高中數(shù)學(xué)-解析幾何習(xí)題精選精講

1、圓錐曲線定義的深層及綜合運(yùn)用一、橢圓定義的深層運(yùn)用例1. 如圖1，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，為其兩焦點(diǎn)，從的外角的平分線作垂線，垂足為M，將F2P的延長(zhǎng)線于N，求M的軌跡方程。圖1解析：易知故在中，則點(diǎn)M的軌跡方程為。二、雙曲線定義的深層運(yùn)用例2. 如圖2，為雙曲線的兩焦點(diǎn)，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，從的平分線作垂線，垂足為M，求M的軌跡方程。圖2解析：不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，延長(zhǎng)F1M交PF2的延長(zhǎng)線于N，則，即在故點(diǎn)M的軌跡方程為三、拋物線定義的深層運(yùn)用例3. 如圖3，AB為拋物線的一條弦，|AB|4，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)M到直線y1的最短距離。圖3解析：易知拋物線的準(zhǔn)線l：，作AA”l，BB”l，

2、MM”l，垂足分別為A”、B”、M”則即M到直線的最短距離為2故M到直線y1的最短距離為。評(píng)注：上述解法中，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、F共線，即AB為拋物線的一條焦點(diǎn)弦時(shí)，距離才取到最小值。一般地，求拋物線的弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的最短距離，只有當(dāng)（即通徑長(zhǎng)）時(shí)，才能用上述解法。四、圓與橢圓、圓與雙曲線定義的綜合運(yùn)用例4. 已知圓，M為圓上任一點(diǎn)，MP的垂直平分線交OM于Q，則Q的軌跡為（ ）圖4已知圓，M為圓上任一點(diǎn)，MP的垂直平分線交OM于Q，則Q的軌跡為（ ）A. 圓 B. 橢圓C. 雙曲線 D. 拋物線解析：如圖4，由垂直平分線的性質(zhì)，知|QM|QP|，而|QM|OM|OQ|2|OQ|即|OQ|QP

3、|2|OP|故Q的軌跡是以O(shè)（0，0）、P為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓。應(yīng)選B。同理，利用垂直平分線的性質(zhì)及雙曲線的定義，可知點(diǎn)Q的軌跡為雙曲線的一支，應(yīng)選C。五、橢圓與雙曲線定義的綜合運(yùn)用例5. 如圖5，已知三點(diǎn)A（7，0），B（7，0），C（2，12）。若橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)P的軌跡方程；若雙曲線的兩支分別過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)Q的軌跡方程。圖5解析：由橢圓定義知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的軌跡為A（7，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支，其方程為；經(jīng)討論知，無(wú)論A在雙曲線的哪一支上總有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故

4、點(diǎn)Q的軌跡為以A（7，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為28的橢圓，其方程為。練習(xí)1. 已知橢圓E的離心率為e，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線C以為焦點(diǎn)，為其頂點(diǎn)，若P為兩曲線的公共點(diǎn)，且，則e_。答案：2. 已知O：，一動(dòng)拋物線過(guò)A（1，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，求動(dòng)拋物線的焦點(diǎn)F的軌跡方程。答案：圓錐曲線中的方法與運(yùn)算(與名師對(duì)話第51練) 已知拋物線,點(diǎn), 問(wèn)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線,使拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,如果存在, 求出直線的斜率的取值范圍; 如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析：我們由題設(shè)揭示出的幾何條件是: 拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)所在直線必須與拋物線

5、有兩個(gè)不同的交點(diǎn),并且交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在直線上. 相應(yīng)得到一個(gè)不等式和一個(gè)等式組成的變量關(guān)系式(組). 解這個(gè)關(guān)于式組即可得變量的取值范圍. 解: 設(shè)直線的方程為,若,則結(jié)論顯然成立,即可取.若,則直線PQ的方程為, 由方程組 可得,. 直線PQ與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 即 . 設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為G(), 則, , 點(diǎn)G()在直線上, =, 由 可得, , , () , 或.綜上所述, 直線的斜率的取值范圍為.已知橢圓, 點(diǎn)A是橢圓與軸的交點(diǎn), F為橢圓的右焦點(diǎn), 直線與橢圓交于B,C兩點(diǎn).若點(diǎn)M滿足,求直線的方程;若,在上,且,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.分析: 題(1)是個(gè)定狀態(tài)的問(wèn)題: 由

6、可知,點(diǎn)M是定點(diǎn),且由是線段BC的中點(diǎn), 由此可求得直線BC即直線的方程.解(1) 由橢圓可知A(0,4), F(2,0). , (2,0)-(0,4)=2()-(2,0), 即M(3,-2). , 點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn), 直線BC即直線的斜率為. (可以有四中方法:,點(diǎn)差法,設(shè)法,設(shè)而不求法求得). 直線的方程為,即.分析: 題(2)是一個(gè)動(dòng)狀態(tài)的問(wèn)題:點(diǎn)D隨AB的變化而變化,從而點(diǎn)D的坐標(biāo)是刻畫直線AB的變化的量的參數(shù)(斜率)的函數(shù), 可設(shè)BC的方程為(k存在), 從而點(diǎn)M是直線AM(直線AD用參數(shù)k刻畫)與直線BC的交點(diǎn),在由是直角得參數(shù)k與b的關(guān)于式,消參數(shù)k與b即得點(diǎn)D的方程.解法(

7、一) 設(shè)直線AB的斜率為,則直線AC的斜率為.直線AB的斜率為方程為,由方程組可得, , ， 同理得, . ， 直線BC的方程為, +，. 直線AD的方程為, ,由與移項(xiàng)相乘消去可得, 即 .說(shuō)明: 本解法用的是參數(shù)法中的特殊方法-交軌法.解法(二): 設(shè)直線的方程為, 則直線AD的方程為.(顯然由方程和方程消去和即可得點(diǎn)D的軌跡方程, 這里我們必須給出和的關(guān)系式,將這一幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式即可得和的關(guān)系式)由方程組可得,設(shè), 則. , , , , , +化簡(jiǎn)得,.解得,(舍去)或. 方程即為, 由方程和方程消去得, , 即 .(與名師對(duì)話第51練)已知直線過(guò)點(diǎn)(1,0),且與拋物線交于兩點(diǎn)

8、,為原點(diǎn),點(diǎn) 在軸的右側(cè)且滿足:.（1）求點(diǎn)的軌跡C的方程;（2） 若曲線的切線的斜率為,滿足:,點(diǎn)到軸的距離為,求的取值范圍.分析：由可知，點(diǎn)的軌跡C就是弦AB的中點(diǎn)的軌跡.解(1) 顯然直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為: ,由方程組消去整理得,設(shè), , , 消去得點(diǎn)的軌跡C的軌跡方程為: . , 或, 點(diǎn)在軸的右側(cè), ,故點(diǎn)的軌跡C為拋物線上的一段弧.分析: 點(diǎn)到軸的距離為就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.因?yàn)榍€的切線的斜率為,所以=,由知,由此可知,我們必須建立點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值關(guān)于的關(guān)系.解(2): 設(shè), 則由可知,=, , , , , , 方法(一) , (), , .方法(二) , (

9、), , , 且 .4.已知拋物線的方程為 ,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0)的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.（1）求的值;（2）若點(diǎn)分所成的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.分析: 要求的值,必須給出關(guān)于的方程.解(1): 設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0)的直線的方程為.由方程組消去整理得, 則, , , . 分析: 由可知過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0)的直線為.先建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,再轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 解(2): 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式, , , 由(1)可知,由方程組可消去得,. 00）的一個(gè)焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸。證明：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。參考答案給出了如下的幾何證法：證

10、明：如圖，DlNEXCOFYBA記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過(guò)A作ADl，D是垂足則 ADFEBC連結(jié)AC，與EF相交手點(diǎn)N，則根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| 即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O命題1 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在橢圓的右準(zhǔn)線上，且BCx軸。證明：直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。XEAAACONFYDBA證明：如圖，記x軸與橢圓的右準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E,過(guò)A作ADl，D是垂足則 ADFEBC連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則根據(jù)橢圓的第二定義，即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，直線AC經(jīng)過(guò)EF的中點(diǎn)N。命題2 設(shè)雙曲線

11、的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在橢圓的右準(zhǔn)線上，且BCx軸。證明：直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。XEAAACONFDBAlY證明：如圖，記x軸與雙曲線的右準(zhǔn)線l 的交點(diǎn)為E，直線AC與EF交于點(diǎn)N，過(guò)A作ADl，D是垂足 ADFEBC 根據(jù)雙曲線的第二定義即 |AF|BC=|BF|AD| 點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，故 直線AC過(guò)定點(diǎn)（EF的中點(diǎn)N）。命題3 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交雙曲線左、右兩支于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在橢圓的右準(zhǔn)線上，且BCx軸。證明：直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。證明：如圖，記x軸與雙曲線的右準(zhǔn)線l 的交點(diǎn)為E，直線AC與EF交于點(diǎn)N，過(guò)A作ADl，D是垂足 ADFE

12、BCXEAAACONFDBAlY 根據(jù)雙曲線的第二定義即 |AF|BC=|BF|AD| 點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，故 直線AC過(guò)定點(diǎn)（EF的中點(diǎn)N）。XEAAACONFDBAlY定理 過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)的直線交圓錐曲線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在相應(yīng)的準(zhǔn)線l上，且BCl ，則直線AC過(guò)定點(diǎn)。XEAAACONFDBAlY解析幾何綜合題中的韋達(dá)定理解決直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題三個(gè)環(huán)節(jié)：第一，當(dāng)直線與圓錐曲線交于兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到一個(gè)變?cè)囊辉畏匠?，這時(shí)便可得到判別式（問(wèn)題成立的必要條件），韋達(dá)定理表達(dá)式；這一環(huán)節(jié)千篇一律，易于掌握。第二，用和（或和）或坐標(biāo)的其他形式表示本題中涉及到的量或關(guān)

13、系。這一環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是千變?nèi)f化，豐富多彩，不易把握，是主要矛盾。我們解題的主要工作量和難點(diǎn)就在于此。在解題實(shí)踐中，我總結(jié)出關(guān)于韋達(dá)定理應(yīng)用的三個(gè)變式技巧，就像三把“利劍”,可以幫助大家解決很多問(wèn)題。 一、利用（或）將與長(zhǎng)度或面積有關(guān)問(wèn)題與韋達(dá)式聯(lián)合例1，從拋物線外一點(diǎn)引傾角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)。若成等比數(shù)列，求拋物線方程。分析：設(shè),由已知易得，直線方程為，代入中，可得，所以，解得或，且（）,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，,利用平幾知識(shí)，將平面直角坐標(biāo)系下的距離比化為一維（軸）上的長(zhǎng)度之比，即，即,將（）式代入可化得， 若，則有，解的（舍去）若，此時(shí)無(wú)解。若，解的，均應(yīng)舍去。故。二、利用（或）實(shí)施消元變

14、形。例2：已知橢圓的右準(zhǔn)線為,過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)與x軸平行的直線交右準(zhǔn)線于點(diǎn),求證直線過(guò)一定點(diǎn).解題分析：1.1首先用特殊直線探究定點(diǎn)位置。當(dāng)垂直x軸時(shí)就可以找到定點(diǎn)位置。（普遍性寓于特殊性之中的哲學(xué)道理學(xué)生是清楚的）即解如下方程組：，得到，和,故有,由此得到直線過(guò)定點(diǎn).1.2如何進(jìn)行規(guī)范的解析證明？直線過(guò)定點(diǎn)的一般形式是怎樣的？ ， 是一個(gè)變數(shù)。我們寫出直線的方程。設(shè)，則，所以,所以的方程為（1）問(wèn)題是在方程（1）中涉及到三個(gè)參變數(shù)，必須盡量減少變?cè)獋€(gè)數(shù),這些變?cè)c那些因素有關(guān)呢？我們將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，并應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行處理試試看。第一種想法：設(shè)方程為（不包括平

15、行于y軸的直線），代入中，化簡(jiǎn)得：，由韋達(dá)定理，得接下來(lái)大家對(duì)消去參變?cè)倪\(yùn)算量產(chǎn)生了畏難情緒。的確，關(guān)于的韋達(dá)定理對(duì)消去參變?cè)致闊?，同學(xué)們可以試試看。第二種想法：設(shè)方程為，（不包括x軸）代入中，化簡(jiǎn)得：，_（2）根據(jù)方程（1）的形式，大家觀察上述兩個(gè)不同的韋達(dá)定理形式，用那一個(gè)更好？對(duì)直線方程不同形式的選取會(huì)產(chǎn)生不同的韋達(dá)定理形式，進(jìn)而會(huì)產(chǎn)生繁簡(jiǎn)不同運(yùn)算量,這在解析幾何綜合問(wèn)題中是經(jīng)常碰到的事。因而很有必要讓學(xué)生加以體驗(yàn)和辨析。大家思考后可以發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)關(guān)于的韋達(dá)定理形式比較簡(jiǎn)單，而且從方程（1）來(lái)看含有縱坐標(biāo)的變數(shù)較多，因而我們應(yīng)選用關(guān)于y的韋達(dá)定理形式進(jìn)行代入，但仍然比較麻煩！有一位

16、同學(xué)這樣寫道：,把和代進(jìn)來(lái)，化簡(jiǎn)可得：,將它代入方程（1），還是得不到想要的結(jié)果。 我們利用韋達(dá)定理積極主動(dòng)消元的大方向是正確的。觀察一下關(guān)于y的韋達(dá)定理（2），看看能不能先行處理一下，然后再應(yīng)用它呢，即把兩式相除，就會(huì)得到：（3）在（3）式基礎(chǔ)上，可得。（由此可見(jiàn)，這是一個(gè)重要的韋達(dá)定理變形技巧！）將它和一并代入,化簡(jiǎn)可得,代入方程（1）有：方程為，即,故直線恒過(guò)定點(diǎn)解后反思：本題能推廣至橢圓的一般情形： 命題1：已知橢圓，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與長(zhǎng)軸所在直線平行的直線交相應(yīng)準(zhǔn)線于點(diǎn)，則直線必過(guò)定點(diǎn)。 因?yàn)?，所以，定點(diǎn)是焦點(diǎn)至準(zhǔn)線的垂線段的中點(diǎn)，而且在橢圓之外。 命題2：已知雙

17、曲線，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與實(shí)軸所在直線平行的直線交相應(yīng)準(zhǔn)線于點(diǎn)，則直線必過(guò)定點(diǎn)()。且該定點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部且在焦點(diǎn)至準(zhǔn)線的垂線段的中點(diǎn)。命題3：已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱軸所在直線平行的直線交相應(yīng)準(zhǔn)線于點(diǎn)，則直線必過(guò)定點(diǎn).且該定點(diǎn)在在焦點(diǎn)至準(zhǔn)線的垂線段的中點(diǎn)即頂點(diǎn)。三、利用（或）搭橋，將具有（或）的關(guān)系式與韋達(dá)式聯(lián)合，實(shí)施轉(zhuǎn)化變形。例3：設(shè)直線：雙曲線：,雙曲線的離心率為，交于兩點(diǎn)，直線與y軸交于R點(diǎn)，且。（1）證明：；（2）求雙曲線的方程；（3）若點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：對(duì)（1）小題只需利用,可得，方

18、程：化為，將代入其中，得，設(shè)，,由韋達(dá)定理得：，所以,根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為，將韋達(dá)式代入化簡(jiǎn)可得結(jié)論：.（2）因?yàn)椋?得，因?yàn)?又,所以,將韋達(dá)式代入可得，結(jié)合（1），解方程組得，故雙曲線的方程為：。（3）因?yàn)?，?知三點(diǎn)共線。設(shè)，設(shè)直線的方程為，代入中，得（），所以由得，所以又,故,將韋達(dá)式代入，可得,又所以,既有，由此確定的取值范圍是：。參考文獻(xiàn)徐志平：例析“降維”思想在一類圓錐曲線題中的妙用.數(shù)學(xué)通報(bào)2007.3圓錐曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的一類最值問(wèn)題已知橢圓C的方程為，F(xiàn)1、F2是它的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1)，試在橢圓上求一點(diǎn)P，(1)使得|PA|+|PF2|最??；(2)使得|PA

19、|+2|PF2|最小，并求出相應(yīng)的最小值。（亦可把橢圓改為雙曲線或拋物線，同樣有類似的問(wèn)題）類似于這樣的問(wèn)題，初學(xué)者往往很難作答，即使在老師的講解和點(diǎn)撥下也不易掌握?；A(chǔ)好的同學(xué)還可以理解，一般的同學(xué)下次再遇到類似的問(wèn)題時(shí)仍然難以做對(duì)，還會(huì)出現(xiàn)很多不應(yīng)有的錯(cuò)誤。這里筆者想能過(guò)一個(gè)實(shí)例，給出這種問(wèn)題的一般解題策略和具體處理方法。BALPOB/關(guān)于|PA|+|PF2|最小值的問(wèn)題，同學(xué)們不應(yīng)該感到陌生。在初中我們?cè)筮^(guò)這樣的問(wèn)題：如圖，已知A、B兩點(diǎn)在直線L的同側(cè)，試在L上求作一點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|最小。（相對(duì)應(yīng)的還有一個(gè)應(yīng)用題：A、B兩個(gè)小村莊，L是一條河，今要在河上架設(shè)一座大橋，使從A

20、、B兩村莊鋪設(shè)到大橋的公路總長(zhǎng)最短，應(yīng)該如何選址？）我們知道兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短，所以|PA|+|PB|AB|顯然等號(hào)不成立，因?yàn)锳、B在直線L的同側(cè)，如果A、B兩點(diǎn)在L的異側(cè)就好了，因?yàn)锳、B若在L異側(cè)，線段AB就與L相交，交點(diǎn)即為所求作的P點(diǎn)。所以能不能在L的另一側(cè)找到一點(diǎn)B/，使得|PB/|總是等于|PB|呢？求作點(diǎn)B（或者A）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B/即可。B/ALQOBQO轉(zhuǎn)化思想就是我們解決問(wèn)題的基本策略。我們只要將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，問(wèn)題就得以解決。比如：請(qǐng)?jiān)贚上再找一點(diǎn)Q，使得|QA|-|QB|最大？同樣道理，|QA|-|QB|總是小于|AB|，如能等于|AB|就行。

21、我們還是轉(zhuǎn)化，異側(cè)兩點(diǎn)同側(cè)化，當(dāng)Q為AB/的延長(zhǎng)線與L的交點(diǎn)Q/時(shí)，|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|AB/|。（這里B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B/與A的連線要與L相交才行，否則Q/點(diǎn)不存在）我們總結(jié)得到：同側(cè)和最小異側(cè)化，異側(cè)差最大同側(cè)化。根據(jù)以上分析，我們可以用類比的方法解決圓錐曲線中的類似問(wèn)題。能不能將橢圓C內(nèi)部（同側(cè)）的兩點(diǎn)A或者F2轉(zhuǎn)化為一內(nèi)一外呢？顯然無(wú)法作出點(diǎn)A（或者F2）關(guān)于曲線(橢圓)的對(duì)稱點(diǎn)（沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)），使得|PA|總是等于|PA/|。如圖，|PA|+|PF2|總是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|還是能夠AF2F1PxyoNM等于|AF2|，作直線AF2，與橢圓交于M、N

22、兩點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圖中的N點(diǎn)時(shí)，|PA|-|PF2|=|AF2|，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圖中的M點(diǎn)時(shí)，|PA|-|PF2|= -|AF2|能不能將|PA|+|PF2|轉(zhuǎn)化為|PA|-|PF2|呢？所以我們給出解決圓錐曲線問(wèn)題的另一解題策略：回歸定義。橢圓的第一定義是：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a(2a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡。我們不能將點(diǎn)A（或點(diǎn)F2）轉(zhuǎn)移到橢圓外，但我們可以將P到F2的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)F1的距離。因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2aAF2F1Px

23、yoRS要求|PA|+|PF2|的最值，就等價(jià)于求|PA|-|PF1|的最值。如圖作直線AF1交橢圓于R、S兩點(diǎn)，則 -|AF1|PA|-|PF1|AF1|所以2a-|AF1|PA|+|PF2|2a+|AF1|將具體數(shù)據(jù)代入即可求得本文開(kāi)始時(shí)提出的(1)的解答。那么對(duì)于(2)又如何解答呢？與(1)相比，就是在|PF2|前多了個(gè)系數(shù)2，也只能是2（否則無(wú)解），我們可以用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，將同側(cè)（內(nèi)部）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題來(lái)求解。AF2F1PxyoMl橢圓的第二定義是：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F2的距離與到一定直線l的距離之比為小于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就叫做橢圓。其中定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為此焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線，小于

24、1的常數(shù)就是橢圓的離心率e。如圖，PMl于M，則，所以|PM|=|PF2|本題中，橢圓的離心率e=，所以|PM|=2|PF2|所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從定點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的“折線段”PA與PM的長(zhǎng)的和的問(wèn)題，也就是說(shuō)將同側(cè)（內(nèi)部）兩點(diǎn)的距離和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了異側(cè)一點(diǎn)一線距離和的問(wèn)題。顯然當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線且垂直于直線l時(shí)，|PA|+|PM最小，即直接過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂直交橢圓于P點(diǎn)，則P即為所求作。這種轉(zhuǎn)化看來(lái)只適用于形如|PA|+|PF2|的最小值的問(wèn)題。以上我們給出了解決圓錐曲線中這兩種最值的解題策略和具體做法，即利用圓錐曲線的定義實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即同

25、異互化，回歸定義。本文開(kāi)頭的問(wèn)題具體解答如下：AF2F1PxyoRS(1) 由已知橢圓方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)因?yàn)镻在橢圓上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8過(guò)A、F1作直線RS交橢圓于R、S兩點(diǎn)，因?yàn)閨PA|-|PF1|AF1|=，AF2F1PxyoMl所以8-|PA|+|PF2|8+當(dāng)P為S點(diǎn)時(shí)，|PA|+|PF2|的最小值為8-當(dāng)P為R點(diǎn)時(shí)，|PA|+|PF2|的最大值為8+(2)易求得橢圓的離心率為e=，右準(zhǔn)線l方程為x=8過(guò)P

26、作l的垂線交l于M點(diǎn)，則|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線且垂直于l時(shí)，|PA|+|PM|最小，且最小值就是點(diǎn)A到直線l的距離。易求得A到直線的距離為5，所以|PA|+2|PF2|的最小值為5，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，將y=1代入橢圓方程得x=,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1).下面我們給出幾個(gè)題目供同學(xué)們練習(xí)鞏固：1已知兩點(diǎn)A(4,1)和B(-1,11)，（1）試在x軸上求一點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|最小。（2）試在y軸上求一點(diǎn)Q，使得|PA|-|PB|最大。2已知A(3,1)，雙曲線C的方程為，F(xiàn)1、F2是它的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，試在

27、雙曲線C上求一點(diǎn)P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+|PF2|最小.3已知A(4,1)，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，P為拋物線上任一點(diǎn)，求|PA|+|PF|最小值。求解圓錐曲線中的最值問(wèn)題 例1.求拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn)及相應(yīng)的距離。解：設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，即，此關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，其最小值在時(shí)取得，此時(shí)，故所求，相應(yīng)的距離。評(píng)析：上述解題過(guò)程是將求圓錐曲線最值轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)最值，其中運(yùn)用配方法進(jìn)行恒等變形。此時(shí)應(yīng)注意其定義域受題設(shè)條件限制時(shí)，要避免簡(jiǎn)單地認(rèn)為一定在拋物線頂點(diǎn)處取得最值。例2、求橢圓上到直線距離最短的點(diǎn)及相應(yīng)的距離。解：設(shè)橢圓上任意點(diǎn)，該點(diǎn)到直

28、線的距離， 當(dāng)即時(shí)， 此時(shí)，即所求點(diǎn)，相應(yīng)的距離為。評(píng)析：解題時(shí)恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù)，可以簡(jiǎn)化繁瑣的計(jì)算過(guò)程，并提供進(jìn)一步利用函數(shù)性質(zhì)的可能性。F1F2AMxyO例3.、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為定點(diǎn)，為橢圓上任意點(diǎn)，求的最小值。解：連結(jié)、，則， ， ；由。評(píng)析：回歸圓錐曲線定義，并結(jié)合平面幾何相關(guān)定理，使求解過(guò)程顯得自然流暢。例4.如圖所示，、分別是橢圓長(zhǎng)軸上頂點(diǎn)和對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)，位于軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)與的連線交射線于，求：（1）點(diǎn)、的坐標(biāo)和直線的方程 ；（2）的面積關(guān)于 的函數(shù)及其最小值。yxQoFTA解:（1）橢圓中心，點(diǎn)、；直線即直線，。（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，=，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。即所求，（當(dāng)時(shí)

29、）。評(píng)析：利用均值不等式性質(zhì)定理來(lái)解圓錐曲線最值問(wèn)題時(shí)，要先將目標(biāo)函數(shù)配湊成積（或和）為定值的形式，這種恒等變形是使用最值定理的重要前提。例5、已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為 和 的兩條直線分別交橢圓于、和、四點(diǎn)，（1）用、表示四邊形的面積；（2）若、為定值，當(dāng)時(shí)，求的最大值。解：（1）過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為 的直線為，由方程組可得 ， ，所求。（2）令，當(dāng)即時(shí)，此時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；當(dāng) 即時(shí)，在上是減函數(shù)，此時(shí)。綜合所得，所求。評(píng)析：上述解題過(guò)程中運(yùn)用函數(shù)的重要性質(zhì)：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。此函數(shù)性質(zhì)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，已成為高考命題的生長(zhǎng)點(diǎn)與熱點(diǎn)。綜上所述，解決圓錐曲線中的最值問(wèn)

30、題，要注意聯(lián)系圓錐曲線的定義和性質(zhì)，重視運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一定的函數(shù)關(guān)系或不等式進(jìn)行討論。概括來(lái)說(shuō)：先根據(jù)題設(shè)條件，恰當(dāng)選擇某個(gè)與目標(biāo)密切相關(guān)的自變量，并確定目標(biāo)函數(shù)的解析式；在充分考慮函數(shù)的定義域、不等式的最值條件等前提下，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式定理及其推論等進(jìn)行分類討論。 圓錐曲線的定義及應(yīng)用一、圓錐曲線的定義 1. 橢圓：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 雙曲線：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為定值（定值小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離）的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做雙曲線。即P|PF1|-

31、|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0e1時(shí)為雙曲線。 二、圓錐曲線的方程。 1.橢圓：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中，a2=b2+c2） 2.雙曲線：-=1（a0, b0）或-=1（a0, b0）（其中，c2=a2+b2）3.拋物線：y2=2px（p0），x2=2py（p0）三、圓錐曲線的性質(zhì) 1.橢圓：+=1（ab0） （1）范圍：|x|a，|y|b （2）頂點(diǎn)：(a,0)，(0,b) （3）焦點(diǎn)：(c,0) （4）離心率：e=(0,1) （5）準(zhǔn)線：x=2.雙曲線：-=1（a0,

32、 b0） （1）范圍：|x|a, yR （2）頂點(diǎn)：(a,0) （3）焦點(diǎn)：(c,0) （4）離心率：e=(1,+) （5）準(zhǔn)線：x=（6）漸近線：y=x3.拋物線：y2=2px(p0) （1）范圍：x0, yR （2）頂點(diǎn)：（0,0） （3）焦點(diǎn)：（,0） （4）離心率：e=1 （5）準(zhǔn)線：x=-四、例題選講： 例1.橢圓短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，則橢圓中心到準(zhǔn)線的距離是_。 解：由題：2b=2，b=1，a=2，c=，則橢圓中心到準(zhǔn)線的距離：=。 注意：橢圓本身的性質(zhì)（如焦距，中心到準(zhǔn)線的距離，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等等）不受橢圓的位置的影響。 例2.橢圓+=1的離心率e=，則m=_。 解：（

33、1）橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2=m=8。 （2）橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2=m=2。 注意：橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式有兩個(gè)，在沒(méi)有確定的情況下，兩種情況都要考慮，切不可憑主觀丟掉一解。 例3.如圖：橢圓+=1（ab0），F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，A、B是兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，PF1x軸，且PO/AB，求橢圓的離心率e。 解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，由第一定義：|PF1|+|PF2|=2a, PF1x軸， |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, |PF1|=。 PO/AB， P

34、F1OBOA, = c=ba=c, e=。 又解， PF1x軸， 設(shè)P(-c, y)。 由第二定義：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=, 由上解中PF1OBOA，得到b=ce=。 例4.已知F1，F(xiàn)2為橢圓+=1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2=，求F1PF2的面積。 分析：要求三角形的面積，可以直接利用三角形的面積公式，注意到橢圓中一些量之間的關(guān)系，我們選用面積公式S=absinC。 解法一：S=|PF1|PF2|sin ，|PF1|+|PF2|=2a=20，436=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos，即(|PF1|+|PF2|)2-3

35、|PF1|PF2|=436，|PF1|PF2|=， S=。 解法二：S=|F1F2|yP|=12yP=6|yP|，由第二定義：=e|PF1|=a+exP=10+xP，由第一定義：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP，4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos，144=100+=， =64(1-)=64，S=6|yP|=6=。 注意：兩個(gè)定義聯(lián)合運(yùn)用解決問(wèn)題。從三角形面積公式均可得到結(jié)果。初學(xué)時(shí)最好兩種辦法都試試。例5.橢圓+=1 的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，求：|PF1|，|PF2|。 分析：先要根據(jù)題

36、意畫出圖形，然后根據(jù)已知量，將關(guān)于|PF1|，|PF2|的表達(dá)式寫出來(lái)，再求解。 解：如圖，O為F1F2中點(diǎn)，PF1中點(diǎn)在y軸上，PF2/y軸，PF2x軸， 由第一定義：|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2， (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=49=36，。 例6.橢圓：+=1內(nèi)一點(diǎn)A（2，2），F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，求|PA|+|PF1|的最值。 解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|AF2|+10=2+10， |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|

37、-|PA|)10-|AF2|=10-2。 注意：利用幾何圖形的性質(zhì)：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 例7.已知：P為雙曲線-=1（a0, b0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，A1，A2為其頂點(diǎn)。求證：以PF1為直徑的圓與以A1，A2為直徑的圓相切。 證明：不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)PF1中點(diǎn)為O, A1A2中點(diǎn)為O， |OO|=|PF2|，圓O半徑為|A1A2|，圓O半徑為|PF1| 由雙曲線定義：|PF1|-|PF2|=|A1A2| ，|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO| 兩個(gè)圓相內(nèi)切。 注意：可以自己證出P在左支時(shí)，兩圓相外切。 例8.已知：過(guò)拋物線y2=2px(p

38、0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)。求證：以線段PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。 證明：由定義知，如圖：|PP|=|PF|, |QQ|=|QF| |PQ|=|PP|+|QQ|，|PQ|=(|PP|+|QQ|)，故圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，即圓和準(zhǔn)線相切。 解析幾何中求參數(shù)范圍的五種策略一、利用題設(shè)條件中的不等關(guān)系若題設(shè)條件中有不等關(guān)系，可直接利用該條件求參數(shù)的范圍。例1. （2004全國(guó)卷IV）雙曲線的焦距為2c，直線l過(guò)點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線l的距離與點(diǎn)（1，0）到直線l的距離之和，求雙曲線的離心率e的取值范圍。解析：直線l的方程為，即由點(diǎn)到直線的距離公式，且，得到

39、點(diǎn)（1，0）到直線l的距離同理得到點(diǎn)（1，0）到直線l的距離由，即于是得即解得由于，所以e的取值范圍是，。二、應(yīng)用判別式建立不等式關(guān)系若題設(shè)中給出直線（或曲線）與曲線有公共點(diǎn)或無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，可以把直線方程（或曲線方程）與曲線方程聯(lián)立起來(lái)，消去某一個(gè)未知數(shù)，得到含另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，就能利用判別式建立所含參數(shù)的不等式。例2. （2005年全國(guó)卷III）設(shè)，兩點(diǎn)在拋物線上，l是AB的垂直平分線。當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求直線l在y軸上截距的取值范圍。解析：設(shè)直線l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫為由，消y得即是方程的兩個(gè)不同的解，得，且設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（），

40、則，。由，于是。即得直線l在y軸上截距的取值范圍為。點(diǎn)評(píng)：該題含有兩個(gè)參數(shù)b，m，先由直線AB與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)用判別式求出參數(shù)m的范圍，再由題意找出兩個(gè)參數(shù)b，m之間的關(guān)系式，最后求出參數(shù)b的取值范圍。三、根據(jù)曲線的范圍建立不等關(guān)系由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知，橢圓上任一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是有界的，通過(guò)有界性就可能找到變量間的不等關(guān)系。例3. （2004年遼寧卷）設(shè)橢圓方程，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為。當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值。解析：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是即（1）由點(diǎn)P的軌跡方程知，即。所以，故

41、當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為。點(diǎn)評(píng)：這種求最值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是先建立目標(biāo)函數(shù)，再由橢圓的范圍確定自變量的取值范圍，最后求函數(shù)的最值。四、挖掘曲線的隱含不等式對(duì)于一些特殊曲線，它們自身都包含了一些不等關(guān)系。如橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于短軸長(zhǎng)，也大于焦距長(zhǎng)，雙曲線的實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)小于焦距長(zhǎng)。對(duì)于圓與橢圓，當(dāng)點(diǎn)位于其內(nèi)部或外部時(shí)，都滿足一定的不等關(guān)系。當(dāng)然有些情況下，不等關(guān)系比較隱蔽，只有認(rèn)真地分析題設(shè)中的條件與結(jié)論，才能找到所需的含參不等式。例4. （2002年京皖）已知某橢圓的焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且。橢圓上不同的兩點(diǎn)A（）、滿足條件：成等差數(shù)列。（1

42、）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為，求m的取值范圍。解析：（1）橢圓方程為。（2）設(shè)弦AC中點(diǎn)，可得。（3）由在橢圓上，得兩式相減得，即將，代入上式，得9425即（當(dāng)k0時(shí)也成立）。由點(diǎn)P（4，）在弦AC的垂直平分線上，得，即。由P（）在線段BB”上（B”與B關(guān)于軸對(duì)稱），得所以。五、利用基本不等式建立不等關(guān)系對(duì)于某些與參數(shù)范圍有關(guān)的題目，如果利用上述四種方法不易建立符合題意的不等關(guān)系，就看能否利用代數(shù)中的基本不等式建立符合題意的不等關(guān)系。例5. （2005年浙江卷）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，。

43、（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，求F1PF2的最大值。解析：（1）求得橢圓的方程為（2）設(shè)P，則直線的斜率，直線PF2的斜率。因?yàn)?，所以為銳角。所以。當(dāng)時(shí)，tanF1PF2取得最大值，此時(shí)F1PF2最大，故F1PF2的最大值為。解析幾何綜合題解題思路案例分析1判別式-解題時(shí)時(shí)顯神功案例1已知雙曲線，直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切

44、. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為 解題過(guò)程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解問(wèn)題關(guān)于x的方程有唯一解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解

45、得 .點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.2判別式與韋達(dá)定理-二者聯(lián)用顯奇效案例2已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來(lái)

46、轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2） 代入（1

47、），化簡(jiǎn)得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.3求根公式-呼之欲出亦顯靈案例3設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或

48、某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線垂

49、直于x軸時(shí)，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如

50、判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法. 淺析圓錐曲線中的相交弦問(wèn)題關(guān)于圓錐曲線中的相交弦有三種常見(jiàn)的表現(xiàn)形式，即兩弦相交成直角、兩相交弦傾斜角互補(bǔ)、三弦組成特殊的三角形。下面分類舉例，闡述常用的求解策略，供參考。一、兩弦相交成直角例1. 已知橢圓與x軸正方向交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上有點(diǎn)P，使OPA90（O為原點(diǎn)），求橢圓離心率的范圍。解析：設(shè)P（），則，。由OPA90，則即，所以，可得因?yàn)樗杂?，所以。注：兩向量垂直的坐?biāo)公式的運(yùn)用為成功解題選擇了捷徑。例2. （2004年湖北卷）已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩

51、點(diǎn)A、B。（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由。解析：（1）將直線的方程代入雙曲線C的方程后，整理得依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)；則且且且解聯(lián)立不等式組得k的取值范圍為（2，）。（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0），則FAFB，所以，即又，代入前式整理得將代入，化簡(jiǎn)得解得。又不合，舍去。所以符合題意。注：用斜率的關(guān)系是解決兩直線垂直的有力武器，不可忽視。例3. （2000年春季高考北京卷）設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已

52、知OAOB，OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線。解析：依題意，設(shè)，則。又OAOB，得即化簡(jiǎn)得。而，所以直線AB的方程為。令y0，并將代入得，即直線AB與x軸交于定點(diǎn)Q（4p，0）。又OMAB，由平面幾何知識(shí)得：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以線段OQ為直徑，以點(diǎn)（2p，0）為圓心的圓，其方程為注：利用平面幾何知識(shí)將兩弦垂直與以線段為直徑的圓相互轉(zhuǎn)化也是常用的策略。二、兩相交弦傾斜角互補(bǔ)例4. （2004年高考北京卷）過(guò)拋物線上一定點(diǎn)P（，作兩條直線分別交拋物線于A（）、B（）。（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的

53、斜率是非零常數(shù)。解析：（1）當(dāng)時(shí)，。又拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義得所求距離為。（2）由，相減得，故同理可得由PA與PB傾斜角互補(bǔ)知，所以由，故。將，所以直線AB的斜率是非零常數(shù)。注：將兩相交弦傾斜角互補(bǔ)轉(zhuǎn)化為斜率互為相反數(shù)，利用等量關(guān)系列式求解。例5. 如圖1，已知A，B，C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且，。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)？請(qǐng)給出證明。圖1解析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為。而O為

54、橢圓中心，由對(duì)稱性知又，所以ACBC又，所以|OC|AC|，所以AOC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1）。將（1，1）代入橢圓方程得，則橢圓方程為。（2）由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，則直線CQ的斜率為k，直線CP的方程為，直線CQ的方程為。由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得因?yàn)镃（1，1）在橢圓上，所以x1是方程的一個(gè)根，于是同理這樣，又B（1，1），所以，即。所以PQAB，存在實(shí)數(shù)使。注：利用斜率互為相反數(shù)關(guān)系，整體替換，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。三、三弦組成特殊的三角形例6. 已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P1，P2是拋物線上的兩點(diǎn)，且P1FP2是

55、正三角形，求該三角形的邊長(zhǎng)。解析：由于拋物線與正三角形都是軸對(duì)稱圖形，必有軸。若設(shè)，則。又P1FP2是正三角形，所以直線P1F的傾斜角為30。而F（1，0），則直線P1F的方程是與拋物線聯(lián)立，消去x得解得。故三角形的邊長(zhǎng)為。例7. 在直角三角形ABC中，ABAC，以點(diǎn)C為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓，使這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在邊AB上，且橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)。求這個(gè)橢圓的離心率。解析：如圖2，設(shè)AFC圖2則設(shè)|FC|2c，則所以，即離心率。而在BCF中，由正弦定理得，則有，即，所以，所以。注：以上二例緊緊抓住了特殊三角形中的特殊角，再利用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求解效果顯著。求解圓錐曲線離心率的常用方法離心率是圓錐曲線

56、的一個(gè)重要性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)，下面例析幾種常用求法。一、根據(jù)離心率的范圍，估算e利用圓錐曲線的離心率的范圍來(lái)解題，有時(shí)可利用橢圓的離心率e（0，1），雙曲線的離心率e1，拋物線的離心率e=1來(lái)解決。例1. 設(shè)，則二次曲線的離心率的取值范圍為（ ）A. B. C. D. （）解：由，知，故所給的二次曲線是雙曲線，由雙曲線的離心率e1，排除A、B、C，故選D。二、直接求出a、c，求解e已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時(shí)，可利用率心率公式來(lái)解決。例2. 已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D. 解：拋物線的準(zhǔn)線是，即雙曲線的右準(zhǔn)線，則，解得，故選D

57、。例3. 點(diǎn)P（-3，1）在橢圓的左準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P且方向?yàn)閍=（2，-5）的光線，經(jīng)直線反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（）A. B. C. D. 解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）為則解得則。故選A。三、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，溝通a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率e。例4. 已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D. 解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P，則P的橫坐標(biāo)為。由焦半徑公式，即，

58、得，解得，故選D。練習(xí)：1. 過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)A，則雙曲線的離心率等于_。（答案：2）2. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。（答案：）求最值在圓錐曲線中的體現(xiàn)最值問(wèn)題的探討已經(jīng)滲透到各章節(jié)中，在圓錐曲線中的體現(xiàn)也較為明顯。常遇到面積最大最小問(wèn)題，距離的最長(zhǎng)最短問(wèn)題，不定量的最大最小問(wèn)題等等。實(shí)質(zhì)上與其他內(nèi)容的最值一樣，應(yīng)會(huì)從函數(shù)、方程、三角、幾何、導(dǎo)數(shù)等多個(gè)角度思考問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明。一、利用圓錐曲線的對(duì)稱性求最值例1. 設(shè)AB

59、是過(guò)橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則F1AB的面積最大為（）A. B. C. D. 解析：如圖1，由橢圓對(duì)稱性知道O為AB的中點(diǎn)，則F1OB的面積為F1AB面積的一半。又，F(xiàn)1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以F1OB的面積最大值為。所以F1AB的面積最大值為cb。圖1點(diǎn)評(píng)：抓住F1AB中為定值，以及橢圓是中心對(duì)稱圖形。二、利用圓錐曲線的參數(shù)方程求最值例2. 已知點(diǎn)P是橢圓上到直線的距離最小的點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 解析：將化成參數(shù)方程，設(shè)，則，其中，當(dāng)時(shí)，。此時(shí)可以取得，從而可得到。故選A。點(diǎn)評(píng)：化橢圓，利用三角函數(shù)的方法將最值轉(zhuǎn)化為角變量來(lái)確定。三、利用重要

60、不等式求最值例3. 已知圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心C到直線l：距離的最小值等于（ ）A. B. 2 C. D. 解析：圓C過(guò)原點(diǎn)，則。圓心C（a，b）到直線l：的距離所以圓心到直線l距離的最小值為。點(diǎn)評(píng)：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽視等號(hào)成立的條件。四、利用圓錐曲線的定義求最值例4. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. 解析：由雙曲線的第一定義，得又，所以，從而由雙曲線的第二定義可得，所以。又，從而。故選B。點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn)P在雙曲線的右支上”是銜接兩個(gè)定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個(gè)結(jié)論