第四節(jié)總體分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

1、 第四節(jié)總體分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)上兩節(jié)中，我們?cè)诳傮w分布形式為已知的前提下，討論了參數(shù)的檢驗(yàn)問(wèn)題.然而在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)不能確知總體服從什么類(lèi)型的分布，此時(shí)就要根據(jù)樣本來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)例如檢驗(yàn)假設(shè)：“總體服從正態(tài)分布”等本節(jié)僅介紹2檢驗(yàn)法.所謂2檢驗(yàn)法是在總體的分布為未知時(shí)，根據(jù)樣本值X,x2，x來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于總體12n分布的假設(shè)H0：總體X的分布函數(shù)為F(X)；H：總體X的分布函數(shù)不是F(X)(822)的一種方法(這里的備擇假設(shè)H可不必寫(xiě)出).注意，若總體X為離散型，則假設(shè)(822)相當(dāng)于H0：總體X的分布律為PX=x.=p.，i=1，2，；(823)若總體X為連續(xù)型，則假設(shè)(822)相當(dāng)

2、于H0：總體X的概率密度為f(x)(824)在用2檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)H0時(shí)，若在假設(shè)H0下F(x)的形式已知，而其參數(shù)值未知，此時(shí)需先用極大似然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)，然后再作檢驗(yàn).2檢驗(yàn)法的基本思想與方法如下：k將隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的全體Q分為k個(gè)互不相容的事件A1，A2，Ak(A=Q，k.1A.A.r，,ij=1,2,k)，于是在H為真時(shí)，可以計(jì)算概率p=P(A.)(i=1，2，k).j0.尋找用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的分布，在n次試驗(yàn)中，事件A.出現(xiàn)的頻率與.n概率p往往有差異，但由大數(shù)定律可以知道，如果樣本容量n較大(一般要求n至少為50,.最好在100以上)，在H0成立條件下P.的值應(yīng)該比較小，基于

3、這種想法，皮爾遜使用 # (8.25)(fnp)2ii.1np.作為檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量，并證明了如下的定理.定理81若n充分大(n三50),則當(dāng)H。為真時(shí)(不論H。中的分布屬什么分布),統(tǒng)計(jì)量(825)總是近似地服從自由度為k-r-1的分布，其中r是被估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù).對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平a，查表確定臨界值2(kr1)使P22(krI)=a,從而得到H0的拒絕域?yàn)?2(krI)由樣本值X,x2，x計(jì)算2的值，并與2(krl)比較.12n作結(jié)論：若22(kr1)，貝I拒絕H,即不能認(rèn)為總體分布函數(shù)為F(x);0否則接受H0.例810一本書(shū)的一頁(yè)中印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，現(xiàn)檢查了一本書(shū)的100

4、頁(yè)，記錄每頁(yè)中印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)，其結(jié)果如表8-5所示.表8-5錯(cuò)誤個(gè)數(shù)i0123456三7頁(yè)數(shù)f36401920210A.iA0A1A2A3A4A5A6A7其中f.是觀察到有i個(gè)錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)問(wèn)能否認(rèn)為一頁(yè)書(shū)中的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)X服從泊松分布(取a=0.05)?解由題意首先提出假設(shè)：H0：總體X服從泊松分布.eiPX=i=，i=0，1，2，i!這里H0中參數(shù)人為未知，所以需先來(lái)估計(jì)參數(shù)由最大似然估計(jì)法得-036l406l+70“x=1100將試驗(yàn)結(jié)果的全體分為A0,A,，A7兩兩不相容的事件若H0為真，則PX=i有估計(jì)e11e-1門(mén)1cpPXi，i=0，1，2，i!i!例如pPX0e1,0pPX1e叫1e1

5、pPX2-2266e1TOC o 1-5 h zpPX71p1.7ii!i0i1計(jì)算結(jié)果如表8-6所示將其中有些np,1.46，所以在顯著性水0.05平為0.05下接受H0,即認(rèn)為總體服從泊松分布.表8-6A.ifpinpifnpii(fnp)2/npiiiA036e-136.788-0.7880.017A140e-136.7883.2120.280A219e-1/218.3940.6060.020A32e-1/66.131A40e-1/241.533A52e-1/1200.307-3.031.143A61e-1/7200.051A701p0.008ilS1.460例8.11研究混凝土抗壓強(qiáng)度

6、的分布.200件混凝土制件的抗壓強(qiáng)度以分組形式列出（表8-7）.n=f=200.要求在給定的檢驗(yàn)水平a=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)ii1H0：抗壓強(qiáng)度XN（“，O2）表8-7壓強(qiáng)區(qū)間（X98kPa）頻數(shù)f190200102002102621022056220230642302403024025014解原假設(shè)所定的正態(tài)分布的參數(shù)是未知的，我們需先求“與口2的極大似然估計(jì)值.由第七章知，“與O2的極大似然估計(jì)值為X，.2.1(xX)2nii1設(shè)X*為第i組的組中值，我們有i1195IO2052624514xx*f=221,nii200i2-(x*X)2f斗26)2IO(16)22624214152,nii

7、200i=12.33原假設(shè)H0改寫(xiě)成X是正態(tài)N(221,12.332)分布，計(jì)算每個(gè)區(qū)間的理論概率值pPXa()(),i=1，2，6,ii1iii1其中ax().e*2dti2p為了計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量2之值，我們把需要進(jìn)行的計(jì)算列表如下(表8-8).表8-8壓強(qiáng)區(qū)間X頻數(shù)f標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間“i，“i+JP()()iinpifnpiifnpiinpi19020010(-R,-1.70)0.045910.1120021026-1.70,-0.89)0.14228.45.760.2021022056-0.89,-0.08)0.28156.20.040.0022023064-0.08,0.73)0.29959.817.640.29230240300.73,1.54)0.17134.217.640.52240250141.54,+8)0.06212.42.560.23S1.0002001.35從上面計(jì)算得出2的觀察值為1.35