初中高中幾何證明題一些技巧和例題

1、初中幾何證明技巧和例題證明兩線段相等.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。.同一三角形中等角對(duì)等邊。.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。.兩圓的內(nèi)（

2、外）公切線的長(zhǎng)相等。.等于同一線段的兩條線段相等。證明兩個(gè)角相等.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。.同一三角形中等邊對(duì)等角。.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。.等于同一角的兩個(gè)角相等。證明兩條直線互相垂直.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，

3、則這一邊所對(duì)的角是直角。.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。.利用勾股定理的逆定理。.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。.利用半圓上的圓周角是直角。證明兩直線平行.垂直于同一直線的各直線平行。.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。.平行四邊形的對(duì)邊平行。.三角形的中位線平行于第三邊。.梯形的中位線平行于兩底。.平行于同一直線的兩直線平行。.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）

4、所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。證明線段的和差倍分.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。證明角的和差倍分.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。.利用角平分線的定義。.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。證明線段不等.同一三角形中，大角對(duì)大邊。.垂線段最短。.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

5、.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。證明兩角的不等.同一三角形中，大邊對(duì)大角。.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5.全量大于它的任何一部分。證明比例式或等積式.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。.利用內(nèi)外角平分線定理。.平行線截線段成比例。.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。*5.與圓有關(guān)的比例定理-相交弦定理、切割線定理及其推論。6.利用比利式或等積式化得。證明四點(diǎn)共圓1.對(duì)角互

6、補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓知識(shí)歸納：.幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化,如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使

7、其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；(3)兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。例題一.證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。

8、證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1所示，AABC中，/C=90AC=BC,AD=DB,AE=CF。求證：DE=DFAECFB圖1分析：由AABC是等腰直角三角形可知，/A=NB=45口，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD,易得CD=AD,/DCF=45口。從而不難發(fā)現(xiàn)ADCF與ADAE證明：連結(jié)CDAC=BCA=BZACB=90，AD=DB，CD=BD=AD,/DCB=NB=/A：AE=CF,/A=/DCB,AD=CDADE三CDFDE=DF說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常

9、用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD,因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ED至ijG,使DG=DE,連結(jié)BG,證AEFG是等腰直角三角形。例2.已知：如圖2所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF。求證：/E=/FE/AD/11,1VzBCF圖2證明：連結(jié)AC在AABC和ACDA中，;AB=CD,BC=AD,AC=CAABC=CDA(SSS)Bu/D;AB=CD,AE=CFBE=DF在ABCE和ADAF中，BE=DFB=/DBC=DABCE三DAF(SAS).E二，F(xiàn)說明：利用三角形全等證明線

10、段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：(1)制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；(2)添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。二.證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90。，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是AABC的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A至UBP、CQ的垂線。求證:KH/BCA TOC o 1-5 h z QP HYPERLINK l bookmark46

11、 o Current Document kJh/rI4BMNC圖3分析：由已知，BH平分/ABC,又BHXAH,延長(zhǎng)AH交BC于N,則BA=BN,AH=HN。同理,延長(zhǎng)AK交BC于M,則CA=CM,AK=KM。從而由三角形的中位線定理，知KH/BC。證明：延長(zhǎng)AH交BC于N,延長(zhǎng)AK交BC于M.BH平分/ABC,/ABH=/NBH又BHLAH:/AHB=/NHB=90口BH=BHABH=NBH(ASA),BA=BN,AH=HN同理，CA=CM,AK=KMKH是MMN的中位線aKH/MN即KH/BC說明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一

12、個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折(軸對(duì)稱)而成一個(gè)等腰三角形。例4.已知：如圖4所示，AB=AC,/A=90，AE=BF,BD=DC。求證：FDXEDF231BDC圖4證明一：連結(jié)ADAB=AC,BD=DC二/1+/2=90。，/DAE=/DAB丁/BAC=90口，BD=DCBD=AD:/B=/DAB=/DAE在AADE和ABDF中，;AE=BF,/B=/DAE,AD=BDADE三BDF.3=1.-32=90FD_ED說明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長(zhǎng)ED至ijM,使DM=ED,連結(jié)FE,FM,BMA TOC o 1-5 h

13、 z F、E/#JJrjfjT HYPERLINK l bookmark28 o Current Document Bi/DC7/、JM圖5BD=DC/BDM=/CDE,DM=DEBDM三CDE二CE=BM,NC=/CBM.BM/ACA二90ABM=90=/A;AB=AC,BF=AE,AF=CE=BMAEF-.：BFM.FE-FMDM=DEFD-ED說明：證明兩直線垂直的方法如下：(1)首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。5（2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。（3）證明二直線的夾角等于90。三.證明一線段和的問題（一）在較長(zhǎng)線段上截取

14、一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）例5.已知：如圖6所示在AABC中，/B=601/BAC、/BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：AC=AE+CDB6之C分析：在AC上截取AF = AE。易知 Z5+Z6 =60, /1=60: /2+/3 = 1209AEO 三 AAFO ,二/1=/2。由 / B = 60n ,。，1 = /2=/3 = /4 = 60。， 得FOACOC,FC=DC證明：在AC上截取AF=AE丁/BAD=/CAD,AO=AOAEO三AFOSAS2又.B=606=601=602.3=120.1=2=3=4=60FOC三DOC（AAS）FC=

15、DC即AC=AECD（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，NEAF=45*。求證：EF=BE+DF分析：此題若仿照例1,將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至G,使BG=DF。證明：延長(zhǎng)CB至G,使BG=DF在正方形ABCD中，NABG=/D=90，AB=ADABG=ADF(SAS);AG=AF,N1=N3又.EAF=4523=45.21=45即/GAE=/FAEGE=EFEF=BEDF中考題：如圖8所示，已知AABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC至i

16、jD,延長(zhǎng)BA至ijE,并且使AE=BD,連結(jié)CE、DE。求證：EC=EDE/rFAlABCD圖8證明：作DF/AC交BE于F丁AABC是正三角形.；：BFD是正三角形又AE=BD,AE=FD=BF.BA=AF=EF即EF=ACAC/FDEAC=EFDEAC三DFE(SAS)EC-ED題型展示：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，21=N2,ABACo求證：BDDCAA/1i2CBDE圖9證明一：延長(zhǎng)AC至ijE,使AE=AB,連結(jié)DE在MDE和bADB中，E=AB,/2=/1,AD=AD.ADE=.ADB,BD=DE,ZE=/BDCE.BDCE.E,DEDC,二BDDC證明二：如圖10所

17、示，在AB上截取AF=AC,連結(jié)DFA小12/F334BDC圖10則易證ADF三.ADC二N3=N4,DF=DC:BFDa23,N4ZBBFDBBDDF,BDDC說明：在有角平分線條件時(shí)，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線。實(shí)戰(zhàn)模擬：.已知：如圖11所示，AABC中，NC=901D是AB上一點(diǎn)，DELCD于D,交BC于E,且有八八，、1AC=AD=CE。求證：DE=CD2CADB圖11.已知：如圖12所示，在AABC中，/A=2NB,CD是/C的平分線。求證：BC=AC+ADADABC圖12.已知：如圖13所示，過&ABC的頂點(diǎn)A,在/A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP

18、和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP=MQ1 ”AD 一; AB AC BC圖13.必BC中，/BAC=90*,AD_LBC于D,求證:.證明：取CD的中點(diǎn)F,連結(jié)AFC41F3EJr#ADBAC=ADAF_CD.AFC=/CDE=90又N1+/4=90，N1+/3=90:i.4=/3AC=CEACF三CED(ASA)CF=ED-DE=CD2.分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法?！敖亻L(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條短線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。EADBC證明：延長(zhǎng)CA至E,使CE=CB,連結(jié)ED在&CBD和