從自然主義的角度看形式主義與不完全性定理(共7頁)

1、從自然主義的角度看形式主義(xngsh zhy)與不完全性定理葉峰（北京大學(xué)哲學(xué)系）本文得到教育部人文社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目“20世紀(jì)西方邏輯哲學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)”的支助。摘要(zhiyo)：本文(bnwn)從自然主義的角度分析希爾伯特方案與哥德爾不完全性定理的意義，說明一種對希爾伯特方案的修改還是可以幫助達(dá)到希爾伯特的數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本目的而不受第二不完全性定理的影響，并說明第一不完全性定理為什么并不能支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)哲學(xué)，形式主義，不完全性定理1、引言形式主義（formalism）是二十世紀(jì)初三大數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究流派之一，它是由德國數(shù)學(xué)家希爾伯特提出的，因此又稱作希爾伯特方案（Hilb

2、erts Program）。希爾伯特是二十世紀(jì)初世界上最有成就也最有影響的數(shù)學(xué)家，希爾伯特方案是他對當(dāng)時的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)的回應(yīng)。希爾伯特提出他的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究方案的目的是消除布勞維爾的直覺主義對當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們的影響，拯救今天已經(jīng)成為經(jīng)典數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)踐規(guī)范。他的策略是要用可靠的、本身是無可置疑的數(shù)學(xué)方法，非常嚴(yán)格地證明，使用經(jīng)典數(shù)學(xué)可以幫助我們得出關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界中的有限具體事物的真理。希爾伯特主要在1925年左右提出他的比較成熟的方案 Hilbert (1925, 1927)。今天學(xué)者們都承認(rèn)，希爾伯特方案在嚴(yán)格的意義上并沒有成功，因?yàn)椋?931年哥德爾發(fā)現(xiàn)并證明了不完全性定理，從而對希爾伯特方案作

3、了致命的打擊。自然主義（naturalism）在這里指的是由筆者本人提出的一種數(shù)學(xué)哲學(xué)理論 見筆者的個人網(wǎng)頁 HYPERLINK /cllc/people/fengye/index.html /cllc/people/fengye/index.html。它認(rèn)為，真實(shí)存在的就是這個現(xiàn)實(shí)的、物質(zhì)性的宇宙，沒有任何其它的東西，而人類是這個物質(zhì)宇宙的一部分；在人類的數(shù)學(xué)實(shí)踐中，真正存在的是有限的人類大腦中的數(shù)學(xué)構(gòu)造與推理活動（以及大腦控制身體產(chǎn)生的相關(guān)的語言文字符號等等），還有大腦與環(huán)境中的物質(zhì)性的事物之間在人類的數(shù)學(xué)應(yīng)用活動中的相互作用；不存在所謂抽象數(shù)學(xué)對象，尤其是沒有所謂無窮的對象，甚至沒有所謂

4、的潛無窮，有的只是大腦對所謂潛無窮的想象活動。所以這是唯名論的、物理主義（即唯物主義）的數(shù)學(xué)哲學(xué)。這種自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的一些基本觀念與希爾伯特的形式主義數(shù)學(xué)哲學(xué)在許多方面有相通之處，比如，在拒絕無窮及抽象對象方面。本文將從自然主義的角度對希爾伯特方案及哥德爾不完全性定理的意義作一些分析。我們希望能夠說明，雖然哥德爾不完全性定理證明了希爾伯特方案的技術(shù)性策略不能成功，但那是由于希爾伯特方案的技術(shù)性策略是基于一個過高的期望，即期望一攬子地證明整個經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性。我們相信，希爾伯特的一些基本思想還是有意義的，是與自然主義的想法相通的，而且，如果我們不是希望一攬子地證明整個經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性，而是

5、可以作更細(xì)致的邏輯分析工作來分析那些實(shí)際應(yīng)用中的經(jīng)典數(shù)學(xué)，那么還是可以證明希爾伯特的一些基本思想的正確性，還是可以在嚴(yán)格的有窮主義的基礎(chǔ)上從邏輯上解釋經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性，而哥德爾的第二不完全性定理不影響這個策略。我們還希望能夠說明，哥德爾的第一不完全性定理不能蘊(yùn)涵實(shí)在論，也不與自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)相沖突。2、對希爾伯特方案(fng n)的一種(y zhn)表述既然已經(jīng)有了第二不完全性定理，為了分析希爾伯特方案與第二不完全性定理的意義，有必要更仔細(xì)地表述希爾伯特方案，以突出希爾伯特的想法中不受第二不完全性定理影響的部分。一般認(rèn)為，希爾伯特的有窮主義數(shù)學(xué)(shxu)可以形式化為無量詞的原始遞歸算術(shù)PR

6、A。PRA中的語句可以解釋為關(guān)于有限具體事物判斷，因此是有真實(shí)內(nèi)容的。假設(shè)T是皮亞諾算術(shù)PA，或二階算術(shù)Z2，或集合論ZFC等經(jīng)典數(shù)學(xué)或經(jīng)典數(shù)學(xué)的片斷，而且是PRA的遞歸擴(kuò)張。T中超出有窮主義的系統(tǒng)PRA的東西稱為“理想元”。在希爾伯特看來，包含理想元的語句自身沒有真實(shí)的內(nèi)容，它們只是幫助我們推導(dǎo)出超出有窮主義的系統(tǒng)PRA中的語句的工具。希爾伯特方案的最終目的是要證明，利用這些理想元證明出的有窮主義數(shù)學(xué)PRA中的語句，原則上也可以不利用理想元被證明，也就是說，包含理想元的經(jīng)典數(shù)學(xué)系統(tǒng)T相對于有窮主義系統(tǒng)PRA是保守的。為此，希爾伯特指出，我們只需要用有窮主義數(shù)學(xué)的系統(tǒng)PRA證明經(jīng)典數(shù)學(xué)的系統(tǒng)T

7、的一致性。更具體地說，在哥德爾的第二不完全性定理的證明中我們知道，選擇T的適當(dāng)?shù)墓砑斑m當(dāng)?shù)母绲聽柧幋a以后，我們可以假設(shè)T的證明謂詞ProofT(m, n) “自然數(shù)m是編碼為自然數(shù)n的公式在T中的證明的編碼”是一個原始遞歸關(guān)系，因此可以用PRA的一個原子公式ProofT(y, x)表示。這樣，系統(tǒng)T的一致性可以用PRA的一個含自由變元的（無量詞）公式ProofT(y, #(0=S0)表示，其中#(0=S0)是矛盾公式0=S0的哥德爾編碼，它是一個數(shù)字，而 #(0=S0)是表示這個數(shù)字的PRA的形如SS(0)的項(xiàng)。（一般地，對任何自然數(shù)n，n表示含n個S的項(xiàng)SS(0)。）這樣，希爾伯特方案的第

8、一個目標(biāo)就是要證明PRA| ProofT(y, #(0=S0)。由于哥德爾的第二不完全性定理，我們知道這是做不到的，但希爾伯特原先的思路是，假設(shè)我們可以構(gòu)造（1）中的證明，那么，利用這個證明，我們將能實(shí)際地構(gòu)造系統(tǒng)T相對于有窮主義的系統(tǒng)PRA的保守性的證明，即對PRA的語句，PRA| ProofT(y, #() 。這樣，對PRA的語句，假設(shè)我們有了一個它在T中的證明，T| ，即有一個自然數(shù)m（那個證明的編碼）使得ProofT(m, #()，根據(jù)原子公式ProofT(y, x)表示謂詞ProofT(m, n)，我們將能實(shí)際地構(gòu)造一個證明PRA| ProofPA(m, #()。由此，再利用(lyn

9、g)上面的保守性（2）的證明(zhngmng)，我們(w men)將可以進(jìn)一步構(gòu)造一個證明PRA| 。也就是說，假設(shè)我們有了一個語句在T中的證明，我們將可以消去證明中的理想元，即其中的量詞及只屬于系統(tǒng)T的公理與規(guī)則，得到一個在PRA中的證明。這將是一個可以實(shí)際完成的操作。這就是希爾伯特方案的策略。它期望提出一個一般性的消除理想元的方法，將有窮主義系統(tǒng)PRA的一個語句在一個經(jīng)典數(shù)學(xué)系統(tǒng)T中的證明，轉(zhuǎn)化為該語句在有窮主義系統(tǒng)PRA中的證明。而這可以通過構(gòu)造T的一致性在PRA中的證明即（1）來達(dá)到。我們已經(jīng)知道（1）不成立，但仔細(xì)考察從（1）如何得出（2）還是有意義的。首先，對PRA任意語句，我們可

10、以實(shí)際地構(gòu)造一個自然數(shù)n使得PRA| ProofT(n, #() 。直觀上說，這是因?yàn)椴缓吭~，因此，如果它是真的，它可以用原始遞歸函數(shù)與謂詞的實(shí)際計(jì)算驗(yàn)證，而這個計(jì)算過程也就是PRA中的證明。然后我們可以構(gòu)造一個原始遞歸函數(shù)f使得PRA| ProofT(n, #()ProofT(y, #() ProofT(f(n, y), #(0= S0)。其中f是PRA的語言中表示函數(shù)f的函數(shù)符號。也就是說，f可以將兩個互相矛盾語句的證明結(jié)合起來，構(gòu)造出一個矛盾句0= S0的證明。所以，PRA| ProofT(y, #() ProofT(f(n, y), #(0= S0)，因此PRA| ProofT(f(

11、n, y), #(0= S0) (ProofT(y, #() )。這是希爾伯特方案中不受第二不完全性定理影響的正面結(jié)果。注意，它是有窮主義數(shù)學(xué)中的一個有意義的結(jié)論。它意味著，雖然我們不能在有窮主義數(shù)學(xué)內(nèi)部證明系統(tǒng)T的一致性（1），因此不能一般性地證明保守性（2），但從（1）到（2）的推導(dǎo)是嚴(yán)格地有窮主義的，可以在PRA中進(jìn)行。這樣，假設(shè)我們已經(jīng)在T中證明了PRA的語句，因此我們有一個自然數(shù)m使得ProofT(m, #()，由（3），只要我們有任何其它理由相信ProofT(f(n, m), #(0= S0)，即相信f(n, m)不會是從T中推導(dǎo)出矛盾公式0= S0的證明的編碼，在有窮主義數(shù)學(xué)內(nèi)部

12、，這個理由也就成為相信的理由。另外注意一下，第二不完全性定理也是有窮主義數(shù)學(xué)中有意義的一個結(jié)論。在有窮主義數(shù)學(xué)中它可以表達(dá)稱：我們可以構(gòu)造一個原始遞歸函數(shù)h，并證明ProofT(m, #(Con(T) ProofT(h(m), #(0=S0)，其中，Con(T) df y(ProofT(y, #(0= S0)是T的語言的表達(dá)T的一致性的語句。它說的是，任給一個T的語言的公式序列，我們可以原始遞歸的構(gòu)造出另一個序列，使得假如前者是T的一致性Con(T)在T中的證明，后者則是矛盾公式在T中的證明。所以，在有窮主義的框架內(nèi)我們可以有意義地接受第二不完全性定理。3、自然主義對希爾伯特方案與第二不完全性

13、定理的解釋多數(shù)(dush)數(shù)學(xué)家事實(shí)上相信集合論ZFC的一致性。那么我們是基于(jy)什么樣的理由相信這一點(diǎn)的？從自然主義的角度看，我們對集合論ZFC等經(jīng)典數(shù)學(xué)(shxu)理論的一致性的信念是一種歸納的信念，與我們對其它物理定律等具有一般性的科學(xué)論斷的信念在本質(zhì)上是一樣的。事實(shí)上，十九世紀(jì)末的那些反對康托爾的集合論的數(shù)學(xué)家都對集合論的一致性抱有一些懷疑。集合論悖論的發(fā)現(xiàn)顯然加強(qiáng)了這種懷疑。后來，隨著數(shù)學(xué)家與邏輯學(xué)家們開始分析悖論的成因，尋找排除悖論的方法，漸漸地他們開始相信，在公理化的集合論比如ZFC中，悖論可以被排除。又經(jīng)過一段時間的對公理化的集合論的實(shí)踐，特別是，在集合的聚合分層（cumu

14、lative hierarchy）模型的構(gòu)想被提出來以后，數(shù)學(xué)家們才比較肯定地相信公理集合論的一致性。我們對集合的聚合分層模型的想象帶有構(gòu)造性的，或直線向前的、非循環(huán)的特征，也就是說，它回避了明顯地導(dǎo)致悖論的那種惡性循環(huán)?；趯σ阎你Ｕ摦a(chǎn)生的原因的分析，我們相信，這種對集合的想象不會產(chǎn)生悖論。這個信念的建立，是基于數(shù)學(xué)家們對自己的關(guān)于集合的想象活動的反思，包括對關(guān)于集合的知覺想象的反思及反思我們對描述集合的語言進(jìn)行的推理等。它當(dāng)然不是簡單的枚舉歸納。它不是簡單地說，既然迄今為止還沒有發(fā)現(xiàn)矛盾，以后也不會發(fā)現(xiàn)。它是與大腦關(guān)于一些比較復(fù)雜的現(xiàn)象的歸納知識一樣，是基于大腦發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)象中的一些有規(guī)律的

15、模式，從而推斷現(xiàn)象有一些規(guī)律性。因此，我們對于經(jīng)典數(shù)學(xué)的保守性的信念，以及對于經(jīng)典數(shù)學(xué)的應(yīng)用可以幫助我們推導(dǎo)出科學(xué)真理這個信念，是與我們對于其它科學(xué)論斷的信念一樣，在本質(zhì)上是歸納的。這樣一種對非常復(fù)雜的現(xiàn)象的歸納信念當(dāng)然會讓我們覺得不是絕對地可靠的，即我們對它的信念度不是最高的。從這個角度看，希爾伯特方案所要做恰恰就是要提高我們對經(jīng)典數(shù)學(xué)的一致性與保守性的信念度。如果我們能夠在一個有窮主義系統(tǒng)PRA中證明一個經(jīng)典數(shù)學(xué)系統(tǒng)的一致性，因此證明它的保守性，我們也就將對這個經(jīng)典數(shù)學(xué)系統(tǒng)的一致性與保守性的信念，歸約為我們對有窮主義系統(tǒng)PRA的一致性的信念。后者當(dāng)然也是歸納的信念，但這里所涉及的現(xiàn)象（即系

16、統(tǒng)PRA中的推理）更簡單，因此我們對它的信念度相對來說更高一些。從這個角度看，哥德爾的第二不完全性定理的意義在于說明，如果一個系統(tǒng)如PA或ZFC是比較復(fù)雜的系統(tǒng)，其中包含了一些較復(fù)雜的推理模式或公理，那么，對于它的一致性的信念本身也是較復(fù)雜的，是對較復(fù)雜的現(xiàn)象（即這個系統(tǒng)中的推理）中的規(guī)律性的歸納信念。這種信念無法被邏輯地歸約為對更簡單的現(xiàn)象（即某個更簡單的系統(tǒng)中的推理）中的規(guī)律性的歸納信念，即無法被邏輯地歸約為對一個更簡單的系統(tǒng)的一致性的信念。換句話說，一個更復(fù)雜的系統(tǒng)中包含了更復(fù)雜的想象、推理模式。對這些復(fù)雜的想象、推理模式的一致性的信念是對一類更復(fù)雜的現(xiàn)象中的規(guī)律性的歸納信念，它不能被規(guī)

17、約為對一類更簡單的現(xiàn)象中的規(guī)律性的歸納信念。這是從自然主義的角度對第二不完全性定理的結(jié)論的一個解釋。這在直觀上是一個合理的結(jié)論。而希爾伯特方案恰恰是試圖用邏輯手段，將我們對經(jīng)典數(shù)學(xué)的一致性的信念歸約為對有窮主義數(shù)學(xué)的一致性的信念，進(jìn)而達(dá)到對經(jīng)典數(shù)學(xué)的保守性的信念。它違反了這個直觀上合理的，對我們的具有不同復(fù)雜程度的歸納信念的觀察。由于哥德爾的第二不完全性定理表明了，在系統(tǒng)PRA中證明系統(tǒng)PA的一致性是不可能的，甚至在系統(tǒng)PA中也是不可能的，邏輯學(xué)家們嘗試了用一些超出系統(tǒng)PA但直觀上還是構(gòu)造性的方法來證明PA的一致性。比如，Gentzen用了到一個無窮序數(shù)0的超窮歸納法證明了PA的一致性。哥德爾

18、則提出過另一種證明PA的一致性的方法，它用到了“任意類型的可計(jì)算的泛函”這個概念。應(yīng)該說，這些一致性證明對于提高我們對PA或其他經(jīng)典數(shù)學(xué)系統(tǒng)的一致性的信念度還是有一些作用的。因?yàn)椋罁?jù)我們的分析，悖論產(chǎn)生于某種形式的惡性循環(huán)，而這些證明，雖然假設(shè)了無窮（如無窮序數(shù)）或一些抽象概念與構(gòu)造（如泛函、泛函上的原始遞歸構(gòu)造），但它們似乎都是某種向前的、非循環(huán)的構(gòu)造。我們的直觀判斷是，它們較不會導(dǎo)致悖論。這當(dāng)然也是基于我們對這些構(gòu)造的反思，基于識別出它們的某些規(guī)律性特征，然后得出一個歸納信念。只是由于它們的某些特征，即它們的構(gòu)造性特征，使得我們對它們的一致性的歸納信念程度要高一些。然而，從今天(jnti

19、n)的數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度看，這種證明的意義是很有限的。今天科學(xué)家們對數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性包括保守性的信念，當(dāng)然是來源于長期的數(shù)學(xué)應(yīng)用(yngyng)的實(shí)踐。大量行之有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法已經(jīng)得到相當(dāng)充分的實(shí)踐證明，使得即使今天有人發(fā)現(xiàn)了公理化的集合論中還有悖論，它也不會很大地影響到科學(xué)家們的數(shù)學(xué)實(shí)踐。數(shù)學(xué)家們會進(jìn)一步修改它們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(jch)，但科學(xué)家們會繼續(xù)應(yīng)用他們的已經(jīng)被充分地證明為有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法。4、自然主義對希爾伯特方案的修改由第二不完全性定理，我們不能在有窮主義數(shù)學(xué)中證明整個經(jīng)典數(shù)學(xué)的一致性，從而一攬子地將整個經(jīng)典數(shù)學(xué)的一致性歸約為有窮主義數(shù)學(xué)的一致性，并給出一個一般性的消除理想元的方法。但

20、是，這并沒有完全否定希爾伯特的基本思想，即經(jīng)典數(shù)學(xué)中的理想元只是幫助得出有窮主義數(shù)學(xué)的結(jié)論的工具。這里我們首先要指出，到目前為止，科學(xué)都只是對宏觀和微觀上有限的事物的描述，即從普朗克尺度到宇宙尺度之間的事物的描述。經(jīng)典數(shù)學(xué)中的無窮在應(yīng)用中都是近似地模擬有限離散的事物。所以我們可以仔細(xì)地檢驗(yàn)每一類經(jīng)典數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，從中考察，它們對無窮的應(yīng)用是否只是表面的，是否原則上可消除。如果可以消除，那么那一類經(jīng)典數(shù)學(xué)的應(yīng)用實(shí)際上可以被歸約為有窮主義數(shù)學(xué)的應(yīng)用。這樣，我們還是能夠在有窮主義的基礎(chǔ)上論證，經(jīng)典數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用會得出關(guān)于有限事物的真理。這與希爾伯特的證明經(jīng)典數(shù)學(xué)的保守性的一攬子計(jì)劃有區(qū)別。希爾伯特

21、的計(jì)劃不能成功，是因?yàn)榻?jīng)典數(shù)學(xué)中的推理模式在整體上超出了有窮主義的推理模式，因此前者的一致性不能歸約為后者的一致性。但由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的對象是有限的，實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)雖然在表面上使用了經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念，有可能在實(shí)質(zhì)上并沒有超出有窮主義數(shù)學(xué)的范圍。因此，需要做的不是用有窮主義數(shù)學(xué)一攬子地證明整個經(jīng)典數(shù)學(xué)的一致性，而是檢驗(yàn)各類數(shù)學(xué)應(yīng)用，證明它們沒有實(shí)質(zhì)性地超出有窮主義，即它們可以在原則上被歸約為有窮主義數(shù)學(xué)的應(yīng)用。這就是在自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)中解釋經(jīng)典數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性的策略。這種策略不受哥德爾第二不完全性定理的影響，因?yàn)槲覀儧]有期望在一個更簡單的系統(tǒng)中證明一個更復(fù)雜的系統(tǒng)的一致性。我們只是檢驗(yàn)對那個更復(fù)雜的系統(tǒng)

22、的實(shí)際應(yīng)用，說明它們其實(shí)并未在本質(zhì)上超出那個更簡單的系統(tǒng)。 更具體地說，我們提出了一種不假設(shè)無窮的嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)，而且證明一些應(yīng)用數(shù)學(xué)，包括微積分、初等復(fù)變函數(shù)理論、基本的勒貝格積分理論、基本的希爾伯特空間上的無界算子的譜理論等等，可以在這個嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的框架中發(fā)展起來 葉峰： HYPERLINK finitismAndTheLogicOfMathematicalApplications.pdf t _blank Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, 見 HYPERLINK /cllc/people/fen

23、gye/index.html /cllc/people/fengye/index.html。這說明，這些傳統(tǒng)上顯然假設(shè)了無窮的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論中的無窮其實(shí)是可以被消除的，經(jīng)典數(shù)學(xué)中的這些理論的應(yīng)用可以被轉(zhuǎn)換為有窮主義數(shù)學(xué)中相應(yīng)的理論的應(yīng)用。目前在嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的框架下發(fā)展的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論還很有限，因此，要說明更多的無窮數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性還需要做更多的工作。但我們也有直觀上的理由相信這個策略是可行的。這就是因?yàn)閿?shù)學(xué)應(yīng)用中的無窮都僅僅是對有限、離散的物理對象的近似，因此我們直觀上認(rèn)為，在應(yīng)用中無窮不應(yīng)該是邏輯上嚴(yán)格地不可或缺的。當(dāng)然，這種直觀上的認(rèn)識需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)工作來支持，即需要在嚴(yán)格有窮主義數(shù)學(xué)的框架

24、下發(fā)展更多可應(yīng)用的數(shù)學(xué)，以此來說明無窮在數(shù)學(xué)應(yīng)用中都是原則上可消除的。5、自然主義(zrnzhy)對第一不完全性定理的解釋(jish)最后我們(w men)要分析一下對第一不完全性定理的一個普通的解釋，即“不完全性定理表明數(shù)學(xué)真理不可被形式系統(tǒng)窮盡”。這種解釋有時被用來支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論，但實(shí)際上，這種解釋預(yù)設(shè)了對于數(shù)學(xué)陳述的一個“真”概念，而且，它隱含地將“真”理解為“對應(yīng)于抽象數(shù)學(xué)實(shí)在”，因此它其實(shí)是預(yù)設(shè)了數(shù)學(xué)實(shí)在論。這不是自然主義者可接受的解釋，自然主義者也不認(rèn)為它支持了數(shù)學(xué)實(shí)在論。事實(shí)上，這種形式的不完全性定理并不一定要用到句子的“真”屬性。考慮系統(tǒng)T的語言L。首先，假設(shè)有一個關(guān)于語言L的

25、語句屬性P，它滿足下列兩個條件，對L的每個語句，要么是P，要么是P；T的定理都是P。則可以證明T的定理不能窮盡語言L的具有屬性P的語句，即T的定理的集合是半可判定的，但L的具有屬性P的語句的集合不是半可判定的。當(dāng)屬性P是實(shí)在論意義上的“真”的時候，這是哥德爾的第一不完全性定理的一種熟知的形式。但是，這里的P完全可以被解釋為任何一個關(guān)于L的語句的屬性，只要它滿足條件（4）、（5），并不要求它就是“真”，更不要求它是與某個抽象數(shù)學(xué)世界的對應(yīng)。不過，不完全性定理的這種形式意味著，滿足條件（4）、（5）的任何關(guān)于語句的屬性P都不能是可判定的或半可判定的屬性。因此，這樣的屬性不能在有窮主義數(shù)學(xué)中被定義，

26、不能被形式主義者或自然主義者接受為有真實(shí)內(nèi)容的屬性。那么，從自然主義的角度看，當(dāng)實(shí)在論者將“真”作為（4）、（5）中的P而證明哥德爾定理的時候，他們是在做什么？在自然主義看來，抽象數(shù)學(xué)對象并不存在。是我們在想象所謂抽象數(shù)學(xué)對象。同樣地，實(shí)在論者的所謂“數(shù)學(xué)定理對應(yīng)于抽象數(shù)學(xué)世界”也只是他們的想象。事實(shí)上，實(shí)在論者僅僅是遵循關(guān)于“真”這個詞的一些語言使用規(guī)則來使用這個詞，也就是來表達(dá)他們的關(guān)于“對應(yīng)于抽象數(shù)學(xué)世界” 的想象。也就是說，談?wù)撜Z句的“真”屬性，也就像談?wù)撃切┏橄髷?shù)學(xué)對象，是在想象事物時的言談。實(shí)在論者接受的關(guān)于“真”這個詞的語言使用規(guī)則包括塔斯基的“真”定義規(guī)則。比如，對于語言L，這

27、包括了對每個語句，是“真”的，當(dāng)且僅當(dāng)不是“真”的；對任何(rnh)語句，是“真”的，當(dāng)且僅當(dāng)是“真”的或者(huzh) 不是“真”的；對每個語句(yj)x(x)，x(x)是“真”的，當(dāng)且僅當(dāng)對每個自然數(shù)n，(n)是“真”的。由此可以推導(dǎo)出，邏輯有效式都是“真”的。對于語言L的一個公理系統(tǒng)T，使用“真”這個詞的規(guī)則還包括，T的公理都是“真”的。這些規(guī)則可以歸約為一個簡單的規(guī)則，即所謂的“去引號（disquotation）”規(guī)則：對每個語句，是“真”的，當(dāng)且僅當(dāng)。也就是說，我們先有一個公理系統(tǒng)T來表達(dá)我們的關(guān)于自然數(shù)的想象。然后我們擴(kuò)展這個想象，即不止想象自然數(shù)，還想象形式語言L的語句相對于自然

28、數(shù)的“真”。（10）是我們作此想象的基本假設(shè)。由于我們想象自然數(shù)的時候已經(jīng)接受了經(jīng)典邏輯與T的公理，從（10）很容易推導(dǎo)出（6）至（9）。所以，在自然主義者看來，訴諸“真”概念的不完全性定理是在這樣的擴(kuò)展的想象中推導(dǎo)出的一個結(jié)論。它并沒有對數(shù)學(xué)實(shí)在論提供任何正面支持。所謂“真理不可被形式系統(tǒng)窮盡”表達(dá)的是我們的想象活動的一些特征。比如，我們想象一個形式系統(tǒng)的定理是從公理出發(fā)進(jìn)行有限步的推導(dǎo)得到的。因此，假如公理與推導(dǎo)規(guī)則的形式都受一些限制，比如，只有有限多個公理模式，有限多個推理規(guī)則模式，且每個推理規(guī)則模式都只有有限個前提，則所能推導(dǎo)出的定理也受一些限制，比如，定理的全體是半可判定的。這種想象“定理”這個屬性的想象模式包含著一種有限性。但我們對形式語言的語句的“真”屬性的想象則不受類似的限制