福建省漳州市八校2014屆高三第四次聯(lián)考(數(shù)學(xué)理)解析版

1、2014屆高三年漳州八校第四次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘 總分: 150分）【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，使用時(shí)間是5月初，可作為高考前的模擬考試，也是一次摸底考試，故命題模式與高考一致，考查了高考考綱上的諸多熱點(diǎn)問題，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)，也有綜合性較強(qiáng)的問題，試題必做部分重點(diǎn)考查：函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、概率、解析幾何等，選做部分考查矩陣、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式，涉及到的基本數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等，試題難度適中，兼達(dá)到高考關(guān)于區(qū)分度的要求，適合即將參加高考的高三學(xué)生使用。

2、一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法【答案解析】A 解析：，故選：A【思路點(diǎn)撥】由已知可得：，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，分子分母同時(shí)乘以化簡(jiǎn)即可。2已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（lX5）=0682 6，則P（X5）=（ ）A0158 8 B0158 7 C0158 6 D0158 5【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及意義【答案解析】B 解析：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（lX5）=0682 6 P（3X5）=P（lX5）=0.3413 P（X5）=0.5-

3、0.3413=0.1587，故選：B【思路點(diǎn)撥】對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，由p（3X5）的概率即可求出p（X5）。3已知一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，當(dāng)輸出的結(jié)果為0時(shí)，輸入 的的值為（ ） A1或1 B2或0 C2或1 D1或0 【知識(shí)點(diǎn)】含判斷結(jié)構(gòu)的程序框圖【答案解析】C 解析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算并輸出分段函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，令，則，故選：C【思路點(diǎn)撥】該程序的作用是計(jì)算并輸出分段函數(shù)的值，輸出的結(jié)果為0即，分情況求的值即可。 4已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+）內(nèi)有1 006個(gè)零點(diǎn)，則f（x）的零點(diǎn)

4、共有（ ）A1 006個(gè) B.100個(gè)C2 012個(gè) D2 013個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；零點(diǎn)的存在性及意義【答案解析】D 解析：因?yàn)橐阎猣（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱再由函數(shù)在（0，+）內(nèi)有1006個(gè)零點(diǎn)，可得函數(shù)在（-，0）內(nèi)也有1006個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)f（0）=0，可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 1006+1006+1=2013，故選：D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)的定義，以及f（0）=0、函數(shù)在（0，+）內(nèi)有1003個(gè)零點(diǎn)，即可求得函數(shù)的零點(diǎn)的總個(gè)數(shù)5在ABC中內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b= 2ccos A，c=2bcos A，則ABC的形

5、狀為（ ） A直角三角形 B銳角三角形 C等邊三角形 D等腰直角三角形【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；三角形內(nèi)角和性質(zhì)；和差角公式【答案解析】C 解析：由b= 2ccos A，根據(jù)正弦定理得：，因?yàn)樵谌切沃校?代入上式可得：，即又，所以，即，同理，所以ABC的為等邊三角形，故選：C【思路點(diǎn)撥】6設(shè)an是等比數(shù)列，則“a1a2 a4”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的分類；充分、必要條件的判定【答案解析】B 解析：當(dāng)時(shí)，滿足a1a2 a4，但此時(shí)的數(shù)列，是擺動(dòng)數(shù)列，所以a1a2 a4時(shí)，數(shù)列an不一定是遞增

6、數(shù)列，充分性不成立；若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則一定有a1a2 a4，必要性成立，故選：B【思路點(diǎn)撥】結(jié)合遞增數(shù)列的定義和充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可。一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（ ） A4 B12 C2 D4【知識(shí)點(diǎn)】三視圖；幾何體的外接球【答案解析】A 解析：三視圖復(fù)原的幾何體如圖，它是底面為等腰直角三角形，底邊長(zhǎng)為，底邊上的高是，所以腰長(zhǎng)是2，一條長(zhǎng)為2 的側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn)，它的外接球，就是將其擴(kuò)展為正方體的外接球，球的直徑為，所以體積為， 故選：A 【思路點(diǎn)撥】判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，底面為等腰直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn)，將其擴(kuò)展

7、為正方體，結(jié)合數(shù)據(jù)求出外接球的半徑，然后求其體積。用1，2，3，4，5，6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足 1不在左右兩端，2，4，6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù) 相鄰，則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A432 B288 C216 D144【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理；排列組合【答案解析】B 解析：從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中任意選出2個(gè)看作一個(gè)“整體”，方法有種,先排3個(gè)奇數(shù)：若1排在左端，方法有種,則將“整體”和另一個(gè)偶數(shù)中選出一個(gè)插在1的左邊，方法有種，另一個(gè)偶數(shù)插在3個(gè)奇數(shù)形成的3個(gè)空中，方法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得此時(shí)滿足條件的六位數(shù)共有種;若1排在右端，同理求得滿足條件的六位數(shù)也有72種;若1排在中間，

8、方法有種，則將“整體”和另一個(gè)偶數(shù)插入3個(gè)奇數(shù)形成的4個(gè)空中，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得此時(shí)滿足條件的六位數(shù)共有種綜上，滿足條件的六位數(shù)共有 72+72+144=288種，故選：B【思路點(diǎn)撥】從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中任意選出2個(gè)看作一個(gè)“整體”，先排3個(gè)奇數(shù)：分1在左邊、1在右邊、1在中間三種情況，分別用插空法求得結(jié)果，再把這3個(gè)結(jié)果相加，即得所求。9已知函數(shù)則與兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A1 B2 C3 D4【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)；數(shù)形結(jié)合法【答案解析】C 解析：在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別做出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖：由圖可知，與兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C【思路點(diǎn)撥】在同一坐標(biāo)系中，分別做出兩個(gè)

9、函數(shù)的圖象，其中的圖像是分段的，要分兩段來畫，再由圖象判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)10.函數(shù)的定義域?yàn)锳,若且時(shí)總有,則稱為單函數(shù).例如:函數(shù)是單函數(shù).給出下列命題:函數(shù)是單函數(shù);指數(shù)函數(shù)是單函數(shù);若為單函數(shù),且,則;在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù),其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ( )A3B2CD0 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性；基本初等函數(shù)【答案解析】A 解析：對(duì)于，若，則時(shí)，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于，f（x）=2x是R上的增函數(shù)，當(dāng)f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，故正確；對(duì)于，對(duì)于f（x）為單函數(shù)，則f（x1）=f（x2）時(shí)，有x1=x2，逆否命題是x1x2時(shí)，有f（x1）f（x2），故正確；對(duì)于，假如f（x

10、1）=f（x2）時(shí)有x1x2，這與單調(diào)函數(shù)矛盾，故正確，所以正確命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的定義及單函數(shù)的定義，我們易得單函數(shù)即一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)，進(jìn)而逐一分析四個(gè)答案，即可得到答案二、填空題（本題5小題，每小題4分,共20分。 請(qǐng)將正確答案填入答題卷中。）11由曲線所圍成的圖形面積是 . 【知識(shí)點(diǎn)】定積分求面積【答案解析】e-2 解析：畫出草圖，圖中陰影部分就是所圍成的圖形， ，故答案為：e-2【思路點(diǎn)撥】畫出圖象確定所求區(qū)域，用定積分表示區(qū)域的面積，解出定積分的值就是所求面積。12、已知，則的值= 。【知識(shí)點(diǎn)】和差角公式；倍角公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系式【答案解析】 解析：

11、， ， ，故答案為：【思路點(diǎn)撥】由已知以及同角三角函數(shù)關(guān)系式可求得的值，化簡(jiǎn)后也等于，即得答案。13若實(shí)數(shù)x，y滿足且的最小值為4，則實(shí)數(shù)b的值為 【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃【答案解析】3 解析：畫出x，y滿足的可行域如下圖： 由圖可知：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)，即直線和的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，由 得， 帶入目標(biāo)函數(shù)，有：，所以，故答案為：3【思路點(diǎn)撥】畫出滿足條件的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程，解方程即可得到的值。14設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為

12、【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【答案解析】 解析：設(shè)，則,所以， 又因?yàn)镕1AF2=90，所以， 所以雙曲線的離心率，故答案為：【思路點(diǎn)撥】可設(shè)，則，根據(jù)已知條件和雙曲線的定義，可以用表示出，代入離心率的計(jì)算公式中即可。15.已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，則圓的面積的最小值是 . 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【答案解析】 解析：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以恒成立，所以是R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（-1，0）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即得的最小值是1，所以圓的面積的最小值為，故答案為：【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間，由于，所以是R上的增函數(shù)，且

13、，再根據(jù)和的關(guān)系，即可得到a，b的值，繼而求出面積的最小值三解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16 . （本小題滿分13分）小明打算從組和組兩組花樣滑冰動(dòng)作中選擇一組參加比賽已知小明選擇組動(dòng)作的概率是選擇組動(dòng)作的概率的3倍，若小明選擇組動(dòng)作并正常發(fā)揮可獲得10分，沒有正常發(fā)揮只能獲得6分；若小明選擇組動(dòng)作則一定能正常發(fā)揮并獲得8分據(jù)平時(shí)訓(xùn)練成績(jī)統(tǒng)計(jì)，小明能正常發(fā)揮組動(dòng)作的概率是（）求小明選擇組動(dòng)作的概率；（）設(shè)表示小明比賽時(shí)獲得的分?jǐn)?shù)，求的分布列與期望【知識(shí)點(diǎn)】概率的性質(zhì)；離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望【答案解析】解：（）設(shè)小明選擇組動(dòng)作的概率為，則小

14、明選擇組動(dòng)作的概率為，依題意得即，所以小明選擇組動(dòng)作的概率為0.75（）依題意得=10、6、8的分布列為：1068【思路點(diǎn)撥】（）已知小明選擇組動(dòng)作的概率是選擇組動(dòng)作的概率的3倍，可得，解出p即可。（）由題知，的取值為10,6,8，分別對(duì)應(yīng)選擇組動(dòng)作并正常發(fā)揮、選擇組動(dòng)作沒有正常發(fā)揮、選擇組動(dòng)作三種不同的結(jié)果，分析每種結(jié)果得到對(duì)應(yīng)的的概率，列出表格，再代入期望的計(jì)算公式即可解得期望。 17（本題滿分13分）如圖，四邊形是矩形，平面， 四邊形是梯形， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法【答案解析】解

15、：（）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn). 點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線. 平面，平面，平面.（）解：四邊形 是梯形，又四邊形是矩形，又，又，在中，由可求得 以為原點(diǎn)，以，分別為， ，軸建立空間直角坐標(biāo)系，. 設(shè)平面的法向量， ，. 令，則，. . 又是平面的法向量， 如圖所示，二面角為銳角. 二面角的余弦值是【思路點(diǎn)撥】（）連接BD，交AC于點(diǎn)G，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得BFMG，利用線面平行的判定，可得BF平面AMC；（）以A為原點(diǎn)，以AF，AB，AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面ACE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角B-AC-E的余弦值。18. （本小題滿分13分）

16、已知，且.（）在銳角中，分別是角的對(duì)邊，且,的面積為，當(dāng)時(shí)，,求的值. （）若時(shí)，的最大值為（為數(shù)列的通項(xiàng)公式），又?jǐn)?shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)】【答案解析】解（）， ，當(dāng)時(shí)，由得：，又是銳角三角形，即，又由得：，由余弦定理得：（）由（）知：由，可得：， 當(dāng)即時(shí)，此時(shí)，取最大值為，又 【思路點(diǎn)撥】（）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到的解析式并化簡(jiǎn)，由，得，由，得，再利用余弦定理即可得到；（）由的范圍得的范圍，進(jìn)而求出的最大值，即，把代入中，并裂項(xiàng)，用裂項(xiàng)相消法即可求得。19（本小題滿分13分）如圖，軸，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)。（I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（）過點(diǎn)的切線交曲線C于

17、A，B兩點(diǎn)，求AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo)?！局R(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程；直線與圓相交的性質(zhì)【答案解析】解: （I） 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以， 因?yàn)樵趫A上，所以 將代入，得點(diǎn)的軌跡方程C的方程為 （）由題意知，當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為由得設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則由得：又由l與圓相切，得即 且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，|AB|的最大值為2， 依題意，圓心到直線AB的距離為圓的半徑，所以面積 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積S的最大值為1，相應(yīng)的的坐標(biāo)為或者【思路點(diǎn)撥】（I）設(shè)出M的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)，由題意找出兩個(gè)點(diǎn)的

18、坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)P在圓上，將P的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；（）由題意知，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)時(shí)，可以確定切線的方程，與聯(lián)立，求出A和B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的面積；（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)切線方程，與圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出和的坐標(biāo)，由與圓相切，得到切線方程中參數(shù)的關(guān)系，代入公式中，利用韋達(dá)定理和基本不等式變形，得到的最大值，進(jìn)而求出的面積的最大值，以及此時(shí)T的坐標(biāo)即可20（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.當(dāng)時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)時(shí)，問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，求出“

19、轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。【知識(shí)點(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；【答案解析】（ = 1 * ROMAN I）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng) ，所以函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值為-2. （ = 2 * ROMAN II）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)在其圖像上一點(diǎn)處的切線方程，得設(shè)且 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；所以在不存在 “轉(zhuǎn)點(diǎn)”. 當(dāng)時(shí)，即在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】（ = 1 * ROMAN I）利用函數(shù)的求導(dǎo)公式和法則求出，令，解出，觀察左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，判斷其

20、是否極值點(diǎn)，是什么極值點(diǎn)，代入求出極值即可；（ = 2 * ROMAN II）先用點(diǎn)斜式求出在點(diǎn)處的切線方程，即的解析式，令討論的單調(diào)性，通過判斷與即0的關(guān)系，得到與0的關(guān)系，進(jìn)而判斷點(diǎn)P是否滿足“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的定義，通過討論，只有當(dāng)時(shí)，即在定義域上是增函數(shù)，在上恒成立，滿足“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的定義，即可得到答案。21本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選兩題做答，滿分14分.若多做，則按所做的前兩題計(jì)分.請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中（1）（本小題滿分7分）選修42：矩陣與變換已知矩陣有特征值及對(duì)應(yīng)特征向量，且矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成（）求矩陣；

21、（）若直線在矩陣所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到直線，求直線方程.【知識(shí)點(diǎn)】特征值與特征向量的計(jì)算；【答案解析】解：（）設(shè)，則，故 又矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成 ，故 聯(lián)立以上兩方程組，解得：，故. （）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，它在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)， 則，即 又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以有:, 把代人 得：| 故所求直線的方程為：.【思路點(diǎn)撥】（）先設(shè)出矩陣，由的特征值及特征向量及矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）換成（-2，4）得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣；（）設(shè)出點(diǎn)（x，y）是直線上的任一點(diǎn)，其在矩陣的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)變換前后寫出關(guān)系式，整理出要求的直線的方程（2）（本小題滿分7分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）（）判斷直