第三節(jié)積分變換在解定解問題中應(yīng)用

1、5.3積分變換在解定解問題中的應(yīng)用 運(yùn)用積分變換法求解定解問題時(shí)，首先依據(jù)定解問題，選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q。選擇變換的原則主要是：（1）自變量的變化范圍；（2）定解條件的形式。 用積分變換法求解定解問題步驟：1）選擇適當(dāng)?shù)姆e分變換，對(duì)方程取積分變換；2）對(duì)定解條件取積分變換；3）求常微分方程的解，即為原定解問題的變換；4）對(duì)所得解取逆變換，得原定解問題解。一、傅氏變換解定解問題：例1求解熱傳導(dǎo)方程的初值問題 的基本解。解：由第四章第三節(jié)知：只需求解對(duì)方程及初始條件取關(guān)于x的傅氏變換，記 FF利用傅立葉變換的微分性質(zhì)，得這是常微分方程的初值問題，其解為為求原定解問 題解，再對(duì) 進(jìn)行傅氏逆變換。利用卷積性

2、質(zhì)，由于 F故 為一維熱傳導(dǎo)方程的基本解。 例2 解： 對(duì)x作傅氏變換 記 對(duì)方程和初始條件關(guān)于x取傅氏變換，有 下面求解常微分方程的初值問題因?yàn)閮蛇叿e分（從0t），得 于是 再對(duì) 進(jìn)行傅氏逆變換 FFFF所以 例3半無界問題 解:將邊界條件齊次化 令則 滿足 將初始條件作奇延拓，得 構(gòu)成無界域上的熱傳導(dǎo)方程的初值問題由例1結(jié)果，得 故 例4無界弦振動(dòng)方程的初值問題 解對(duì)x作傅氏變換，記 F得 下面求解常微分方程的初值問題：特征方程： 通解： 由初始條件得 解得所以再求 的傅氏逆變換，利用位移性質(zhì)和延遲性質(zhì)，可得 FFF因此，解為二、拉氏變換解定解問題步驟：1）對(duì)定解問題進(jìn)行拉氏變換；2）解相

3、應(yīng)常微分方程問題；3）求反演。例1半無界波動(dòng)方程的混合問題 解：對(duì)方程及邊界條件取關(guān)于t的拉氏變換， 有其通解為LL記利用邊界條件得 故 1）當(dāng) LL求 的逆變換，利用延遲性質(zhì) L有 于是由 ，可得 L利用延遲性質(zhì)，其逆變換為 2）當(dāng) L例2無界電報(bào)方程的混合問題 其中 解： 根據(jù)問題的求解域及定解條件，應(yīng)取關(guān)于t的拉氏變換，記 LL對(duì)方程及邊界條件取關(guān)于t的拉氏變換： 其中 ，即有 通解為由V 的有界性，得 由 ,得 因此利用延遲性質(zhì)，其逆變換為 LL 由上面的例題可以看出，對(duì)積分變換的選擇要根據(jù)問題的不同和求解的方便，通常對(duì)于無界的初值問題，經(jīng)常采用傅氏變換（針對(duì)空間變量），而對(duì)于帶邊界的定解問題，經(jīng)常采用拉氏變換（針對(duì)時(shí)間變量），總之積分變換是求解定解問題的有力工具。習(xí) 題用積分變換法解下列定解問題 1.2.數(shù)學(xué)物理方程