波動(dòng)率于garch模型(共13頁)

1、1.1.波動(dòng)(bdng)率波動(dòng)率是用來描述證券價(jià)格(jig)、市場(chǎng)指數(shù)、利率等在它們均值附近上下波動(dòng)幅度的術(shù)語，是標(biāo)的資產(chǎn)(zchn)投資回報(bào)率的變化程度的度量。股票的波動(dòng)率是用于度量股票所提供收益的不確定性。股票通常具有15%-50%之間的波動(dòng)率。股票價(jià)格的波動(dòng)率可以被定義為按連續(xù)復(fù)利時(shí)股票在1年內(nèi)所提供收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)t很小時(shí)，近似的等于在t時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格變化百分比的方差。這說明t近似的等于在t時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格變化百分比的標(biāo)準(zhǔn)差。由標(biāo)準(zhǔn)差來表述股票價(jià)格變化不定性的增長(zhǎng)速度大約為時(shí)間展望期長(zhǎng)度的平方根（至少在近似意義下）。1.2.由歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)波動(dòng)率為了以實(shí)證的方式估計(jì)價(jià)格的波動(dòng)率，對(duì)股票

2、價(jià)格的觀察通常是在固定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)（如每天、每星期或每個(gè)月）。定義n+1觀測(cè)次數(shù)；Si 第i個(gè)時(shí)間區(qū)間結(jié)束時(shí)變量的價(jià)格，i=0，1，n；時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，以年為單位。令 1.2.1ui的標(biāo)準(zhǔn)差s通常估計(jì)為 1.2.2或 1.2.3其中u為的均值。由于的標(biāo)準(zhǔn)差為。因此，變量s是的估計(jì)值。所以本身可以被估計(jì)，其中 可以證明以上估計(jì)式的標(biāo)準(zhǔn)差大約為。在計(jì)算中選擇一個(gè)合適的n值并不很容易。一般來講，數(shù)據(jù)越多，估計(jì)的精確度也會(huì)越高，但確實(shí)隨時(shí)間變化，因此過老的歷史數(shù)據(jù)對(duì)于預(yù)測(cè)將來波動(dòng)率可能不太相干。一個(gè)折中的方法是采用最近90180天內(nèi)每天的收盤價(jià)數(shù)據(jù)。另外一種約定俗成成俗的方法是將n設(shè)定為波動(dòng)率所用于的

3、天數(shù)。因此，如果波動(dòng)率是用于計(jì)算量年期的期權(quán)，在計(jì)算中我們可以采用最近兩年的日收益數(shù)據(jù)。關(guān)于估計(jì)波動(dòng)率表較復(fù)雜的方法涉及GARCH模型與EWMA模型，在下文中將進(jìn)行詳細(xì)介紹。1.3.隱含波動(dòng)率首先對(duì)于一個(gè)無股息股票上看漲期權(quán)與看跌期權(quán)，它們?cè)跁r(shí)間0時(shí)價(jià)格的布萊克-斯科爾斯公式為 1.3.11.3.2式中 函數(shù)(hnsh)N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量(binling)的累積概率分布函數(shù)。式中：c與p分別為歐式看漲期權(quán)與看跌(kn di)期權(quán)的價(jià)格，S0為股票在時(shí)間零的價(jià)格，K為執(zhí)行價(jià)格，r為以連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險(xiǎn)利率，為股票價(jià)格的波動(dòng)率，T為期權(quán)的期限。在布萊克-斯科爾斯定價(jià)公式中，不能直接觀察到的參

4、數(shù)只有股票價(jià)格的波動(dòng)率。在前文中已經(jīng)討論了如何由股票的歷史價(jià)格來估計(jì)波動(dòng)率。在實(shí)際中，交易員通常使用所謂的隱含波動(dòng)率（implied volatility）。這一波動(dòng)率是指由期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格所隱含的波動(dòng)率。為了說明隱含波動(dòng)率的計(jì)算思路，假設(shè)一個(gè)不付股息股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為1.875，而S0=21，K=20，r=0.1和T=0.25。隱含波動(dòng)率是使得式1.3.1所給期權(quán)價(jià)格c=1.875時(shí)對(duì)應(yīng)的值。不幸的是，不能直接通過直接反解式1.3.1來將表示成期權(quán)價(jià)格與其他變量S0、K、r、T和c的函數(shù)，但是可以用迭代的方法求解所隱含的值。例如，開始時(shí)令=0.20，對(duì)應(yīng)這一波動(dòng)率，期權(quán)價(jià)格c為1.76美

5、元，這一價(jià)格太低。由于期權(quán)價(jià)格為的遞增函數(shù)，我們需要一個(gè)較大的值。再令=0.30，對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格c為2.10美元，此值高于市價(jià)，這意味著一定介于0.2和0.3之間。接下來，令=0.25，此值對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格仍太高，所以應(yīng)在0.20-0.25間。這樣繼續(xù)下去每次迭代都使所在的區(qū)間減半，因此我們可以計(jì)算出滿足任意精確度的近似值。本例中，隱含波動(dòng)率=0.235，即每年243.5%。隱含波動(dòng)率可以用來測(cè)量市場(chǎng)上對(duì)于某一股票波動(dòng)率的觀點(diǎn)。而歷史波動(dòng)率是回望型（backward looking），而隱含波動(dòng)率則為前瞻型（forward looking）。通常，交易員對(duì)于期權(quán)所報(bào)出的是隱含波動(dòng)率，而不是期權(quán)的

6、價(jià)格。這樣做會(huì)帶來許多方便，因?yàn)椴▌?dòng)率的變化比期權(quán)價(jià)格變化更加穩(wěn)定。1.4.估計(jì)波動(dòng)率定義為第n-1天所估計(jì)的市場(chǎng)變量在第n天的波動(dòng)率，第n天波動(dòng)率的平方為方差率（variance rate），在前面已經(jīng)對(duì)如何從歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行了描述。假定市場(chǎng)變量在天末的價(jià)格為，變量定義為在第天連續(xù)復(fù)利收益率（第天末至第天末的收益）： 利用在最近天的觀察數(shù)據(jù)所計(jì)算出的每天方差率的無偏估計(jì)為 1.4.1其中(qzhng)為的平均值 為了監(jiān)視(jinsh)每天方差率的變化，式1.4.1中的公式通常會(huì)有一些(yxi)變動(dòng)：被定義為市場(chǎng)變量在第天末與第天末的價(jià)格百分比變化 1.4.2為假設(shè)為零為代替以上三

7、個(gè)變化對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，但這些變化會(huì)使得方差公式簡(jiǎn)化成 1.4.3式中由式1.4.2給出。2.模型2.1.Arch模型有一種這樣的模型為： （2-1）其中為第i天以前觀察值所對(duì)應(yīng)的權(quán)重，取正值。當(dāng)選擇這些變量的時(shí)候，如果，則，也就是我們將較少的權(quán)重給予較舊的數(shù)據(jù)。權(quán)重之和必須為一，即對(duì)于式（2-1）可以做一推廣。假定存在某一長(zhǎng)期平均方差，并且應(yīng)當(dāng)給予該方差一定權(quán)重，這將導(dǎo)致以下形式的模型 （2-2）其中為長(zhǎng)期方差率，為所對(duì)應(yīng)的權(quán)重，因?yàn)闄?quán)重之和仍為1，我們有此模型就是最先由Engle提出來的ARCH模型。在這一模型中，方差的估計(jì)值是基于長(zhǎng)期平均方差(fn ch)以及m個(gè)觀察(gunch)值，

8、觀察數(shù)據(jù)越陳舊所對(duì)應(yīng)(duyng)的權(quán)重就越小。令，我們可以將式（2-2）寫成 （2-3）2.2.指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA）模型 指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型是式（2-1）的一個(gè)特殊形式，其中權(quán)重隨著時(shí)間以指數(shù)速讀遞減，具體地講，其中是介于0與1之間的某一常數(shù)。 在以上特殊假設(shè)下，更新波動(dòng)率公式被簡(jiǎn)化為 （2-4）一個(gè)變量第n天的波動(dòng)率估計(jì)值（在第n-1天估算）由第n-1天波動(dòng)率估計(jì)值（在第n-2天估算）和變量在最近一天變化百分比決定。 為了說明式（2-4）的權(quán)重以指數(shù)速讀下降，我們將式（2-4）所算出的代入公式中即代入項(xiàng)，進(jìn)一步得出重復(fù)計(jì)算，得出當(dāng)m很大時(shí)，項(xiàng)數(shù)很小可以忽略，所以當(dāng)時(shí)，式（2-4）

9、與（2-等價(jià)(dngji)，對(duì)應(yīng)于的權(quán)重(qun zhn)以速度隨時(shí)間向前(xin qin)推移而遞減，每一項(xiàng)的權(quán)重是前一項(xiàng)權(quán)重與的乘積。EWMA方法的誘人之處是其僅需要相對(duì)較少的數(shù)據(jù)。對(duì)于任一時(shí)刻，我們只需要記憶對(duì)當(dāng)前波動(dòng)率的估計(jì)以及市場(chǎng)變量的最新觀察值。當(dāng)我們得到市場(chǎng)變量最新觀察值后，就可以計(jì)算當(dāng)天價(jià)格變化的百分比，然后利用式（2-4）就可以更新方差估計(jì)。舊的方差估計(jì)與舊的市場(chǎng)變量可以被舍棄。2.3.GARCH(1，1)模型我們現(xiàn)在討論Bollerslev于1986年提出的GARCH(1，1)模型，GARCH(1，1)模型與EWMA模型的不同就好比式（2-1）與（2-2）的不同。在GARC

10、H(1，1)中，是由長(zhǎng)期平均方差以及和計(jì)算得出，GARCH(1，1)的表達(dá)式為式中為對(duì)應(yīng)于的權(quán)重，為對(duì)應(yīng)于的權(quán)重，為對(duì)應(yīng)于的權(quán)重。因?yàn)闄?quán)重之和仍為1，我們有EWMA模型是GARCH(1，1)模型對(duì)應(yīng)于，及的特例。GARCH(1，1)模型的(1，1)表示是由最近的的觀察值以及最新的方差率估計(jì)而得出。在更廣義的GARCH(p，q)模型中，是最近的p個(gè)觀察值及q個(gè)最新方差率估計(jì)而得出的，GARCH(1，1)是最流行的GARCH模型。令，我們可以將GARCH(1，1)模型寫成在估計(jì)模型的參數(shù)時(shí)，通常會(huì)采用這種形式，一旦、和被估算，我們可以由來計(jì)算，長(zhǎng)期方差。為了保證GARCH(1，1)模型的穩(wěn)定，我們

11、需要，否則對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)期方差的權(quán)重會(huì)是負(fù)值。2.4.GARCH(p，q)模型(mxng)由GARCH(1，1)模型(mxng)我們可以(ky)推廣到一般的GARCH(p，q)模型，即GARCH(p，q)模型被廣泛應(yīng)用于 HYPERLINK /view/2761.htm t _blank 金融 HYPERLINK /view/42564.htm t _blank 資產(chǎn) HYPERLINK /view/34358.htm t _blank 收益和 HYPERLINK /view/156901.htm t _blank 風(fēng)險(xiǎn)的 HYPERLINK /view/58062.htm t _blank 預(yù)測(cè)，

12、相比于ARCH模型，GARCH模型更能反映實(shí)際數(shù)據(jù)中的長(zhǎng)期記憶性質(zhì)。由于GARCH(p，q)模型是ARCH模型的擴(kuò)展,因此GARCH(p，q)同樣具有ARCH(q)模型的特點(diǎn)。GARCH模型適合在計(jì)算量不大時(shí),方便地描述了高階的ARCH過程,因而具有更大的適用性。3.實(shí)證部分3.1.滬股通指數(shù)收益率與上證綜合指數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)性分析（1）滬股通指數(shù)收益率與上證綜合指數(shù)收益率的比較圖1 從圖1可觀察(gunch)到收益率波動(dòng)的“集群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一段時(shí)間內(nèi)較?。ɡ鐝牡?0個(gè)觀察(gunch)值到第80個(gè)觀察(gunch)值），在另一段時(shí)間內(nèi)非常大（例如從第10個(gè)觀察值到第40個(gè)觀察值）。本文只收

13、集了102個(gè)數(shù)據(jù)，若數(shù)據(jù)更多，則現(xiàn)象更顯著。從下圖可以看出，上證綜合指數(shù)收益率曲線有與之相似的變化趨勢(shì)。圖2 為了能更清楚(qng chu)地比較二者的變化情況，現(xiàn)將二者在同一曲線圖中畫出來，結(jié)果如下：圖3 從圖3可以看出：在整體上，滬股通指數(shù)收益率的變化趨勢(shì)與上證綜合指數(shù)收益率的變化趨勢(shì)并無顯著差異，但是當(dāng)波動(dòng)幅度較大時(shí)（例如第10個(gè)觀察(gunch)值到第45個(gè)觀察值），滬股通指數(shù)收益率的振蕩幅度明顯小于上證綜合指數(shù)收益率；當(dāng)當(dāng)波動(dòng)幅度較小時(shí)（例如第50個(gè)觀察值到第100個(gè)觀察值），滬股通指數(shù)收益率的振蕩幅度明顯大于上證綜合指數(shù)收益率。（2）“尖峰(jin fn)厚尾”現(xiàn)象滬股通收益率時(shí)間

14、序列柱形統(tǒng)計(jì)圖圖4圖5 由圖4可知，上證滬港通指數(shù)(zhsh)收益率時(shí)間序列均值（Mean）為0.005881，標(biāo)準(zhǔn)差（Std.Dev.）為0.017838，偏度（Skewness）為-0.946395，接近(jijn)于-1，說明該收益率時(shí)間序列(xli)分布有非常長(zhǎng)的左拖尾性。峰度（Kurtosis）為6.416093，高于正態(tài)分布的峰度值3，說明收益率時(shí)間序列具有尖峰和厚尾的特征。Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量為64.18696，P值為0.000000，故拒絕該收益率時(shí)間序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。 再與上證綜合指數(shù)收益率進(jìn)行比較（如圖5），從圖5中可以看出，上證滬港通指數(shù)收益率時(shí)間序列的偏度

15、（Skewness）為-1.080029，峰度（Kurtosis）為6.640216，說明其“尖峰厚尾”的現(xiàn)象更加嚴(yán)重。并且，其Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量為75.40078，P值為0.000000，因而拒絕該收益率時(shí)間序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。3.2.基于GARCH(p，q)模型對(duì)滬股通收益率的波動(dòng)性進(jìn)行(jnxng)估計(jì) 以上證滬股通指數(shù)(zhsh)在2014年11月17日至2015年4月17日期間的日收益率為研究對(duì)象，基于GARCH(p，q)模型對(duì)滬股通收益率的波動(dòng)性進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過多次對(duì)樣本進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)GARCH(1，4)模型對(duì)滬股通收益率的波動(dòng)性進(jìn)行估計(jì)時(shí)效果最好。考察(koch)收益

16、率時(shí)間序列的平穩(wěn)性 通過Eviews對(duì)上證滬股通指數(shù)收益率時(shí)間序列r進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果如下：圖6 由ADF結(jié)果（圖6）可知，t統(tǒng)計(jì)量的值為-10.39138，對(duì)應(yīng)的P值與0沒有顯著性差別，說明該時(shí)間序列r平穩(wěn)。序列自相關(guān)性和偏相關(guān)性檢驗(yàn) 通過Eviews對(duì)上證滬股通指數(shù)收益率時(shí)間序列r進(jìn)行序列自相關(guān)性和偏相關(guān)性檢驗(yàn)，結(jié)果如下：圖7從圖7中可以看出，收益率時(shí)間序列的自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)均落入兩倍的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，且Q-統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)(duyng)的P值均大于置信度0.05，故該序列在5%的顯著性水平上不存在顯著的相關(guān)性。（3）檢驗(yàn)(jinyn)ARCH效應(yīng)由于序列r不存在顯著(xinzh)的相關(guān)性，因

17、此將均值方程設(shè)定為白噪聲，設(shè)立回歸模型為：再將r去均值化得到殘差w,即本文利用殘差的平方相關(guān)圖來檢驗(yàn)(jinyn)ARCH效應(yīng)，令 再通過(tnggu)Eviews對(duì)時(shí)間序列rt進(jìn)行序列自相關(guān)性和偏相關(guān)性檢驗(yàn)(jinyn),結(jié)果如下：圖8 由圖8可知，Q-統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的P值小于置信度0.05，故該序列在5%的顯著性水平上存在顯著的自相關(guān)性，所以有ARCH效應(yīng)。GARCH(p,q)模型(mxng)比較表1：GARCH(p,q)模型估計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的P值GARCH(1，1）GARCH(1，2）GARCH(1，3）GARCH(1，4）GARCH(1，5）GARCH(1，6）C0.51110.08620.2

18、91600.34720.1969RESID(-1)20.45340.29110.05970.05090.00430.1672GARCH(-1)0.39950.0592000.00020.2379GARCH(-2)0.2212000.00020.4706GARCH(-3)0.0006000.7771GARCH(-4)00.00010.8925GARCH(-5)0.09070.8175GARCH(-6)0.6364AIC值-5.092169-5.104882-5.10792-5.14277-5.116963-5.067142SC值-5.014492-5.001313-4.978458-4.987417-4.935717-4.860004表1表2：GARCH(p,q)模型估計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的P值GARCH(1，1）GAR