(zhì)：設(shè) A, B 為同階的可逆方陣，常數(shù)k 0則 ：A 1 為可逆矩陣、且(A1) 1 AAB 為可逆矩陣、且

7、(AB) 1 B 1 A 1111kA 為可逆矩陣、且(kA) AkAT為可逆矩陣、且(AT ) 1 (A 1)T可逆矩陣可以從矩陣等式的周側(cè)消去，即當(dāng)P 為可逆矩陣地有：PA PBA BAP BPA B設(shè) A 是 n 階可逆矩陣我們記A0 E 并定義 A k (A1)k其中 k 是任意正整數(shù)則有：Ak AAk ,(Ak )Ak這里， k 和 a 為任意整數(shù)(包括負(fù)整數(shù)、零和正整數(shù))13、考查齊次方程Ax 0 的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)：設(shè) A 為 m n 矩陣， r (A) r, 則 Ax 0 的基礎(chǔ)解系中解向量個數(shù)為n-r14、考查齊次線性方程組Ax 0 有非零解的條件：者齊次線性方程組有非

8、零解，15、考查矩陣秩的求法：1）給出了已知矩陣求法矩陣的秩利用矩陣的初等行變化求秩，秩即為矩陣非零行個數(shù)，2）給出了幾個向量最后間向量組成向量組的秩，其解法是相同的1112121t3 1 的秩為 21則數(shù) t=-21 1t 11 t 11 t解： 12 103 1 t 03 1 t2 1 10 3 1 2t 0 0 2 t因秩為2， 則 t 216、考查解方程解的性質(zhì)17、考查方陣特征值的求法1）根據(jù)特征值的和等于方陣的跡，求方陣的特征值 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark204 o Current Document 022例：已知0 為矩陣 A 222 的

9、 2 重特征值，則A222。解：根據(jù)特征值的和等于方陣的跡，得：123022342）根據(jù)特征值之積等于|A|的值。例：設(shè)三階方陣A 的三個特征值為1、 2、 3 則 |A+E|=解：三階方陣的特征值為1、 2、 3 則 A+E 的特征值為2、 3、 4|A E | 2 3 4 2418、由二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型，或由標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)化為二次型19、利用二次型正定的性質(zhì)，求R 的取值范圍 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark154 o Current Document 222例：二次型f (x1,x2,x3) (k 1)x1(k 1)x2(k 2)x3 正定則數(shù)k 的取值范解

10、：第一次先將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型 HYPERLINK l bookmark107 o Current Document k1000k10 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 00k2第二次列式k10 HYPERLINK l bookmark113 o Current Document (k 1)(k 1) 0k 2(k 2)(k 1)(k 1) 020、一般考查向量內(nèi)積的性質(zhì)：向量內(nèi)積有以下基本性質(zhì)：對于TE 取的 k,2 R, , ,r Rn有：1)對稱性( , ) ( , )2)線性性(k , ) ( ,k ) k( , )(,r) ( ,r

11、) ( r)它們可以合并為(k ,r) k( ,r)( ,r) TOC o 1-5 h z 例：設(shè) 和 的內(nèi)積( ( , ) 2,| | 2則內(nèi)積(2a,)8)解： (2a,)(2a,)(,)2(a,)(,)2(a,)(,)2248三、計(jì)算題：21、本題主要考查行列式值的求法；知識點(diǎn)一常規(guī)解法知識點(diǎn)二利用行列式的性質(zhì)求解22、求方陣的可逆矩陣知識點(diǎn)一利用公式A1 A*求可逆矩陣| A|知識點(diǎn)二利用矩陣的初等變化求A 123、考查知陣的運(yùn)算其中包括可逆矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣性質(zhì)及運(yùn)算律的考查24、求向量組的極大線性無關(guān)組知識點(diǎn)利用矩陣的初等行變化求極大線性無關(guān)組，25、解方程組的解：知識點(diǎn)一解齊次線性方

12、程組的解知識點(diǎn)二解非齊次線性方程組的解26、求對角矩陣（3 1 6）15（3 1 6）15本大題主要考查線性相關(guān)和線性無關(guān)及其相關(guān)知識，例：設(shè)向量組1 , 2線性無關(guān)，證明向量組1 a1 a2 ,2 a1 a2也線性無關(guān)。其次考查矩陣的性質(zhì)：如例：設(shè) n 階矩陣 A 滿足A2=A 證明E-2A 可逆；且（E-2A） -1=E-2A第五部分必考題型分析一、求行列式的值近年來此題型為計(jì)算題第一題，歷年必考，一般多以技巧性解題為主，充分利用性質(zhì)解答。例：計(jì)算四階行列式1002210100201201解：通過觀察，行列式的每列之和皆為3 得：100221010020120112010020001333

13、3200120012111131 0112010011021100213131本題即充分利用性質(zhì)解題，而非常規(guī)硬算，那樣計(jì)算量太大很難正確，利用性質(zhì)計(jì)算量大大下降，且正確率也必然上升二、求方陣的可逆矩陣可逆適陣的求法是楞年必考題，多以計(jì)算大題形式出現(xiàn)，解此種類型題，主要是通過矩陣的初等交換求方陣的可逆矩陣0011例：設(shè)矩陣A 0 1 1 ， 則 A111001解： 0 1 1111 HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 100111010011 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document 00100100

14、1010100100011001 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document 011100 HYPERLINK l bookmark198 o Current Document 01 0010 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 10 0001011110100 HYPERLINK l bookmark176 o Current Document 011A111 0 HYPERLINK l bookmark178 o Current Document 100分析把原矩陣化為單位矩陣，同時單位矩陣按照其同

15、樣的初等變化轉(zhuǎn)化為A本題型也為歷年必考題型，多以大題出現(xiàn)，難度不大，但容易出錯，在解管過程25例：已知A 1 312 B4321 C12X 滿足 AX B C求 X解： AX B CAX C BA 1AX A 1(C B )13512CB142 1251111X A 1(C B)351112112813在本題中要特別留意Ax C B A 1Ax A 1(C B) 其中A -1是左乘、位置一求向量組的極大線性無關(guān)組其實(shí)和求向量組或矩陣的秩是同一個過程，都是首先1例：求向量組231的極大無關(guān)組并將其余向量由極大無關(guān)組線性表示解：以1 、2 、3、4為列向量的矩作初等行變換有：則，所以 1 、2、3

16、 為極大無關(guān)組并且五、解非齊次線性方程組：設(shè) y 是 Ax b 的任意一個解，0121221, 2, n r是導(dǎo)出組Ax 0 的一個基礎(chǔ)解系，y y* k1 1 k2 2kn r n r就是 Ax b 的通解。求法：對（ A、 b）進(jìn)行初等行變換化簡化成行階梯形矩陣對寫出原方程組同解的方程組，確定自由未知量設(shè)自由未知量為零，可得到Ax b 的特解 y*再寫出和原方程組的導(dǎo)出組同解的方程組，確定自由未知量令自由未知量為單位向量組，可得到導(dǎo)出組Ax 0 的基礎(chǔ)解系1 , 2 , n r寫出 Ax b 的能解y y* k1 1 k2 2 kn r n r,（k1 k2kn r為任意實(shí)數(shù)）例：為何值時

17、，線性方程組 TOC o 1-5 h z x1x2x2x1x2x31x1x2x31有解，并求解解：1111112( A, b )1 110 11121110011時 , r ( A,b) r ( A) 3 方程組有唯一解，此時11( A,b) 0 100111101101100110201020110011所以解為：x11x22x311時 ，r (A,b) r(A) 1 3方程組有無窮多解，此時 HYPERLINK l bookmark131 o Current Document 1111, b)0 0 000000得到同解的線性方程組為x1x2x30即：x1=1- x2x3k1 1,k2 2

18、,km m 0k1 1,k2 2,km m 0令 | E A|=0得 11, 235 即為 A 的全部特征值分別令可求得基礎(chǔ)解系為11y11 和 y20 所以通解為01實(shí)數(shù)）六、特征值和特征向量的求法：定義：設(shè)A= （ aij ）為n 階實(shí)方陣，如果存在某個數(shù)和某個 n 維非零列向量P滿足， AP= P則稱 是的一個特征值，P 是 A 的屬于這個特征值的一個特征向量。2、求法：（ 1 ）寫出特征多項(xiàng)式| E A | 求出特征方程| E A | =0 的所有根，這些根就是A 的全部特征值。2）對特征值0， 求出齊次線性方程組的所有非零解，這些就是A 屬于這個特征值的特征向量( 3)例題50 0求

19、 A 0 32 的特征值和特征向量0 23解： TOC o 1-5 h z 500 HYPERLINK l bookmark166 o Current Document | E A| 03 2(5)2(1)023E-A） x=0對應(yīng)于1 =1 ，解齊次線性方程組（4 0 0 x1x10得： 02 2x20 即 1令x31得基礎(chǔ)解系為1100所以 k 1（k 0） 是 A的屬于特征值1 的全部特征向量1對于 23 5解齊次線性方程組（2 E-A） x=0 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 0 0 0 x1 HYPERL

20、INK l bookmark172 o Current Document 即： 0 2 2x20 即x2x3 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document 0 2 2x310所以k1 0 k2 1 （k1,k2不全為零）01即為對應(yīng)235的全部特征向量七、線性相關(guān)和線性無關(guān)及有關(guān)知識1、定義對向量組1, 2, m，若存在不全為零的數(shù)k1, k2,km使得，則稱 1 , 2, m線性相關(guān)k1, k2,km為相關(guān)系數(shù)，否則利2 , m線性無關(guān)。2、結(jié)論：（ 1 ）單個向量線性相關(guān)0單個向量線性無關(guān)0（ 2）兩個向量和線性相關(guān)和成比例兩個向量和線性無關(guān)和不成比例

21、（ 3）含有零向量的向量組線性相關(guān)（ 4）單位向量組線性無關(guān)例：設(shè)1 , 2, 3 是齊次方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系證明： 1 , 12，123 也是 Ax 0的基礎(chǔ)解系證明：1, 2 , 3是 Ax 0的1, 12，123是方程組Ax 0的解又令 k11k2 (12 )k3(123)0得(k1k2k3 )1 (k1k2)2k3301 , 12，123線性無關(guān)1 , 12，123是 Ax 0 的一個基礎(chǔ)解系0例 5 解非齊次線性方程組例 1 計(jì)算行列式411223124134解：10例 2 求矩陣解：利用初等行變換求(A, E)第六部分必考經(jīng)典例題101011111000100001110110

22、0100100010101010-110A 的逆矩陣；時（A、 E）作初等行變換100100001010 HYPERLINK l bookmark158 o Current Document 011000 11000 100011100011010010001100000010010010010001601000100010001010 HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 01100011000 111111000010000100001000100110110 HYPERLINK l bookmark152 o Current Documen

23、t 1100所以 A 11127 | A|例 4 求向量組12，1，3， 1)，2 ( 3, 1,2,0) ,3 (1,3,4 2)001 TOC o 1-5 h z 011 HYPERLINK l bookmark206 o Current Document 11011001*例 3 設(shè) A為 3階方陣且|A|= ,() 1*;| |解：1A1由于 A,因此A* | A|,A A ,所以 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document |A|3( 3A) 1 2A* 1 A 1 2 A 11 A 133311131|B| A1|()3|A1|334(4, 3

24、,1,1) 的一個極大無關(guān)組并將其余向量用該極大無關(guān)系表示出來 解：231 41 13 3()T( 1 , 2, 3, 4)1 13 3324110 212314324110 2111330 55100 5510 HYPERLINK l bookmark215 o Current Document 01121133011200 0 000 0 01021011 200 0 000 0 0極大無關(guān)組為21, 2 ，且 3 =2 124 =12 2x2 3x3 x4 1 TOC o 1-5 h z 3x1 x2 3x3 4x44x1 5 x2 9 x3 8 x4 0解：1131111311( A,b)3 134 40 467115980