數(shù)據(jù)、模型與決策第八講層次分析法ppt課件

1、數(shù)據(jù)、模型與決策第八講 層次分析法主講：鄧旭東教授教學內(nèi)容概述1層次分析法的根本原理2層次分析法的根本步驟3層次分析法的計算4層次分析法運用實例5學習目的掌握層次分析法的根本思緒掌握層次分析法的根本原理掌握層次分析法的根本步驟掌握求解正互反矩陣最大特征值及相應特征向量的常用方法：冪法、方根法、和積法掌握判別矩陣的一致性檢驗步驟并能熟練運用能聯(lián)絡實踐，建立系統(tǒng)遞階層次構(gòu)造模型并構(gòu)建兩兩比較判別矩陣，處理一些評價類的問題一、概述 層次分析法analytic hierarchy Process，AHP是著名運籌學家、美國匹茲堡大學教授T. L. Saaty于20世紀70年代提出的一種系統(tǒng)分析方法，是

2、一種適用的多準那么決策方法。其主要特征是，它合理地把定性與定量的決策結(jié)合起來，按照思想、心思的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化。 層次分析法的根本思緒是把復雜問題分解成假設干要素，把這些要素按照支配關(guān)系分組構(gòu)成有序的遞階層次構(gòu)造，并權(quán)衡其各個方面的影響，然后綜合人的判別，以決議諸要素相對重要性的先后次序。一、概述 在管理中，人們經(jīng)常需求對一些情況作出決策：例如企業(yè)的決策者要決議購置哪種設備，上馬什么產(chǎn)品；經(jīng)理要從假設干求職者中決議錄用哪些人員；地域、部門官員要對人口、交通、經(jīng)濟、環(huán)境等領域的開展規(guī)劃作出決策。 在日常生活中也常會遇到，在多種類不同特征的商品中選購。報考學校選擇志愿。畢業(yè)時選擇任務崗

3、位等。 這一系列的問題，單純靠構(gòu)造一個數(shù)學模型來求解的方法往往行不通，而用完全客觀的定奪也經(jīng)常表現(xiàn)為舉棋不定，而最終選擇不理想，甚至不稱心的決策方案。 面對這樣的問題，運籌學者開場了對人們思想決策過程進展分析、研討。 美國運籌學家，T.L.Saaty等人在九十年代提出了一種能有效處置這類問題的適用方法，稱之為層次分析法AHP法。二、層次分析法的根本原理 1. 測度原理 層次分析法的中心是決策模型中要素的測度化。對于復雜系統(tǒng)的決策模型來說，經(jīng)常采用相對標度進展比較，一致對有形與無形的、可定量與不可定量的要素進展測度。 2. 遞階層次構(gòu)造原理 一個復雜的構(gòu)造問題可經(jīng)過分解為它的組成部分或要素來處理

4、，即目的、約束準那么、子準那么、方案等。每一個要素稱為元素。按照屬性的不同，把這些元素分組構(gòu)成互不相交的層次，上一層次的元素對相鄰的下一層次的全部或部分元素起支配作用，構(gòu)成按層次自上而下的逐層支配關(guān)系。具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次。二、層次分析法的根本原理 在建立遞階層次模型時，經(jīng)常將問題劃分為最高層、中間層和最低層。最高層通常只需一個元素，它是問題的預定目的，表示處理問題的目的，因此也是目的層。中間層是為實現(xiàn)總目的而采取的措施和方案，它可以由假設干個層次組成，包括所思索的準那么、子準那么，因此也稱為準那么層。最低層是為實現(xiàn)目的可供選擇的各種決策方案，用于處理問題的各種途徑和方法，也稱為方案

5、層。 3. 排序原理 層次分析法的排序問題是指一組元素兩兩比較、計算元素相對重要性的測度問題。由于經(jīng)過兩兩要素比較得到的判別矩陣不一定滿足矩陣的一致性條件，我們希望找到一個數(shù)量規(guī)范來衡量矩陣不一致的程度。 三、層次分析法的根本步驟 層次分析法是模擬人們對復雜決策問題的思想、判別過程進展構(gòu)造的，其根本步驟如下： (1) 建立系統(tǒng)的遞階層次構(gòu)造模型 在深化分析所研討的問題后，將問題中所包含的要素劃分為不同層次，如目的層、準那么層和方案層等，并畫出層次構(gòu)造圖表示層次的遞階構(gòu)造和相鄰兩層要素的從屬關(guān)系。 (2) 構(gòu)造兩兩比較判別矩陣 判別矩陣元素的值表示人們對各要素關(guān)于目的的相對重要性的認識。在相鄰的

6、兩個層次中，高層次為目的，低層次為要素。三、層次分析法的根本步驟 (3) 層次單排序及其一致性檢驗 判別矩陣的特征向量經(jīng)過歸一化后即為各要素關(guān)于目的的相對重要性的排序權(quán)值。利用判別矩陣的最大特征根，可求CI和CR值，當CR0.1時，以為層次單排序的結(jié)果有稱心的一致性；否那么，需求調(diào)整判別矩陣的各元素的取值。 (4) 層次總排序及其一致性檢驗 從目的層開場，逐層向下由各個元素的相對權(quán)重計算出它們相對于總目的的組合權(quán)重，即絕對權(quán)重或全局權(quán)重?？偰康谋旧淼慕^對權(quán)重為1，其下面每一層元素的相對權(quán)重乘以其所針對的上一層準那么的絕對權(quán)重，既得到該元素的絕對權(quán)重。博弈的分類 用AHP分析問題，首先要把問題條

7、理化、層次化，構(gòu)造層次分析的構(gòu)造模型。這些層次大體上可分為3類： (1) 最高層：在這一層次中只需一個元素，普通是分析問題的預定目的或理想結(jié)果，因此又稱目的層； (2) 中間層：這一層次包括了為實現(xiàn)目的所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由假設干個層次組成，包括所需求思索的準那么，子準那么，因此又稱為準那么層； (3) 最底層：表示為實現(xiàn)目的可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。 層次分析構(gòu)造中各項稱為此構(gòu)造模型中的元素。1.建立層次分析的構(gòu)造模型決策目的準那么1方案1準那么m1準那么2子準那么1方案2子準那么2方案mr子準那么m2方案層準那么層目的層第九章 層次分析1.建立層次分析的

8、構(gòu)造模型博弈的分類 注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以有元素非底層元素并不支配下一層次的一切元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配關(guān)系所構(gòu)成的層次構(gòu)造，我們稱之為遞階層次構(gòu)造。 遞階層次構(gòu)造中的層次數(shù)與問題的復雜程度及分析的詳盡程度有關(guān)，普通可不受限制。 為了防止由于支配的元素過多而給兩兩比較判別帶來困難，每層次中各元素所支配的元素普通地不要超越9個，假設多于9個時，可將該層次再劃分為假設干子層。 例1 某顧客選購電冰箱時，對市場上正在出賣的四種電冰箱思索6項準那么作為評價根據(jù)，得到如下層次分析模型：1.建立層次分析的構(gòu)造模型目的層：準那么層：方案層：第九章 層次分析1.建立層

9、次分析的構(gòu)造模型 例2 選擇科研課題： 某研討單位現(xiàn)有3個科研課題，限于人力物力，只能承當其中一個課題，如何選擇？ 思索以下要素：成果的奉獻大小，對人材培育的作用，課題可行性。 在成果奉獻方面調(diào)查：運用價值及科學意義實際價值，對某科技領域的推進作用； 在課題可行性方面思索：難易程度難易程度與本身的科技力量的一致性，研討周期估計需求破費的時間，財政支持所需經(jīng)費，設備及經(jīng)費來源，有關(guān)單位支持情況等。1.建立層次分析的構(gòu)造模型目的層合理選擇科研課題A成果奉獻B1人才培育B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3運用價值 c1科學意義 c2難易程度 c3研討周期 c4財政支持 c5第九章 層次分析方案

10、層準那么層1.建立層次分析的構(gòu)造模型 例3 設某港務局要改善一條河道的過河運輸條件，為此需求確定能否要建立橋梁或隧道以替代現(xiàn)有輪渡。 此問題中過河方式確實定取決于過河方式的效益與代價即本錢。通常我們用費效比效益/代價作為選擇方案的規(guī)范。為此構(gòu)造以下兩個層次分析的構(gòu)造模型。1.建立層次分析的構(gòu)造模型準那么層過河的效益A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3橋梁D1隧道D2渡船D3收入 c2岸間商業(yè) c3節(jié)省時間c1當?shù)厣虡I(yè)c4建筑就業(yè)c5平安可靠c6交往溝通c7驕傲感c8舒 適c9進出方便c10美 化c11第九章 層次分析方案層目的層1.建立層次分析的構(gòu)造模型過河的代價A經(jīng)濟代價B1社會代價B2環(huán)

11、境代價B3橋梁D1投入資金c1操作維護c2沖擊渡船業(yè)c3沖擊生活方式c4交通擁堵 c5居民搬遷 c6汽車排廢物 c7對水的污染 c8對生態(tài)的破壞c9隧道D2渡船D3第九章 層次分析目的層準那么層方案層1.建立層次分析的構(gòu)造模型 上、下層之間關(guān)系被確定之后，需確定與上層某元素Z目的A或某個準那么Z相聯(lián)絡的下層元素x1，x2，xn)各在上層元素Z之中所占的比重。 方法：每次取2個元素，如xi，xj，以aij表示 xi 和 xj 對Z的影響之比。這里得到的A=(aij)nn稱為兩兩比較的判別矩陣。 Saaty建議用19及其倒數(shù)做為標度來確定aij的值，19比例標度的含義： xi比xj強重要的程度 x

12、i/ xj 相等 稍強 強 很強 絕對強 aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19標度的理由：兩兩比較的心思習慣， 顯然，判別矩陣A的元素有如下特征：1 aij0 2 aji=1/aij3 aii=1 我們稱判別矩陣A為正互反矩陣。 2、構(gòu)造判別矩陣 例如在例2中，準那么層B對目的層作要素兩兩比較，并可建立下面判別矩陣： B1：B2為3 B1：B3為1 以為成果奉獻比另二項稍重要，另二項差不多一樣重要。判別矩陣 B1 B2 B3 B1 1 3 1 A= B2 1/3 1 1/3 B3 1 3 12、構(gòu)造判別矩陣 (1) 單一準那么下元素排序： 求判別矩陣A的最大特征值max及規(guī)范化歸一

13、化的特征向量W。W的向量為同一層次中相應元素對于上一層次中某個要素相對重要性的排序權(quán)重。有wi0，i， 。 在構(gòu)造判別矩陣時，各層元素間兩兩比較時，aij應有某種傳送性質(zhì)，即假設甲比乙重要，乙比丙重要，合理地應有甲比丙更重要，在數(shù)值上表示為aijajk=aik 即 假設xi與xj相比aij=3，xj與xk相比ajk=2，那么有傳送性的判別應xj與xk相比，ajk=6 。 (2) 判別矩陣的一致性概念： 判別矩陣是各元素均為正數(shù)的矩陣這種正矩陣有以下重要性質(zhì)。 定理設n階方陣A為正矩陣， max為A的最大模特征值，u =u1，u2，un)T為max的相應特征向量。 、max 0，ui 0，i =

14、1，2，n 、max是單特征根；因此 u 除差一常數(shù)因子外是獨一的 、A的任何其它特征值，有max| |。3.層次單排序及其一致性檢驗 定義：假設正互反矩陣A滿足aijajk=aik i ，j ，k =1，2，n 那么稱A為一致陣。 一致陣的重要性質(zhì)：設A是一致陣， 1A的轉(zhuǎn)置亦是一致陣； aij=1/aji ，aij=1 ，i ，j=1，2，n； 由定義 aijajk=aik 那么顯然 2A的每一行均為恣意指定的另一行的正數(shù)倍，從而A的秩為1。即只需一個非零特征值，其他n-1個為0特征值； 思索第行元素ai1，ai2，ain 對于第k行元素ak1，ak2，akn j=1，2，n， aij=a

15、ikakj 即第行各元素分別為第k行各元素的aik倍。 3A的最大特征根max= n，其他特征根皆為零； 4設u=(u1，u2，un)T是A對應max的特征向量，那么aij=ui /uj i ，j =1, 2, , n 容易驗證：對于n及向量u=(u1，u2，un)T 假設aij=ui /uj ij 那么 Au=nu (i， )又由定理1及性質(zhì)2可知 max=n，u滿足43.層次單排序及其一致性檢驗 5假設A為判別矩陣，那么A對應于max =n 的規(guī)范化歸一化特征向量 u=(u1，u2，un)T 就是一組排序權(quán)向量。 歸一化 由性質(zhì)4即知。 進一步地有如下定理 定理2、n階正互反矩陣A=aij

16、)nn是一致陣的充分必要條件為max=nProof : “必要性即是上面性質(zhì)3已證 “充分性設A的最大特征值為max，相應特征向量u=(u1，un)T Au= max u 分量方式：對 i =1，2，n 由定理1知ui0 ，于是max= 留意aij=1，max-1= aij uj /ui 3.層次單排序及其一致性檢驗求和把i=1，n的各式相加：nmax-n= aij uj /ui 留意 aji=1/aij 整理上式得：nmax-n= (aij uj /ui +1/ aij uj /ui )(*) (*)式末端=n2-n=n(n-1)留意：當x0時 x+(1/x)2當且僅當x=1時等號成立 。于

17、是：aij ( uj /ui )+ (1/ aij)( uj /ui) 2(*)式右端 2 = 2(n-1)+(n-2)+2+1=n(n-1) =左端 當且僅當 aij (uj /ui)=1時等號成立 3.層次單排序及其一致性檢驗 aij ( uj /ui )即aijajk=(ui /uj)(uj /uk)= uj /uk=ajk故A是一致陣。 由于客觀事物的復雜性與人的認識的多樣性，我們得到的判別矩陣經(jīng)常不具有傳送性和一致性，但應該要求這些判別大體是一致的。 當判別矩陣過于偏離一致性時，它的可靠性值得疑心，為此需對判別矩陣進展一致性檢驗。一致性檢驗步驟：、計算一致性目的C.I.=(max-n

18、)/(n-1) (ConsisTeney Index)、查找相應的平均隨機一致性目的R.I.(Random Index) 115階正互反矩陣計算1000次得到的平均隨 機一致性目的： 矩陣階數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41矩陣階數(shù) 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.593.層次單排序及其一致性檢驗計算：R.I.=(max-n)/(n-1)， max為m次判別矩陣max的平均值。max產(chǎn)生方法：取定階數(shù)n，隨機構(gòu)造正互反矩陣=ij)nn

19、，ij在1, 2, , 9, 1/2, 1/3, , 1/9這17個數(shù)中隨機抽取，(只需取n(n-1)/2個，對角元為1，其他按正互反性得到取充分大的子樣計算一切的最大特征值，然后求平均即為max 。、計算一致性比率C.R. (consistency ratio) C.R.= C.I./R.I.當C.R.0.1時 以為判別矩陣的一致性是可接受的。當C.R. 0.1時 應修正判別矩陣。例如 對前面矩陣 1 3 1 A= 1/3 1 1/3 1 3 1 3.層次單排序及其一致性檢驗計算出 max=3歸一化向量u=(3/7，1/7，3/7)T C.I.=(max-3)/(3-1)=0C.R.=0 是一致陣。例： 1 2 5 A= 1/2 1 7 1/5 1/7 1 計算出 max=3.1189，u=(0.5415，0.3816，0.0761)T C.I.=3.1189-3/3-1=0.05945 查表得R.I.=0.52 C.R.=0.05945/0.52=0.11430.1，應修正判別矩陣3.層次單排序