正余弦定理的應(yīng)用學(xué)案

1、 高一數(shù)學(xué)學(xué)案NO15,16余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題(難點(diǎn))2能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題(重點(diǎn))1.通過利用正、余弦定理解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)2通過求解距離、高度等實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1基線的概念與選擇原則(1)定義在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線(2)性質(zhì)在測量過程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度一般來說，基線越長，測量的精確度越高思考1：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”

2、在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？2測量中的有關(guān)角的概念(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖所示)(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角如南偏西60，即以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60. (如圖所示)思考2：李堯出校向南前進(jìn)了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個(gè)方向？1如圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)()A，a，bB，aCa，b， D，b2小強(qiáng)站在地面

3、上觀察一個(gè)建在山頂上的建筑物，測得其視角為，同時(shí)測得觀察該建筑物頂部的仰角為，則小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫?)A BC D3某人先向正東方向走了x km，然后他向右轉(zhuǎn)150，向新的方向走了3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq r(3) km，那么x的值為()A.eq r(3) B2eq r(3)C2eq r(3)或eq r(3) D3測量距離問題【例1】海上有A，B兩個(gè)小島相距10 海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是()A10eq r(3) 海里B.eq f(10r(6),3) 海里C5eq r(2) 海里 D5eq r(6) 海里三角形中與距離有

4、關(guān)問題的求解策略：(1)解決與距離有關(guān)的問題，若所求的線段在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求?2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決1為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸標(biāo)記物C，測得CAB30，CBA75，AB120 m，則河的寬度為 m.測量高度問題【例2】濟(jì)南泉城廣場上的泉標(biāo)模仿的是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征李明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點(diǎn)測得泉標(biāo)頂端的仰角為

5、60，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2 m，到達(dá)B點(diǎn)，又測得泉標(biāo)頂部仰角為80.你能幫助李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1 m)解決測量高度問題的一般步驟：(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用. 2某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.該小組已測得一組，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請據(jù)此算出H的值角度問題探究問題1某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)

6、，從A到B，方位角是60，距離是4 km，從B到C，方位角是120，距離是8 km，從C到D，方位角是150，距離是3 km，試畫出示意圖2在探究1中，若投遞員想在半小時(shí)之內(nèi)，沿小路直接從A點(diǎn)到C點(diǎn)，則此人的速度至少是多少？3在探究1中若投遞員以24 km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16eq r(7) km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點(diǎn)此人能否與投遞員相遇？【例3】如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時(shí)的速度沿南偏西15方向行駛，若甲船沿南偏東度的方向，并以28海里每小時(shí)的速度行駛，恰能在C處追上乙船問用多少小

7、時(shí)追上乙船，并求sin 的值(結(jié)果保留根號(hào)，無需求近似值) (變條件，變結(jié)論)在本例中，若乙船向正南方向行駛，速度未知，而甲船沿南偏東15的方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變，試求乙船的速度解決實(shí)際問題應(yīng)注意的問題(1)首先明確題中所給各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步(2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題正弦、余弦定理在實(shí)際測量中的應(yīng)用的一般步驟(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)

8、學(xué)模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解1如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東5B北偏西10C南偏東5 D南偏西102如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC100米，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)仰角分別是60，30，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A50eq r(3)米 B100eq r(3)米C50米 D100米3一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30的方向，且與它相距8eq r

9、(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，此船的航速是()A8(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí)B8(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí)C16(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí)D16(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí)4在高出海平面200 m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45與30，此時(shí)兩船間的距離為 m.5海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75，距離為12eq r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30，距離為8eq r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在北偏東120，

10、求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離學(xué)案答案1基線的概念與選擇原則(1)定義在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線(2)性質(zhì)在測量過程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度一般來說，基線越長，測量的精確度越高思考1：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？提示利用正弦定理和余弦定理2測量中的有關(guān)角的概念(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫

11、仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖所示)(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角如南偏西60，即以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60. (如圖所示)思考2：李堯出校向南前進(jìn)了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個(gè)方向？提示東南方向1如圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)()A，a，bB，aCa，b， D，bC選擇a，b，可直接利用余弦定理ABeq r(a2b22abcos )求解2小強(qiáng)站在地面上觀察一個(gè)建在山頂上的建筑物，測得其視角為，同時(shí)測得觀察該建筑物頂部的仰角為，則小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫?)A BC DC如圖所

12、示，設(shè)小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫?，則，因此，故選C項(xiàng)3某人先向正東方向走了x km，然后他向右轉(zhuǎn)150，向新的方向走了3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq r(3) km，那么x的值為()A.eq r(3) B2eq r(3)C2eq r(3)或eq r(3) D3C如圖，在ABC中由余弦定理得39x26xcos 30，即x23eq r(3)x60，解得x2eq r(3)或eq r(3).測量距離問題【例1】海上有A，B兩個(gè)小島相距10 海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是()A10eq r(3) 海里B.eq f(10r(6),3) 海里C5eq

13、r(2) 海里 D5eq r(6) 海里D根據(jù)題意，可得如圖在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得eq f(AB,sin C)eq f(BC,sin A)，即eq f(10,f(r(2),2)eq f(BC,f(r(3),2)，BC5eq r(6)(海里)三角形中與距離有關(guān)問題的求解策略：(1)解決與距離有關(guān)的問題，若所求的線段在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切危倮谜⒂嘞叶ɡ砬蠼?2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦

14、定理來解決1為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸標(biāo)記物C，測得CAB30，CBA75，AB120 m，則河的寬度為 m.60由題意知，ACB180307575，ABC為等腰三角形河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過B作BDAC于D，河寬：BD120sin 3060(m)測量高度問題【例2】濟(jì)南泉城廣場上的泉標(biāo)模仿的是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征李明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點(diǎn)測得泉標(biāo)頂端的仰角為60，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2 m，到達(dá)B點(diǎn)，又測得泉標(biāo)頂部仰角為80.你能幫助李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1 m)解如圖所示，點(diǎn)C，

15、D分別為泉標(biāo)的底部和頂端依題意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，則ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根據(jù)正弦定理，eq f(BD,sin 60)eq f(AB,sinADB).BDeq f(ABsin 60,sin 20)eq f(15.2sin 60,sin 20)38.5(m)在RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城廣場上泉標(biāo)的高約為38 m.解決測量高度問題的一般步驟：(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解在解題中，要綜合運(yùn)

16、用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用. 2某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.該小組已測得一組，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請據(jù)此算出H的值解由ABeq f(H,tan )，BDeq f(h,tan )，ADeq f(H,tan )及ABBDAD，得eq f(H,tan )eq f(h,tan )eq f(H,tan )，解得Heq f(htan ,tan tan )eq f(41.24,1.241.20)124.因此電視塔的高度H是124 m.角度問題探究問題1某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)

17、，從A到B，方位角是60，距離是4 km，從B到C，方位角是120，距離是8 km，從C到D，方位角是150，距離是3 km，試畫出示意圖提示如圖所示：2在探究1中，若投遞員想在半小時(shí)之內(nèi)，沿小路直接從A點(diǎn)到C點(diǎn)，則此人的速度至少是多少？提示在探究1圖中，在ABC中，ABC60(180120)120，由余弦定理得ACeq r(AB2BC22ABBCcos 120)4eq r(7)，則此人的最小速度為veq f(4r(7),f(1,2)8eq r(7) (km/h)3在探究1中若投遞員以24 km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16eq r(7) km/h的速度沿小路直接由A到

18、C追投遞員，問在C點(diǎn)此人能否與投遞員相遇？提示投遞員到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t1eq f(48,24)eq f(1,2)(小時(shí))30(分鐘)，追投遞員的人所用時(shí)間由探究2可知t2eq f(4r(7),16r(7)eq f(1,4)(小時(shí))15分鐘；由于301510，所以此人在C點(diǎn)能與投遞員相遇【例3】如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時(shí)的速度沿南偏西15方向行駛，若甲船沿南偏東度的方向，并以28海里每小時(shí)的速度行駛，恰能在C處追上乙船問用多少小時(shí)追上乙船，并求sin 的值(結(jié)果保留根號(hào)，無需求近似值) 思路探究根據(jù)題意明確已知條件與幾何量間的對應(yīng)關(guān)系，將

19、實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用正、余弦定理解決解設(shè)用t小時(shí)，甲船追上乙船，且在C處相遇，則在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理得，(28t)281(20t)22920teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，即128t260t270，解得teq f(3,4)或teq f(9,32)(舍去)，AC21(海里)，BC15(海里)根據(jù)正弦定理，得sinBACeq f(BCsinABC,AC)eq f(5r(3),14)，則cosBACeq r(1f(75,142)eq f(11,14).又ABC120，BAC為銳角，45BAC，sin si

20、n(45BAC)sin 45cosBACcos 45sin BACeq f(11r(2)5r(6),28).(變條件，變結(jié)論)在本例中，若乙船向正南方向行駛，速度未知，而甲船沿南偏東15的方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變，試求乙船的速度解設(shè)乙船的速度為x海里每小時(shí)，用t小時(shí)甲船追上乙船，且在C處相遇(如圖所示)，則在ABC中，AC28t，BCxt，CAB30，ABC135.由正弦定理得eq f(AC,sinABC)eq f(BC,sinCAB)，即eq f(28t,sin 135)eq f(xt,sin 30).所以xeq f(28sin 30,sin 135)eq f(28f(1,2),

21、f(r(2),2)14eq r(2)(海里每小時(shí))故乙船的速度為14eq r(2)海里每小時(shí)解決實(shí)際問題應(yīng)注意的問題(1)首先明確題中所給各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步(2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題正弦、余弦定理在實(shí)際測量中的應(yīng)用的一般步驟(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的

22、解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解1如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東5B北偏西10C南偏東5 D南偏西10B由題意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10.2如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC100米，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)仰角分別是60，30，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A50eq r(3)米 B100eq r(3)米C50米 D100米A因?yàn)镈ACACBD603030，所以ADC為等腰三角形，所以ACDC100米，在RtABC中，ABACsin 6050eq r(3)米3一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30的方向，且與它相距8eq r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，此船的航速是()A8(eq r(6)eq r(2)海里/時(shí)