2020高考文科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義第25講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第25講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(一)(1)ysinx圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)(2)ycosx圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1).1熟悉基本三角函數(shù)的圖象、定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性及其最值2會(huì)判斷簡單函數(shù)的奇偶性，會(huì)求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其周期知識(shí)梳理1用五點(diǎn)法作正弦、余弦函數(shù)的簡圖3223222三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(其中kZ)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象xk，定義域RR2kZ2k，2k(k，k)值域周期性奇偶性遞增區(qū)間1,12奇函數(shù)221,12偶函數(shù)2k，2kR

2、奇函數(shù)222k，2k最大值x2k時(shí)，ymax1遞減23區(qū)間2k，2k2yx2k2時(shí)，max1最小值熱身練習(xí)3x2k2時(shí)，ymin1x(2k1)時(shí)，ymin11函數(shù)f(x)1sinx，x0,2的大致圖象是圖中的(B)由五點(diǎn)法知圖象應(yīng)經(jīng)過(0,1)，(，0)，(，1)，(，2)，(2，1)，可知應(yīng)選B.2函數(shù)y的定義域?yàn)?A)Cx|x2k，kZDx|x2k，kZ3當(dāng)x，時(shí)，函數(shù)ysinx3cosx的值域?yàn)?D)A1,1B，1y2sin(x)，x，sin(x)1，所以1y2.32211cosxAx|x2k，kZBx|x(2k1)，kZ322由cosx1，得x2k，kZ，故定義域?yàn)閤|x2k，kZ22

3、12C2,2D1,2513636234函數(shù)f(x)sin(x)2sincosx的最大值為1.f(x)sin(x)2sincosxsinxcoscosxsin2sincosxsinxcoscosxsinsin(x)1.所以f(x)max1.5函數(shù)y8cosx2sin2x的最大值為8.y2(1cos2x)8cosx2cos2x8cosx2，令cosxt，1t1，y2t28t22(t2)210，故t1時(shí)，ymax8.由2sinx10，得sinx，三角函數(shù)的定義域函數(shù)y2sinx1的定義域?yàn)開12即2kx2k(kZ)故定義域?yàn)閤|2kx2k，kZx|2kx2k，kZ1函數(shù)y的定義域?yàn)閤|xk且xk，k

4、Z.所以xk且xk，kZ，故定義域?yàn)閤|xk且xk，kZ求函數(shù)y43sin2x4cosx的值域，其中x，3cos2x4cosx13(cosx)2.因?yàn)閤，所以cosx，1所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?66566566(1)求三角函數(shù)的定義域，常轉(zhuǎn)化為解三角不等式和三角方程，可借助三角函數(shù)的圖象來求解(2)解簡單三角不等式的步驟：如sinxa.第一步，作出ysinx的圖象；第二步，作直線ya，在三角函數(shù)的圖象上找出一個(gè)周期內(nèi)(不一定是0,2)在直線ya上方的圖象；第三步，確定sinxa的x值，寫出解集1tanx142由tanx10，得tanx1.4242三角函數(shù)的值域或最值233y43sin2x4co

5、sx43(1cos2x)4cosx2133213322121而32，1，所以當(dāng)cosx3時(shí)，ymin3.11115當(dāng)cosx2時(shí)，ymax3(2)24(2)14.11534三角函數(shù)的值域或最值問題?？嫉闹饕袃煞N類型，一種是化為yAsin(x)或yAcos(x)或yAtan(x)，另一種是化為關(guān)于sinx，cosx或tanx的二次函數(shù)第一種類型可利用三角函數(shù)的性質(zhì)及2(2017北京卷)已知函數(shù)f(x)3cos(2x)2sinxcosx.(2)求證：當(dāng)x，時(shí)，f(x).(1)f(x)3cos2xsin2xsin2xsin2xcos2xsin(2x)，所以f(x)的最小正周期T.(2)證明：因?yàn)閤

6、，所以2x，所以sin(2x)sin()，所以當(dāng)x，時(shí)，f(x).不等式的性質(zhì)求得，第二種類型可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)求得不管哪種類型，都要注意角的范圍3(1)求f(x)的最小正周期；1442322132232254463613621442三角函數(shù)的值域或最值的應(yīng)用在ABC中，B60，AC3，則AB2BC的最大值為_在ABC中，由正弦定理得ACsinB3所以AB2BC2sinC4sin(C)27sin(C)，C(0，)，要求AB2BC的最值，首先要將其表達(dá)式求出來在ABC中，B和邊AC是確定的，AB，BC是變化的，但C一定，則邊AB，BC就確定了，可見，AB2BC隨著C的變化而

7、變化，從而可建立AB2BC關(guān)于C的函數(shù)關(guān)系32R2，2234sinC23cosC23所以AB2BC的最大值為27.27利用三角函數(shù)的最值解決有關(guān)問題的一般步驟是：(1)建立目標(biāo)函數(shù)；(2)求最值；(3)作答其中關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)，而建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)慕亲兞?，建立目?biāo)函數(shù)后，再根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)求其最值3如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，一個(gè)矩形的一邊AB在扇形的一條半徑上，另一邊的兩個(gè)端點(diǎn)C，3D分別在弧和另一條半徑上，求此矩形ABCD的最大面積連接OC，設(shè)BOC，0，設(shè)矩形ABCD的面積為S，則BCsin，AO333AD1在OAD中，tan，所以O(shè)Asin，所以ABOBOAcos13sin，所以SABBC(cos1sin)sin3cossin13sin2sin2(1cos2)sin2cos23sin(2).故時(shí)，Smax66故矩形ABCD的最大面積為3.132613326633663.61求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上轉(zhuǎn)化為解三角不等式，常借助三角函數(shù)的圖象來求解2求三角函數(shù)的值域(最值)常用的幾種類型如下：(1)形如yasinxbcosxk的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsinxk的三角函數(shù)，可先設(shè)sinxt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函數(shù)，可先設(shè)t