2.5 直線與圓錐曲線1

1、 PAGE 7普通高中新課程標準（人教B版）選修2-1教學(xué)設(shè)計蓋州市第一高級中學(xué)孫廣超2-1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計【三維目標】1、知識與技能（1）理解直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系；能根據(jù)直線、圓錐曲線的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）能用直線和圓錐曲線的方程解決一些簡單的問題；2、過程與方法（1）經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考，自主探究，動手實踐，合作交流的學(xué)習(xí)方式；（2）強化學(xué)生用解析法解決幾何問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和靈活解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合的思想。3、情感態(tài)度與價值觀（1）讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想；（2）

2、加深對解析法解決幾何問題的認識，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神；【重點難點】1、重點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其判斷方法；2、難點：體會和理解解析法解決幾何問題的數(shù)學(xué)思想；【教學(xué)基本流程】知識歸納變式訓(xùn)練典例剖析探究新知創(chuàng)設(shè)情境作業(yè)布置【教學(xué)設(shè)計】一、復(fù)習(xí)引入回歸教材直線與圓錐曲線的位置關(guān)系要解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，可把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或消去x)得到關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程如聯(lián)立后得到以下方程：Ax2BxC0(A0)，B24AC.若0，則直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點弦長公式直線與圓錐曲線相交時，常常借助根與系數(shù)的關(guān)系解決弦長問題直線方程與

3、圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程當(dāng)0時，直線與圓錐曲線相交，設(shè)交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k，則直線被圓錐曲線截得的弦長|AB|eq r(（x1x2）2（y1y2）2)eq r(1k2)|x1x2|eq r(1k2)eq r(（x1x2）24x1x2).用點差法求直線方程在給出的圓錐曲線f(x，y)0中，求中點為(m，n)的弦AB所在直線方程時，一般可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B在曲線上，得f(x1，y1)0，f(x2，y2)0.兩式相減，結(jié)合x1x22m，y1y22n，可求出kABeq f(y2y1,x2x1)，從而由點斜式

4、寫出直線AB的方程這種方法我們稱為點差法重點辨析(1)如果在設(shè)直線方程時涉及斜率，要注意斜率不存在的情況，為了避免討論，過焦點F(c，0)的直線可設(shè)為xmyc.(2)解方程組eq blc(avs4alco1(AxByC0，,f（x，y）0)時，若消去y，得到關(guān)于x的方程ax2bxc0，這時，要考慮a0和a0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況要考慮全面，除a0，0外，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，只有一個交點(0不是直線和拋物線(或雙曲線)只有一個公共點的充要條件)二、創(chuàng)設(shè)情境問題1：若過原點的直線l與雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,3)1有兩個不同交點，則直線l的斜率的

5、取值范圍是()A.eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3),2)，f(r(3),2)B(eq f(r(3),2)，eq f(r(3),2)C.eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，f(r(3),2) D.eq blc(rc(avs4alco1(，f(r(3),2)eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),2)，)【解析】eq f(x2,4)eq f(y2,3)1，其兩條漸近線的斜率分別為k1eq f(r(3),2)，k2eq f(r(3),2)，要使過原點的直線l與雙曲線有兩個不同的交點，畫圖可知，直線l的斜率的取值范圍應(yīng)是eq blcrc)(avs

6、4alco1(0，f(r(3),2)eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3),2)，0).問題2已知傾斜角為60的直線l通過拋物線x24y的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則弦AB的長為_【解析】直線l的方程為yeq r(3)x1，由eq blc(avs4alco1(yr(3)x1，,x24y，)得y214y10.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y214.|AB|y1y2p14216.三、探究新知探究1拋物線x22py(p0)的焦點為F，其準線與雙曲線eq f(x2,3)eq f(y2,3)1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_解析本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，

7、方程的思想不妨設(shè)A(x0，eq f(p,2)，AB與y軸交于點D.F(0，eq f(p,2)，F(xiàn)Dp，可解得A( eq r(3f(p2,4)，eq f(p,2)在RtDFA中，tan30eq f(AD,DF)，eq f(r(3),3)eq f(r(3f(p2,4),p).p236，p6.本題利用AFB為正三角形，轉(zhuǎn)化為解決RtFDA中問題求4若拋物線yax21上恒有關(guān)于直線xy0對稱的相異兩點A，B，則實數(shù)a的取值范圍是_解析設(shè)拋物線上的兩點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為yxb，代入拋物線方程yax21，得ax2x(b1)0.設(shè)直線AB的中點為M(x0，y0)，則x0e

8、q f(1,2a)，y0 x0beq f(1,2a)b.由于M(x0，y0)在直線xy0上，故x0y00，由此解得beq f(1,a)，此時ax2x(b1)0可變形為ax2x(eq f(1,a)1)014a(eq f(1,a)1)0，解得aeq f(3,4).四、典例剖析、授人以漁題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1(2015湖南文)已知拋物線C1：x24y的焦點F也是橢圓C2：eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的一個焦點，C1與C2的公共弦的長為2eq r(6).過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且eq o(AC,sup11()與eq o(BD

9、,sup11()同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率【解析】(1)由C1：x24y知其焦點F的坐標為(0，1)，因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2b21，又C1與C2的公共弦的長為2eq r(6)，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為x24y，由此易知C1與C2的公共點的坐標為(eq r(6)，eq f(3,2)，所以eq f(9,4a2)eq f(6,b2)1，聯(lián)立得a29，b28，故C2的方程為eq f(y2,9)eq f(x2,8)1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因為eq o(AC,sup11()與

10、eq o(BD,sup11()同向，且|AC|BD|，所以eq o(AC,sup11()eq o(BD,sup11()，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由eq blc(avs4alco1(ykx1，,x24y，)得x24kx40，而x1，x2是這個方程的兩根，所以x1x24k，x1x24，由eq blc(avs4alco1(ykx1，,f(x2,8)f(y2,9)1，)得(98k2)x216kx640，而x3，x4是這個方程的兩根，所以x3x4eq f(16k,98k2)，x3x4eq f

11、(64,98k2)，將代入，得16(k21)eq f(162k2,（98k2）2)eq f(464,98k2)，即16(k21)eq f(1629（k21）,（98k2）2)，所以(98k2)2169，解得keq f(r(6),4)，即直線l的斜率為eq f(r(6),4).【答案】(1)eq f(y2,9)eq f(x2,8)1(2)eq f(r(6),4)題型二對稱問題例2試確定m的取值范圍，使得橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,3)1上有不同兩點關(guān)于直線y4xm對稱解：設(shè)橢圓上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y4xm對稱設(shè)AB的中點為P(x0，y0)，則eq blc(

12、avs4alco1(f(y1y2,x1x2)f(1,4)，,y04x0m.)又由eq blc(avs4alco1(f(x12,4)f(y12,3)1，,f(x22,4)f(y22,3)1，)得eq f(（x1x2）（x1x2）,4)eq f(（y1y2）（y1y2）,3)0.eq f(x1x2,4)eq f(y1y2,3)(eq f(1,4)0.y1y23(x1x2)，得y03x0.代入y04x0m，得x0m，y03m.點C在橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,3)1內(nèi)，eq f(（m）2,4)eq f(（3m）2,3)0建立不等關(guān)系，再由對稱兩點的中點在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)

13、系消參，由不等關(guān)系確定范圍題型三面積問題例3已知點A(0，2)，橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為eq f(2r(3),3)，O為坐標原點(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)OPQ的面積最大時，求l的方程【解析】(1)設(shè)F(c，0)，由條件知，eq f(2,c)eq f(2r(3),3)，得ceq r(3).又eq f(c,a)eq f(r(3),2)，所以a2，b2a2c21.又點O到直線PQ的距離deq f(2,r(k21)，所以O(shè)PQ的面積SOPQeq f(

14、1,2)d|PQ|eq f(4r(4k23),4k21).設(shè)eq r(4k23)t，則t0，SOPQeq f(4t,t24)eq f(4,tf(4,t).故E的方程為eq f(x2,4)y21.探究3與面積或最值一起綜合考查是解析幾何的常見題型，其解法往往是先建立目標函數(shù)的解析式，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題五、變式訓(xùn)練1、已知A，B為拋物線C：y24x上的兩個不同的點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若eq o(FA,sup11()4eq o(FB,sup11()，則直線AB的斜率為()Aeq f(2,3)Beq f(3,2)Ceq f(3,4) Deq f(4,3)2(2016南陽模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq f(x2,4)y21的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P，Q兩點，當(dāng)四邊形PF1QF2的面積最大時，eq o(PF1,sup11()eq o(PF2,sup11()的值等于()A0 B2C4 D2六、知識歸納1充分借助圖形的直觀性，達到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程2直線與圓錐曲線相交時，借助弦長公式來求參數(shù)的值，利用判別