工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

1、 第一章線性代數(shù)基本知識(shí)、內(nèi)積定義:n設(shè)a=a1,，an,3=b1，bn都是n維復(fù)向量，記=aibi,其中bi表示對(duì)E取i1共軻，稱為向量a與3的內(nèi)積。二、向量正交：對(duì)于向量a、3,若=0,則稱a與3正交，記作a3三、Ax=b的解的結(jié)構(gòu)：n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件為其系數(shù)矩陣的秩R(A)n.n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B=(A|b)的秩相等，且當(dāng)R(A)=R(B)=n時(shí)有唯一解；當(dāng)R(A)=R(B)n時(shí)有無(wú)窮多解；若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B=A詞的秩相等為r,且r0uV九wSp(A),九0實(shí)二次型f

2、=xTAx為正定(負(fù)定)二次型的充要條件是，f的矩陣A的特征值全都大于(小于)零。證明：設(shè)九1,，h是A的n個(gè)特征值，由定理1.6-1知，存在正交線性變換x=Qy使f=xTAx=yT(QTAQ)y=712ny2.若%,，鼠都大于0,則只要y=0就有f0,從而只要x#0就有f0,即f是正定二次型。反之，若有一個(gè)特征值不大于零，不妨設(shè)為0,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)才有同=0;齊次性：匕=k|,kF;三角不等式：二:;則稱|oj為a的范數(shù)。定義了范數(shù)的向量稱為賦范向量空間。,n歐氏范數(shù)：在Cn上，對(duì)于任一向量X=X1,X2，xnT,X的長(zhǎng)度x=*岡2就是X的一種范數(shù)。,i=4nn1M=|xj;HmaXx;W

3、lp=(|Xi|P)p,1Ep。i4i=4由于IX=|x-y+y|x-y|+|y|,IIy|=l|y-x+xi斗y-x|+nxi=|x-y+卬故有-|x-y|x|-|y|x-y|,gp|x|-|y|0,當(dāng)且僅當(dāng)A=O時(shí)才有|A=0;齊次性：kA=k*A,-kC；三角不等式：ABMAB;相容性：當(dāng)A=BG時(shí)有|A|B|G|,則稱IA為A的范數(shù)。三、誘導(dǎo)范數(shù)定義，Sp(A),P(A)的定義定義：給出一種與向量范數(shù)協(xié)調(diào)的矩陣范數(shù)，這就是誘導(dǎo)范數(shù)(也稱算子范數(shù))：nA=maXax.由于|Ax|是x的連續(xù)函數(shù)，所以對(duì)給定的A來(lái)說(shuō)，|AX|在有界I集IIXI=1上是可以取得最大值的，即存在這樣的向量x*x

4、*|=1且使Ax=|A.方陣A的所有不同特征值組成的集合稱為A的譜，記為Sp(A),并稱特征值的模的最大值為A的譜半徑，記為P(A)。四、能算lApHAI濟(jì)cond(A)(見書140頁(yè))五、能證P(A)|A證明：設(shè)人是A的任一特征值，x#0是屬于人的特征向量，則由Ax=2、x得IWIIXI=|M=|aXIWIAM因x#0,故|x|#0,所以|A|.由于卜是A的任一特征值，從而P(A)P(A)P(A)=Rmin=Sp(A)證明：由于P(A) P(A)P(A)。11一,，。因此1 n閃,而P(A)f-是，：(A)：(A,)=第四章方陣函數(shù)與函數(shù)矩陣一、矩陣序列收斂定義定義：設(shè)匕是一個(gè)mxn矩陣序列

5、，如果存在mxn矩B$A=aj,使limajk)=aj(i=1,，m;j=1,，n),則稱矩陣序列42收斂于A。k.二、方陣n級(jí)數(shù)收斂判據(jù)od設(shè)備級(jí)數(shù)工Ck?的收斂半徑是R,用方陣A替換該哥級(jí)數(shù)中的九，用I替換九0=1得到方陣k0哥級(jí)數(shù)CkCkAk,則當(dāng)P(A)R,方陣哥級(jí)數(shù)k=0k0QOk乙CkA發(fā)放。k0三、方陣函數(shù)的定義(6種)定義：設(shè)備級(jí)數(shù)CkckM的收斂半徑為R,且在收斂域內(nèi)Ckd=f(K)。當(dāng)方陣A的譜半徑k=0k=0cOP(A)R時(shí)，定義f(A)=CkAk,并稱f(A)為A的函數(shù)。k=0“ 二 1e 八一 A k =0 k! sin A = k, P(A)(-1)k2k 1Ak(

6、2k 1)!A ： (-1)k A 2kcos A = Z A ,(2k)!J (-1)k4 ln( I A):A k 1 k：(A)；P(A) ；k , P(A)1；00(I-A)二=Ak,P(A)1；k0At e.二tkk!-1(At)k八-Ak=ok!四、f (A) = CkAk的計(jì)算，吃透例子。(見書153-157頁(yè)).利用方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。.利用方陣A的最小多項(xiàng)式或特征多項(xiàng)式。第六章線性空間和線性變換一、域定義，判斷是否是域定義：設(shè)F是包含0和1的一個(gè)數(shù)集，如果F中任意兩個(gè)數(shù)（它們可以相同）的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍是F中的數(shù)，那么稱F為數(shù)域。二、線性空間的定義設(shè)V是

7、一非空集，F(xiàn)是數(shù)域，對(duì)于V中任意兩個(gè)元素s、P,定義一個(gè)叫做加法的運(yùn)算，記為“十”,V中有一個(gè)元素a+P與之對(duì)應(yīng)，稱做口與P的和，且滿足下列規(guī)則：加法交換律ot+P=P+ot;加法結(jié)合律（ot+P）=口+（P+?。?；存在0WV,使得對(duì)任意otWV,有豆+0=豆，這個(gè)元素0稱為V的零元素；對(duì)任意VV/,存在一otwV,使得a+（-a）=0,稱a為a的負(fù)元素。又在F與V的元素之間定義一個(gè)叫做數(shù)乘的運(yùn)算，對(duì)于F中任一數(shù)k與V中任一元素a,V中都有一個(gè)元素ka與之對(duì)應(yīng)，稱它為k與口的數(shù)乘，且滿足下列規(guī)則：對(duì)任意kwF和任意a,BwV,有k（a+B）=ka+kP；對(duì)任意aV和任意的k,lwF,有（k+l

8、）ot=kct+la；對(duì)任意aWV和任意的k,lwF,有k（lc（）=（kl）a;F中的數(shù)1,使得對(duì)任意awV,有效=a。那么稱V為數(shù)域F上的線T空間（也稱為向量空間），記為V（F）。V中的元素也稱為向量。三、V的維數(shù)，基的定義定義：如果在線性空間V中可以找到有限多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則稱V為有限維線性空間，并且把最大線性無(wú)關(guān)向量的個(gè)數(shù)稱為V的維數(shù)，記為dimV。維數(shù)為n的線性空間V稱為n維線性空間，記為Vn。線性空間Vn中給定順序的n個(gè)線性無(wú)關(guān)向量i,尸n組成的向量組稱為Vn的一個(gè)基，記為B=八1,nkB中的向量%（i=1,，n）稱為第i個(gè)基向量。四、定理：設(shè)B是線性空間Vn的一個(gè)基，則V中任一向量巴都可由B唯一地線性表出。證明：由于Vn中n+1個(gè)向量口1,尸n力必線性相關(guān)，故存在不全為零的n+1個(gè)數(shù)k1,，kn,kn書，nn.使得ZkQi+kn/=0。如果kn書=0,則上式成為Zki%=0。但后1,Qn是基，故有ki =0(i =1,n)1 n二-一、ki： ikn1y再證唯一性，設(shè)有i1i1這與，kn,kn中不全為零矛盾。因此kn書#0,從而有K.，-，一43，即e可由B線性表出。kn1n=工（Xi - yj%。由i 1Vn中取定一個(gè)基B,nnnnx=zXi%和Z=yQi,則0=Xii-ZyQii=1i=1i=1i=1如,，4是基，知Xi-yi