數(shù)學(xué)物理方法建模

1、數(shù)學(xué)物理方法建模 物理1002班20100922042問題：將一只四條腿一樣長的椅子放在不平的地面上，問是否總能設(shè)法使它的四條腿同時著地。椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？在下列假設(shè)條件下，回答是肯定的。模型假設(shè)1 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 數(shù)學(xué)建模 12 地面相對平坦，椅子的腿是足夠長的，椅子在任意位置至少有三只腳同時著地；3 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形；4 以椅子的中心為坐標原點，對角線的初始位置為坐標軸，椅子繞原點旋轉(zhuǎn)，椅子位置用(對角線與x軸的夾角)表示。xBADCODC B A 模型構(gòu)建由假設(shè)1由假設(shè)2記 A,C 兩腳與地面距離之和為記 B,D 兩腳

2、與地面距離之和為是連續(xù)函數(shù)對任意現(xiàn)不妨設(shè)數(shù)學(xué)問題已知： 是連續(xù)函數(shù);對任意 且. 證明：存在 ，使模型求解 將椅子旋轉(zhuǎn)90度時，對角線AC和BD互換。所以令 ,則 為連續(xù)函數(shù),且據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在 ,使 即 .因為 , 所以評注和思考考察四腳呈長方形的椅子建模的關(guān)鍵是 和 的確定問題(商人們怎樣安全過河)： 三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨. 但是如何乘船渡河由商人決定，問商人應(yīng)如何安排才能安全渡河。河小船(至多2人) 數(shù)學(xué)建模 2問題分析 這是一類智力游戲問題，可經(jīng)過一番邏輯推理

3、求解。當然也可視為一個多步?jīng)Q策問題，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要對船上的人員作出決策，在保證安全的前提下（兩岸的隨從數(shù)不比商人多）經(jīng)有限步使全體人員過河 由于該問題是虛擬的，已經(jīng)理想化了，所以不必再作假設(shè)。模型構(gòu)建 記 第k次渡河前此岸的商人數(shù)為 ，隨從數(shù)為 ，而 為過程中的狀態(tài)。 安全渡河條件下的狀態(tài)稱為允許狀態(tài)，全體允許狀態(tài)構(gòu)成的集合記為 記 第k次渡船上的商人數(shù)為 ，隨從數(shù)為 ，而 為過程中的決策。多步?jīng)Q策問題模型： 安全渡河條件下的決策稱為允許決策，全體允許決策構(gòu)成的集合記為 因為， 為奇數(shù)時船從此岸駛向彼岸， 為偶數(shù)時船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移律為 求 使 并按轉(zhuǎn)移律由

4、到達 模型求解 窮舉法從通過且使得得到例如可能的通過且得到如果則還原，故如果則如果也有故且 窮舉法適宜編程上機運算 圖解法狀態(tài)s=(x,y)為16個格點允許決策為移動1或2格;k為奇數(shù)時,向左、下移;k為偶數(shù)時,向右、上移.d1, ，d11給出安全渡河方案允許狀態(tài)為10個點xy3322110s1sn+1d1d11評注和思考考慮4名商人各帶一隨從的情況 十五世紀中期，哥白尼提出了震驚世界的日心說。丹麥著名的實驗天文學(xué)家第谷花了二十多年時間,觀察紀錄下了當 時已發(fā)現(xiàn)的五大行星的運動情況。第谷的學(xué)生和助手開普勒對這些資料進行了九年時間的分析計算后得出著名的Kepler三定律。牛頓根據(jù)開普勒三定律和牛

5、頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即 萬有引力定律例（萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) ） 數(shù)學(xué)建模 3開普勒三大定律1.行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢圓的一個焦點上。 2.行星在單位時間內(nèi)掃過的面積不變。3.行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數(shù)不隨行星而改變（絕對常數(shù)）行星r太陽這其中必定是某一力學(xué)規(guī)律的反映，哼哼，我 要找出它。如圖，有橢圓方程 :矢徑所掃過的面積A 的微分為:由開普勒第二定律:常數(shù)立即得出:即:簡單推導(dǎo)如下：橢圓面積由此得出常數(shù)我們還需算出行星的加速度，為此需要建立兩種不同的坐標架。第一個是固定的，以太陽為坐標原點，沿長軸方向的單位向量記為i,沿短軸方向的單位向量記為j，于是：進而有加速度以行星為坐標原點建立活動架標，其兩個正交的單位向量分別