數(shù)理方程與特殊函數(shù)：第六章 格林函數(shù)法

1、1 本章主要介紹利用格林函數(shù)法求解拉普拉斯方程與泊松方程的三類邊值問題。主要內(nèi)容第六章 格林函數(shù)法(一)、格林公式及調(diào)和函數(shù)性質(zhì)(二)、泊松方程狄氏問題格林函數(shù)法(三)、幾種特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)(四)、三類典型方程的基本解授課時數(shù)：8學時2本次課主要內(nèi)容(一)、拉普拉斯方程與泊松方程三類邊值問題(二)、三個格林公式格林公式及調(diào)和函數(shù)性質(zhì)(三)、調(diào)和函數(shù)的概念與性質(zhì)3Laplace方程 :Poisson方程 :1、Dirichlet問題（第一類邊值問題） (一)、拉普拉斯方程與泊松方程三類邊值問題4Laplace方程 :Poisson方程 :2、Neumann問題（第二類邊值問題）5Lap

2、 lace方程 :Poisson方程 :3、Robin問題（第三類邊值問題）6 借助于三個格林公式，可以得到拉氏方程與泊松方程狄氏問題與洛平問題解的積分表達式。三個格林公式可以借助于高斯公式導出。(二)、三個格林公式高斯公式： 設空間區(qū)域V是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數(shù)P,Q,R在V上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，S的方向取外側(cè)，則： 或7 設u (x, y, z), V (x, y, z)在SSV上有一階連續(xù)偏導數(shù)，它們在V中有二階偏導，則：1、第一格林公式證明：8由高斯公式：9 設u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一階連續(xù)偏導數(shù)，它們在V中有二階偏導，則：2、第二格林公式證明：由第一

3、格林公式得：用(1)-(2)得第二格林公式。10 設M0是V內(nèi)一點，M是V中的動點，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)滿足第一格林公式條件，則有：3、第三格林公式M0MSVxyz11證明：球面： 球心：半徑：由高斯公式可得：通過直接計算得：M0MSVxyz12又因球面方向指向內(nèi)側(cè)，與r方向正好相反，所以：又由于：13所以，當0時，得到：于是得到第三格林公式：4、泊松方程洛平問題解的積分表達式定理1：泊松方程洛平問題14的解為：其中，曲面S的方向為外側(cè)。15推論1：拉氏方程洛平問題的解為：曲面S的方向為外側(cè)。161、定義：如果函數(shù)u(x,y,z)滿足:(1) 在 上具有二階連續(xù)偏導數(shù)；(

4、2) (三)、調(diào)和函數(shù)的概念與性質(zhì)稱u為V上的調(diào)和函數(shù)。2、調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。性質(zhì)1 設 u(x,y,z) 是區(qū)域 V 上的調(diào)和函數(shù)，則有 證明：第二Green公式 :17取 則： 所以 :推論2：拉氏牛曼問題有解的必要條件是：18證明：若定解問題有解，因u為V上調(diào)和函數(shù)，由性質(zhì)1，性質(zhì)2 設u(x,y,z) 是區(qū)域V上的調(diào)和函數(shù)，則有 :證明：由第三格林公式，注意到u是調(diào)和函數(shù)，即得：19性質(zhì)3 : (平均值定理) 設u (x, y, z)是區(qū)域V 上的調(diào)和函數(shù)，M0是V中任意一點，SR是以M0為心，R為半徑的球面，且該球完全落在V的內(nèi)部，則有：M0SRVxyz20證明:把性質(zhì)2和性質(zhì)1用到v

5、R上有：M0SRVxyz21性質(zhì)4(極值原理) 設u(x,y,z)是有界閉區(qū)域 V內(nèi)的調(diào)和函數(shù)， 在V上連續(xù), 且u ( M )常數(shù)，則 u(M)的最大值和最小值只能在邊界面S上取得。 證法一：若不然，設u在V內(nèi)某點M1取得最大值。，我們可以推出在V上， u ( M )=常數(shù)，從而產(chǎn)生矛盾。 首先：以M1為心，R為半徑在V內(nèi)作球VR，其球面設為SR.M1SRVxyz22可以證明：在SR上，有u(M)=u(M1) 若不然，設球面上有點M，使得u(M)u(M1),則由連續(xù)函數(shù)保號性，存在M的一個鄰域，使得在該鄰域內(nèi)有u(M)u(M1),于是： 但是，由平均值定理： 于是，產(chǎn)生矛盾！ 于是，對于以M

6、1為心，在任意的rR為半徑的球面上有u(M)=u(M1)23 所以，我們得到：在VR上有u(M)=u(M1) 其次，可以證明：在V上任何一點T，有u(M)=u(M1)。 先用折線把M1和T連接起來，并設整個折線與V的邊界的最短距離為d.VM1T 以M1為心,小于d的任意數(shù)為半徑作球K1。設該球與折線相交于M2，則：u(M1)=u(M2)；24 又以M2為心,小于d的任意數(shù)為半徑作球K2。設該球與折線相交于M3，則：u(M3)=u(M1)；VM1T 如此推下去，得到球Kn，使得它包含點T,且有：u(T)=u(M1)； 這樣，我們推出了u(M)在V上為常數(shù)。與條件矛盾！25性質(zhì)4(極值原理) 設u

7、(x,y,z)是有界閉區(qū)域 V內(nèi)的調(diào)和函數(shù)， 在V上連續(xù), 且u ( M )常數(shù)，則 u(M)的最大值和最小值只能在邊界面S上取得。 證法二：若不然，設u在V內(nèi)P0(x0,y0,z0)取得最大值為M0，而u在S上的最大值為M*,則：M*0,于是得到：則在S上有：又因為v(x0,y0,z0)=M0,說明v(x,y,z)必在V內(nèi)取最大值。27這就產(chǎn)生矛盾！ 但另一方面：由v(x,y,z)的定義可以算出：由調(diào)和函數(shù)極值原理，可以推出如下幾個結論： 推論1 設u為有界閉區(qū)域V 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域V 上連續(xù)，如果還在邊界面S上為常數(shù)K，則它在內(nèi)各點 的值也等于常數(shù)K。28證明：由極值原理：u在V上的

8、最大值最小值都只能在S上取得，所以：u|V=k.推論2 設u是在有界區(qū)域 V上的調(diào)和函數(shù)，且在閉區(qū)域 V上連續(xù)，如果還在邊界面S上恒為零，則它在內(nèi)各點處的值都等于零。證明：由推論1即得證明。推論3 設在有界區(qū)域V內(nèi)的兩個調(diào)和函數(shù)，在閉區(qū)域V 上連續(xù)，如果它們還在區(qū)域的邊界面S上取相等的值，則它們在內(nèi)所取的值也彼此相等。 證明：設兩個函數(shù)分別為u(x,y,z)與v(x,y,z).作函數(shù)：29則F(x,y,z)在邊界S上取值為0。由推論2即可得結論。應用舉例例1 求定解問題：解：這是拉普拉斯方程洛平問題，其解為：30例2 求定解問題：解：這是泊松方程洛平問題，其解為：31例3 求定解問題：解：這是泊松方程狄氏問題。采用特解法先把泊