計(jì)算機(jī)控制光學(xué)表面成形技術(shù)的駐留時(shí)間算法

1、 計(jì)算機(jī)控制光學(xué)表面成形技術(shù)的駐留時(shí)間算法 吳清飛+任志英+高誠(chéng)輝+林春生Reference：為了提高鏡片的加工精度與效率，利用計(jì)算機(jī)控制光學(xué)表面成形技術(shù)（CCOS）的拋光方法對(duì)光學(xué)鏡片進(jìn)行拋光全過(guò)程動(dòng)態(tài)仿真。根據(jù)Preston方程建立材料去除函數(shù)模型，對(duì)拋光過(guò)程中壓力、轉(zhuǎn)速以及工件與拋光磨頭相對(duì)半徑比對(duì)拋光去除速率的影響進(jìn)行分析。為建立球面鏡片的動(dòng)態(tài)全過(guò)程仿真，結(jié)合卷積原理，推導(dǎo)加工殘余誤差與去除函數(shù)和駐留時(shí)間三者間的線性關(guān)系，根據(jù)鏡片的對(duì)稱性，將元素個(gè)數(shù)從2m+1點(diǎn)簡(jiǎn)化為m+1點(diǎn)，以提高運(yùn)算效率。最后為獲得仿真最小殘余誤差，采用非負(fù)最小二乘法求解駐留時(shí)間。結(jié)果表明，材料去除速率函數(shù)類似于高

2、斯分布，拋光后能使鏡片面形誤差收斂，對(duì)模擬表面進(jìn)行仿真，半徑為100 mm的鏡片其初始表面形貌粗糙度的均方根值從0.467 m收斂到0.028 m，輪廓最大高度從6.12 m收斂到1.48 m。對(duì)實(shí)測(cè)表面進(jìn)行加工仿真同樣令其表面形貌粗糙度的均方根值從3.007 m收斂到0.107 m，輪廓最大高度從160.73 m收斂到13.76 m，因此提出的駐留時(shí)間求解方法對(duì)于球面鏡片拋光全過(guò)程動(dòng)態(tài)仿真有一定的可行性。Keys：光學(xué)鏡片； 球形磨頭； 拋光去除； 動(dòng)態(tài)仿真； 快速迭代法TH 161： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2017.04.007Abstract：In

3、order to improve the precision and efficiency of the lens manufacture，this paper describes that the optical lenses using computer controlled optical surfacing technology（CCOS） performs the whole process of dynamic simulation.The material removal function model is established according to Preston equ

4、ation to analyze the influence of pressure，rotating speed and the ratio of radius of the workpiece and the spherical polishing tool over the material removal rate.To establish a dynamic simulation of the whole process of the lens，considering the principle of convolution to derive a linear algebraic

5、equation of the residual error，removal function and dwell time and its symmetry，we can reduce the number of points from to that improves operational efficiency.Finally，a nonnegative least squares method gives a solution to minimize residual error.The results showed that the material removal rate was

6、 similar to a Gaussian distribution function.It can make that the lens surface shape error converges after polishing.Structure surfaces radius is 100mm，and its initial rootmeansquare is 0.467 m converging to 0.028 m.Peak value converges from 6.12 m to 1.48 m.The simulation of the measured surface al

7、so make its initial RMS from 3.007 m converge to 0.107 m and PV converge from 160.73 m to 13.76 m.Thus，the proposed dwell time solving method is feasible for whole process of dynamic simulation of spherical polishing.Keywords：optical lens； spherical polishing tool； polishing removal； dynamic simulat

8、ion； fast iterative algorithm引言光學(xué)鏡片具有高分辨率及良好的光學(xué)性能，其廣泛應(yīng)用在民用市場(chǎng)和軍用市場(chǎng)中且需求量仍在不斷增加。光學(xué)鏡片的質(zhì)量評(píng)定都是在最后一道工序拋光工藝結(jié)束后進(jìn)行的，因此拋光工藝會(huì)直接影響到光學(xué)鏡片的表面質(zhì)量1。目前光學(xué)鏡片的拋光方法主要有傳統(tǒng)拋光法、化學(xué)拋光法、氣囊拋光法2和磁流變拋光法34等。隨著近半個(gè)世紀(jì)計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，誕生了以美國(guó)為首的一些發(fā)達(dá)國(guó)家率先發(fā)展起來(lái)的計(jì)算機(jī)控制光學(xué)表面成形技術(shù)（computer controlled optical surfacing，CCOS），其工作原理為采用一個(gè)比被拋光元件尺寸小得多的拋光磨頭（拋光磨

9、頭的直徑一般小于工件直徑的1/4），而后通過(guò)計(jì)算機(jī)控制拋光磨頭相對(duì)于工件的壓力、速度以及駐留時(shí)間從而實(shí)現(xiàn)對(duì)工件表面的拋光加工5。endprintAspden于20世紀(jì)80年代率先對(duì)材料去除機(jī)理與數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，而后Jones又在Aspden的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地提出了采用卷積迭代法的駐留時(shí)間計(jì)算模型，為該技術(shù)奠定了重要理論基礎(chǔ)67。Cheung等8利用Preston公式基于平面建立仿真模型，通過(guò)研究材料去除速率和駐留時(shí)間函數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)構(gòu)造的結(jié)構(gòu)表面拋光后的表面形貌特征，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)論證了預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性。周旭升9基于平面工件建立了雙旋轉(zhuǎn)拋光磨頭的去除函數(shù)模型，通過(guò)研究面形誤差收斂的優(yōu)化控制方法

10、，提出了基于加工時(shí)間的脈沖迭代法和基于加工精度的脈沖迭代法，并分析了拋光盤的偏心率和轉(zhuǎn)速比等對(duì)去除函數(shù)修形能力的影響。李全勝等10基于對(duì)光學(xué)非球面元件模型的研究，提出了求解CCOS中駐留時(shí)間的三種算法：基于加工仿真的駐留時(shí)間算法，基于傅里葉變換（FFT）的駐留時(shí)間算法，基于FFT與滑動(dòng)平均的算法，并且應(yīng)用滑動(dòng)平均的算法對(duì)非球面模型進(jìn)行加工仿真，運(yùn)算效率比較高且獲得的駐留時(shí)間分布平緩，加工后殘余誤差較小。羅麗麗等11對(duì)大口徑的光學(xué)元件駐留時(shí)間的求解提出了基于大規(guī)模稀疏矩陣的非負(fù)最小二乘法，并以此方法對(duì)典型的320 mm320 mm的微浮雕面形進(jìn)行仿真加工，結(jié)果表明，該算法不僅可以提高運(yùn)算效率而且

11、能夠使面形誤差收斂至0.067（=632.8 nm）。綜上所述，目前國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者采用CCOS拋光技術(shù)對(duì)平面或非球面進(jìn)行了大量的研究工作，但據(jù)多家企業(yè)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，中小型非球面的主要加工方式是在研拋成球面鏡片表面上鍍上一層特殊的光學(xué)樹(shù)脂，因此球面鏡片需求量依舊很大，研究球面鏡片的拋光過(guò)程具有重要的意義。本文基于球面光學(xué)元件，采用CCOS拋光方法依據(jù)Preston方程推導(dǎo)材料去除函數(shù)模型，最后進(jìn)行模擬加工，驗(yàn)證了模型的合理性。1.1CCOS工作原理在拋光過(guò)程中有眾多因素會(huì)對(duì)光學(xué)鏡片的表面材料去除造成影響，例如相對(duì)壓力、相對(duì)速度、環(huán)境溫度和拋光液及其濃度等。現(xiàn)在描述CCOS表面材料去除最成功的模型仍是

12、Preston在1927年提出的著名的Preston方程。即dzdt=KPV（1）式中：dz/dt為單位時(shí)間內(nèi)光學(xué)鏡片表面的去除量；K為比例常數(shù)，由拋光過(guò)程中除壓力與速度外的其他影響因素決定，如拋光液的材料、濃度、環(huán)境溫度、濕度等；P為表面接觸區(qū)域的瞬時(shí)接觸壓力；V為某一點(diǎn)的瞬時(shí)相對(duì)拋光速度。因此，當(dāng)加工時(shí)間為t時(shí)，工件的表面材料去除量1.2去除函數(shù)推導(dǎo)如圖1所示為半徑為Rp的球形拋光磨頭對(duì)半徑為r的球形工件拋光的幾何示意圖。其中球形工件的轉(zhuǎn)速為1，球形拋光磨頭的轉(zhuǎn)速為2。點(diǎn)O為球形工件的中心，O1為球形拋光磨頭的中心。根據(jù)赫茲接觸理論12可知兩彈性球體間的接觸區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域?；诤掌澕僭O(shè)，不

13、考慮兩彈性球體間的接觸摩擦力，可計(jì)算在兩球體間的接觸壓力為P（x，y）=P01-x2+y2a232（4）式中：P0為拋光磨頭中心點(diǎn)的壓強(qiáng)；a為拋光接觸區(qū)域圓的半徑。如圖2所示為球形磨頭與工件表面在拋光接觸時(shí)某一點(diǎn)的速度分解示意圖。其中v1為工件自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的線速度，v2為球形拋光磨頭轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的線速度，為兩者之間的夾角。因?yàn)榻佑|區(qū)域的半徑a很小，且接觸區(qū)域近似看作平面，所以在接觸區(qū)域上各點(diǎn)相對(duì)于拋光磨頭轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離相等。2影響去除函數(shù)的因素2.1壓力對(duì)去除速率的影響根據(jù)Preston方程，當(dāng)其他拋光條件都不變時(shí)，拋光過(guò)程中材料去除量與壓力成正比，即材料去除量隨著壓力的增大而增大。在拋光過(guò)程中，當(dāng)拋

14、光磨頭施加在工件表面的力保持不變時(shí)，接觸區(qū)域上的壓力分布最大值與接觸區(qū)域的大小有關(guān)，根據(jù)赫茲接觸理論，壓力分布服從式（4）。其中中心點(diǎn)處壓力P0為P0=5F2a2（8）式中：a=3（k1+k2）rRp4（r+Rp）1/3，k1=1-21E1，k2=1-22E2，1、2、E1、E2分別為工件與拋光磨頭的泊松比和彈性模量，r、Rp分別為工件與拋光磨頭的半徑；F為拋光磨頭作用于工件的法向量作用力。當(dāng)保持工件與磨頭的材料不變且拋光磨頭施加在工件表面上的力F也不變時(shí)，由于球面半徑與球形磨頭半徑比值不同而引起壓力的變化曲線如圖3所示，壓力的變化表現(xiàn)為中心大并向四周遞減的趨勢(shì)。從圖4可以看出，當(dāng)半徑比從0.

15、1逐漸增加到0.2時(shí)，壓力P的峰值急劇減??；而隨著半徑比的繼續(xù)增大，壓力P峰值的減小也越來(lái)越緩慢。因此在相同的拋光條件下，隨著工件半徑與磨頭半徑比值的增大，會(huì)導(dǎo)致材料去除率的峰值隨之減小。但在實(shí)際的拋光過(guò)程中，隨著半徑比的減小，會(huì)導(dǎo)致接觸區(qū)域的減小，因此應(yīng)合理的選擇工件與球形磨頭的半徑比，才能獲得更好的拋光去除效率。2.2工件與磨頭轉(zhuǎn)速比對(duì)去除速率的影響根據(jù)Preston方程，拋光時(shí)材料去除量和工件與球形磨頭的相對(duì)速度成正比，即材料去除量隨著相對(duì)速度的增大而增大。圖5為不同轉(zhuǎn)速比下去除速率的變化曲線，從圖中可以看出當(dāng)保持其他拋光條件不變時(shí)，令球形磨頭轉(zhuǎn)速不變，改變工件的轉(zhuǎn)速，可以看出工件材料的

16、去除速率隨著轉(zhuǎn)速比1/2的降低而減小。當(dāng)轉(zhuǎn)速比小于1/10時(shí)，材料去除速率的減小也越來(lái)越慢，說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)速比小于1/10時(shí)，工件的轉(zhuǎn)速對(duì)材料去除的影響比較小。圖6所示為在以球面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立的直角坐標(biāo)系y=a/2處，工件材料去除速率曲線變化圖。因?yàn)楹纤俣仁怯晒ぜD(zhuǎn)速與球形磨頭轉(zhuǎn)速矢量合成的，當(dāng)工件轉(zhuǎn)速與磨頭轉(zhuǎn)速的作用相互抵消時(shí)，會(huì)造成在該加工點(diǎn)的材料去除速率為零。在該轉(zhuǎn)速比下，越往外合速度越大，而壓力分布正好相反，因此產(chǎn)生的去除函數(shù)速率曲線呈倒W型，如圖6（b）。endprint3駐留時(shí)間的求解由CCOS拋光技術(shù)原理可知，工件表面的材料去除量是由去除函數(shù)和駐留時(shí)間來(lái)控制的，因此通過(guò)控制拋光磨頭

17、在各駐留點(diǎn)的駐留時(shí)間可以精確控制工件的表面材料去除，從而達(dá)到對(duì)工件表面的面形誤差進(jìn)行修正。因此，求解駐留時(shí)間函數(shù)是CCOS拋光技術(shù)的關(guān)鍵步驟之一。對(duì)于三維表面形貌的評(píng)定，其基準(zhǔn)面的提取是表面評(píng)定的關(guān)鍵技術(shù)，目前國(guó)內(nèi)外基準(zhǔn)提取常用的主要方法有最小二乘多項(xiàng)式擬合法、高斯濾波法和小波濾波法1314。本文采用高斯濾波法來(lái)提取加工前后的表面形貌基準(zhǔn)。3.1材料去除向量當(dāng)磨頭處于ri時(shí)，拋光區(qū)域的大小為半徑為a的圓，設(shè)r和為建立在該拋光區(qū)域內(nèi)的極坐標(biāo)值。其軌跡示意圖如圖7所示。3.3仿真結(jié)果分析3.3.1構(gòu)造表面仿真應(yīng)用分形幾何中的WM函數(shù)來(lái)構(gòu)造待拋光的粗糙表面，獲得1 0241 024采樣點(diǎn)，球面半徑為

18、100 mm的初始表面如圖9所示。計(jì)算后可得其初始面形誤差均方根（RMS）值為0.467 m，最大峰值（PV）為6.12 m。采用本文研究的算法，運(yùn)用MATLAB對(duì)工件進(jìn)行仿真加工來(lái)驗(yàn)證算法的正確性。得到拋光后的球面工件如圖10所示，從圖中可看出，仿真加工后的面形誤差得到收斂，計(jì)算得最終的面形誤差RMS值為0.028 m，PV為1.48 m。3.3.2實(shí)測(cè)表面仿真如圖11所示為利用美國(guó)KLATencor公司的MicroXam100型光學(xué)輪廓儀進(jìn)行測(cè)量所得的實(shí)際光學(xué)元件表面，該儀器的最小采樣間距為0.078 m，最大量程為1 000 mm，分辨率為0.01 nm。運(yùn)用MATLAB采用高斯濾波法計(jì)

19、算得其初始面形誤差RMS值為3.007 m，PV為160.7 m。通過(guò)MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行模擬仿真加工后得到表面如圖12所示，經(jīng)計(jì)算其RMS值為0.107 m，PV為13.36 m。綜上所述，不管是對(duì)仿真構(gòu)造表面還是實(shí)際表面，本文所述的仿真迭代法都能使面形誤差得到收斂，效果較理想，從而證明本模型的有效性與合理性。3.4運(yùn)算效率比較本文基于其對(duì)稱性，計(jì)算時(shí)將元素個(gè)數(shù)從2m+1減為m+1后采用非負(fù)最小二乘法求解駐留時(shí)間。對(duì)同等大小的工件，保證其他條件都相同，取不同的采樣點(diǎn)數(shù)可獲得其運(yùn)算時(shí)間隨采樣點(diǎn)數(shù)變化的曲線如圖13所示。從圖中可以看出，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)小于2 048時(shí)，其運(yùn)算時(shí)間都較短，但當(dāng)采樣點(diǎn)

20、數(shù)大于2 048后，運(yùn)算時(shí)間近似于指數(shù)式增長(zhǎng)。如當(dāng)點(diǎn)數(shù)為8 192時(shí)，運(yùn)算耗費(fèi)的時(shí)間達(dá)到1 643 s，而在點(diǎn)數(shù)減半為4 096時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間僅為210 s，因此采用對(duì)稱性將運(yùn)算時(shí)的元素個(gè)數(shù)減半能大大縮短運(yùn)算時(shí)間。4結(jié)論本文基于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的球形工件采用CCOS拋光技術(shù)對(duì)其進(jìn)行模擬仿真加工，通過(guò)分析材料去除模型，求解駐留時(shí)間分布函數(shù)來(lái)進(jìn)行研究。綜合以上分析，本文結(jié)論可歸納如下：（1） 拋光磨頭只需徑向進(jìn)給，且其去除函數(shù)形狀類似于高斯分布，能較好的使面形誤差得到收斂，具有較高的加工效率，最終能夠有效的減小工件的表面殘余誤差；（2） 加工過(guò)程中，球形磨頭與工件的接觸區(qū)域面積較小，能夠減小磨頭移動(dòng)到工件

21、邊緣時(shí)因壓力的突變而引起的邊緣效應(yīng)；（3） 根據(jù)工件的對(duì)稱性，采用合并運(yùn)算的方式，有效的提高了運(yùn)算效率。最終在得到材料去除函數(shù)和殘余誤差后，應(yīng)用非負(fù)最小二乘法求得駐留時(shí)間分布。模擬加工結(jié)果表明，該算法能使面形誤差得到收斂，從而證明了模型的正確性與合理性。Reference：1楊力.先進(jìn)光學(xué)制造技術(shù)M.北京：科學(xué)出版社，2001.2SONG J F，YAO Y X，XIE D G，et al.Effects of polishing parameters on material removal for curved optical glasses in bonnet polishingJ.Chi

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23、g processJ.Wear，2013，302（1/2）：11801191.5袁巨龍，張飛虎，戴一帆，等.超精密加工領(lǐng)域科學(xué)技術(shù)發(fā)展研究J.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（15）：161177.6ASPDEN R，MCDonOUGH R，NITCHIE F R.Computer assisted optical surfacingJ.Applied Optics，1972，11（12）：27392747.7JonES R A.Computer controlled optical surfacing with orbital tool motionJ.Optical Engineering，1986，25（6）：256785.8CHEUNG C F，KONG L B，HO L T，et al.Modelling and simulation of structure surface generation using computer controlled ultraprecision polishingJ.Prec