第三章理論分布與抽樣分布ppt課件

1、第三章實際分布與抽樣分布1.3.1 事件、概率和隨機變量3.1.1 事件和事件發(fā)生的概率3.1.2 事件間的關(guān)系3.1.3 計算事件概率的法那么3.1.4 隨機變量2.3.1.1 事件和事件發(fā)生的概率事件(event)：在自然界中一種事物，常存在幾種能夠出現(xiàn)的情況，每一種能夠出現(xiàn)的情況稱為事件。概率(probability)：每一事件出現(xiàn)的能夠性，稱為該事件的概率。隨機事件(random event)：假設(shè)某特定事件只是能夠發(fā)生的幾種事件中的一種，這種事件稱為隨機事件。3.要認(rèn)識隨機事件的規(guī)律性，個別的實驗或察看是不適用的，必需在大量的實驗中才干察看到。下面用棉田發(fā)生盲椿象為害的情況來闡明這一

2、問題。調(diào)查株數(shù)(n)受害株數(shù)(a)受害頻率(a/n)52.402512.485015.3010033.3320072.36500177.3541000351.3511500525.3502000704.3524.統(tǒng)計學(xué)上經(jīng)過大量實驗而估計的概率稱為實驗概率或統(tǒng)計概率，用公式表示為：式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。P(A)的取集范圍為：0 P(A) 1。隨機事件的概率表現(xiàn)了事件的客觀統(tǒng)計規(guī)律性，它反映了事件在一次實驗中發(fā)生能夠性的大小，概率大表示事件發(fā)生的能夠性大，概率小表示事件發(fā)生的能夠性小。5.小概率原理：假設(shè)事件A發(fā)生的概率較小，如小于0.05或0.01，那么以為事件A在一次實驗

3、中不太能夠發(fā)生，這稱為小概率實踐不能夠性原理，簡稱小概率原理。必然事件：對于一類事件來說，如在同一組條件的實現(xiàn)之下必然要發(fā)生的事件。不能夠事件：假設(shè)在同一組條件下必然不發(fā)生的事件。6.3.1.2 事件間的關(guān)系一、和事件事件A和事件B至少有一個發(fā)生構(gòu)成的新事件稱為事件A和事件B的和事件，記為AB，讀作“或A發(fā)生，或B發(fā)生。例如測定棉花的纖維長度，以28毫米為事件A，28至30毫米為事件B，那么抽取一根30毫米的這一新事件為AB。7.二、積事件事件A和B同時發(fā)生而構(gòu)成的新事件，稱為事件A和B的積事件，記為AB，讀作“A和B同時發(fā)生或相續(xù)發(fā)生。例如某小麥種類，以發(fā)生銹病為事件A，發(fā)生白粉病為事件B，

4、那么銹病和白粉病同時發(fā)生這一新事件為AB。8.三、互斥事件假設(shè)事件A和B不能同時發(fā)生，即A和B是不能夠事件，那么稱事件A和B互斥。例如棉花纖維長度“28毫米和“等于28毫米不能夠同時發(fā)生，為互斥事件。9.四、對立事件事件A和B不能夠同時發(fā)生，但必發(fā)生其一，即AB為必然事件記為ABU，AB為不能夠事件記為AB=V)，那么稱事件B為事件A的對立事件，并記B為例如，有一袋種子，按種皮分黃色和白色，事件A為“取到黃色，事件B為“取到白色，A與B不能同時發(fā)生，但是，恣意取一粒種子，其皮色不是黃色就是白色，即A和B必發(fā)生其一，因此A和B互為對立事件。10.五、完全事件系假設(shè)事件A1、A2、An兩兩互斥，且

5、每次實驗結(jié)果必發(fā)生其一，那么稱A1、A2、An為完全事件系。例如對于棉花纖維長度，28毫米、28毫米和30毫米、30毫米均構(gòu)成了完全事件系。11.六、事件的獨立性假設(shè)事件A發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的能夠性，那么稱事件A和事件B相互獨立。例如，事件A為“花的顏色為黃色，事件B為“產(chǎn)量高，顯然假設(shè)花的顏色與產(chǎn)量無關(guān)，那么事件A和B相互獨立。12.3.1.3 計算事件概率的法那么一、互斥事件的加法假定兩互斥事件A和B的概率分別為P(A)和P(B)，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)例如：榮昌豬的每胎產(chǎn)仔數(shù)9頭的概率P(A)=0.65,為10頭的概率P(B)=0.18，那么每胎產(chǎn)仔10頭的概率為：P(

6、A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.8313.二、獨立事件的乘法假定P(A)和P(B)是兩個獨立事件A與B各自出現(xiàn)的概率，那么： P(AB)=P(A)P(B)例：現(xiàn)有4粒種子，其中3粒是黃色、1粒是白色，采用復(fù)置抽樣。試求以下兩事件的概率(1)第一次抽到黃色，第二次抽到白色；(2)兩次都抽到黃色。14.先求出抽到黃色種子的概率為3/4=0.75，抽到白色種子的概率為1/4=0.25.P(A)=P(第一次抽到黃色種子)P(第二次抽到白色種子)=0.750.25=0.1875P(B)= P(第一次抽到黃色種子) P(第二次抽到黃色種子)=0.750.75=0.562515.三、對

7、立事件的概率假設(shè)事件A的概率為P(A)，那么其對立事件的概率為： P( )=1P(A)四、完全事件系的概率例如上例，黃色種子和白色種子構(gòu)成完全事件系，其概率為1。16.五、非獨立事件的乘法 P(AB)=P(A)P(B|A)17.3.1.4 隨機變量定義：隨機變量是指隨機變數(shù)所取的某一個實數(shù)值。例如：在拋硬幣實驗中，幣值面向上的用數(shù)“1表示，國徽面向上的用“0表示。把0，1作為變量y 的取值。 P(y=1)=0.5 P(y=0)=0.518.一、離散型隨機變量變量y的取值可用實數(shù)表示，且y取某一值時，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機變量。將這種變量的一切能夠取值及其對應(yīng)的概率一一列出

8、所構(gòu)成的分布，稱為離散型隨機變量的概率分布： 變量yi y1 y2 y3 yn 概率P(y=yi) P1 P2 P3 Pn19.二、延續(xù)型隨機變量變量y的取值僅為一范圍，且y在該范圍內(nèi)取值時，其概率是確定的，這種類型的變量稱為延續(xù)型隨機變量(continuous random variate)。式中，f(y)稱為y的概率密度函數(shù)(probability density function)或分布密度(distribution density)20.隨機變量能夠獲得的每一個實數(shù)值或某一范圍的實數(shù)值是有一個相應(yīng)概率于其對應(yīng)的，這就是所要研討和掌握的規(guī)律，這個規(guī)律稱為隨機變量的概率分布。21.3.2

9、二項式分布3.2.1 二項總體與二項式分布3.2.2 二項式分布的概率計算方法3.2.3 二項式分布的外形和參數(shù)3.2.4 多項式分布3.2.5 泊松分布二項分布的一種 極限分布22.3.2.1 二項總體與二項式分布 有些總體的各個個體的某些性狀，只能發(fā)生非此即彼的兩種結(jié)果，“此和“彼是對立事件。例如種子的發(fā)芽與不發(fā)芽，施藥后害蟲的死或活，產(chǎn)品的合格與不合格。這種由非此及彼事件構(gòu)成的總體，稱之為二項總體(binomial population)。23.為便于研討，通常給“此事件以變量“1，具概率p；給“彼事件以變量“0，具概率q其概率關(guān)系為： pq=1 q1=p假設(shè)我們每次抽取0、1總體的n個

10、個體，那么所得變量y將能夠有0，1，n，共n+1種。這n+1變量有它各自的概率而組成一個分布。這個分布叫做二項概率分布，簡稱二項分布(binomial distribution)。24. 例如，察看施用某種農(nóng)藥后蚜蟲的死亡數(shù)，記“死為0，“活為1。假設(shè)每次察看5只，那么察看的結(jié)果將有0(5只全死)、1(4死1活)、2(3死2活)、3(2死3活)、4(1死4活)、5(5只全活)，共6種變量。由這6種變量的相應(yīng)概率組成的分布，就是n=5時活蟲數(shù)的二項分布。25.3.2.2 二項式分布的概率計算方法下面用一個例子來講解這一問題。紅花豌豆和白花豌豆雜交，F(xiàn)2代出現(xiàn)紅花的概率為p=3/4，出現(xiàn)白花的概率

11、為q=1/4。假設(shè)將F1代種子成行種植，每行種4粒。問一行全是紅花、三株紅花、二株紅花、一株紅花、0紅花的概率各是多少。 26.這實踐上是以n=4,從p=3/4， q=1/4的二項總體中抽樣構(gòu)成二項分布的問題。為方便，以“1代表出現(xiàn)紅花的事件，“0代表出現(xiàn)白花的事件。27.紅花數(shù)組合數(shù)xf(x)4紅3紅2紅1紅0紅(1,1,1,1)4P(x=4)=1p4=0.754=0.3164(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(0,1,1,1)3P(x=3)=4p3q1=40.7530.25=0.4219(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(0,1,1,0)(0,1,0

12、,1)(0,0,1,1)2P(x=2)=6p2q2=60.7520.252=0.2109(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)1P(x=1)=4p1q3=40.750.253=0.0409(0,0,0,0)0P(x=0)=1q4=0.254=0.003928.上例各項的概率相當(dāng)于(p+q)4的展開： (p+q)4=p4+4p3q+6p2q2+4pq3+q4同理，以樣本容量為n進展的抽樣，得到的概率分布為(p+q)n的展開。每一項的系數(shù)為： (0kn)29.計算二項分布任何一項概率的通式為： 例4.2 某種昆蟲在某地域的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對這種害蟲

13、用一種新藥進展治療實驗，每次抽10頭作為一組治療。試問如新藥無療效，那么在10頭中死3頭、2頭、1頭，以及全部愈好的概率為多少？30.8頭愈好，2頭死去的概率為：7頭愈好，3頭死去的概率為：31.9頭愈好，1頭死去的概率為：10頭全部愈好的概率為：假設(shè)計算10頭中不超越2頭死去的概率為多少？那么應(yīng)該運用累積概率，即：32.3.2.3 二項式分布的外形和參數(shù)一、外形P=0.35,n=5的概率分布圖33.(p=0.5,n=5)的概率分布圖34.當(dāng)p=q時。二項分布呈對稱外形，如pq,那么表現(xiàn)偏斜外形。但從實際和實際檢驗，當(dāng)n很大時即使pq，它也接近對稱外形。所以這一實際分布是由n和p兩個參數(shù)決議的

14、。二、參數(shù)凡描畫一個總體，平均數(shù)和方差(或規(guī)范差)兩個參數(shù)是重要的。二項總體，其平均數(shù)、方差2和規(guī)范差為： =np, 2=npq =35.3.2.4 多項式分布假設(shè)總體內(nèi)包含幾種特性或分類標(biāo)志，可以將總體中的個體分為幾類，例如在給某一人群運用一種新藥，能夠有好的療效，有的沒有療效，而另有療效為副作用的，象這種將變數(shù)資料分為3類或多類的總體稱為多項總體，研討其隨機變量的概率分布可運用多項式分布(multinomial distribution)。36.設(shè)總體中共包含k項事件，它們的概率分別為：p1、p2、p3、pk，顯然 p1+p2+p3+pk=1。假設(shè)從這個總體隨機抽取n個個體，那么能夠得到這

15、k項的個數(shù)分別為 y1、y2、y3、yk，而y1 + y2 + y3 + yk =n。其事件的概率為：這一概率分布稱為多項式分布。37.例4.3某藥對病人有效的概率為1/2，對病人無效的概率為1/3，有副作用的概率為1/6，假設(shè)隨機抽取2個運用該藥的病人，那么我們的結(jié)果能夠包括這樣幾種事件：2個病人有副作用；一個無效、一個有副作用；兩個無效；一個有效、一個有副作用；一個有效、一個無效；兩個均有效。試計算出現(xiàn)這些事件的概率。38.解：分別用y1、y2、y3分別代表用藥有效的個體數(shù)、用藥無效的個體數(shù)和用藥有副作用的個體數(shù)。這些事件的概率的計算見下表：39.變量（y1、y2、y3)概率及其計算P（y

16、1、y2、y3)0，0，20，1，10，2，01，0，11，1，02，0，040.3.2.5 泊松分布二項分布的一種極限分布運用二項分布時，有時會遇到一個概率p或q很小的值，例如小于0.1，另一方面n又相當(dāng)大，這樣二項分布必將為另一分布所接近，或者為一極限分布。這種分布稱為泊松概率分布，簡稱泊松分布(Poisson distribution)。如將np=m,那么接近分布如下式：y=0，1，2，41.凡在察看次數(shù)n n相當(dāng)大中，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)m(m是一個定值很小，那么，這一事件出現(xiàn)的次數(shù)將符合泊松分布。泊松分布在生物學(xué)研討中是經(jīng)常遇到的，例如，昆蟲與植物種類在一定面積的分布，病菌損害作物

17、的分布，一個顯微鏡視野內(nèi)的細菌計數(shù)以及原子衰變的規(guī)律等隨機變數(shù)。泊松分布的平均數(shù)、方差和規(guī)范差為：42.3.3 正態(tài)分布3.3.1 二項分布的極限正態(tài)分布3.3.2 正態(tài)分布曲線的特性3.3.3 計算正態(tài)分布曲線區(qū)間概率的方法43.3.3.1 二項分布的極限正態(tài)分布P=0.5,n=5的二項分布44.p=0.5,n=20的二項分布45.從圖中看出，假設(shè)n，每個組的直方形都一一變?yōu)榭v軸線，銜接的直線也一一變成點了。這時多邊形折線應(yīng)表現(xiàn)為一個光滑的曲線，在數(shù)學(xué)意義上它是一個二項分布的極限曲線。這一曲線稱之為正態(tài)分布曲線或正態(tài)概率曲線。其概率密度函數(shù)為：46.3.3.2 正態(tài)分布曲線的特性1、以y=為

18、對稱軸，向左右兩側(cè)作對稱分布，其算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)相等，均在點上。2、正態(tài)分布曲線由參數(shù)和決議，所以它是曲線簇而不是單一的曲線。47. 1230.00.10.20.30.40.5012345-1-2-3-4f (y)y0.00.10.20.30.40.5012345-1-2-3-4f (y)y=1=1.5=248.3、正態(tài)分布資料的分布表現(xiàn)為多數(shù)次數(shù)位于算術(shù)平均數(shù)附近，在y-3以上其次數(shù)極少，在實踐運用中，y通常在 3范圍之內(nèi)取值，這就是6法那么。0.00.10.20.30.40.5012345-1-2-3-4f (y)y68.27%95.45%99.73%49.4、正態(tài)曲線在y- |=1

19、 處有拐點，并以橫軸為漸進線，因此曲線全距從-到+。5、正態(tài)曲線與橫軸之間的面積等于1，因此曲線下橫軸的任何定值，等于介于這兩個面積占總面積的成數(shù)。下面是幾組常用值： 1 概率=0.6827 2 概率=0.9545 3 概率=0.9973 1.960 概率=0.9500 2.576 概率=0.990050.3.3.3 計算正態(tài)分布曲線區(qū)間概率的方法在正態(tài)分布曲線下，y的定值從y=a到y(tǒng)=b間的概率可用曲線區(qū)間的面積表示：計算曲線下從-到y(tǒng)0的面積，公式如下：FN(y)稱為正態(tài)分布的累積函數(shù)。51.52.為了便于運用，通常是將正態(tài)分布3 分成很小的間隔單位，比如0.01，進展積分，然后制成概率分

20、布表。運用者只需查表，而無需進展復(fù)雜的積分運算。一個首先需求處理的問題是，正態(tài)分布是一個曲線簇，而非單一的曲線，用曲線簇進展制表幾乎是無法完成的事情。因此要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一條曲線。53.由于正態(tài)曲線受和的制約，曲線隨這兩個參數(shù)的變化而改動。構(gòu)造一個新變數(shù)，這個變數(shù)要消去和的影響。假定新變數(shù)用u來表示，那么：54.u稱為正態(tài)離差，由之可將正態(tài)方程規(guī)范化為：上式為規(guī)范化正態(tài)分布方程，它是參數(shù)=0 ，2=1時的正態(tài)分布，記作N(0，1)。55.有了規(guī)范曲線之后，就可以將y值從-3到3范圍內(nèi)的FN(y)的值，以0.01的間隔列于附表2(P357)。計算一定區(qū)間的概率值，只需查表就可以了。例4.4 假定

21、y是一隨機變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù)=30，規(guī)范差=5，試計算小于26，小于40的概率，介于26和40區(qū)間的概率以及大于40的概率。56.首先計算：P(y26)=FN(26) 先將y轉(zhuǎn)換成u值： u=(y- )/ =(26-30)/5=0.8查附表2，當(dāng)u=0.8時 FN(26)=0.2119同樣計算：P(y40)=FN(40) u=(y- )/ =(40-30)/5=2.0查附表2，當(dāng)u=2.0時 FN(40)=0.9773計算：P(2640)=1-P(y40)=1-0.973=0.02270.0000.0040.0080.0120.0160.0203035404525201510fN (y)

22、yP(y26)=0.21190.0000.0040.0080.0120.0160.0203035404525201510fN (y)yP(y40)=0.977358.0.0000.0040.0080.0120.0160.0203035404525201510fN (y)y0.0000.0040.0080.0120.0160.0203035404525201510fN (y)yP(y40)=0.0227P(26y40)=0.765459.例4.6(P64) 計算正態(tài)分布曲線的中間概率為0.99時，其y或u值應(yīng)為多少？由于正態(tài)分布是對稱的，故在曲線左邊從到u的概率和曲線右邊從u到的概率應(yīng)等于1/2

23、(1-0.99)=0.005。查附表3，u= 2.58時，F(xiàn)N(y)=0.004940.005。故當(dāng)y=2.58時，在其范圍內(nèi)包括99%的變量。60.f (y)y0.00.10.20.30.40.5012345-1-2-3-4左尾概率右尾概率61.3.4 抽樣分布3.4.1 統(tǒng)計數(shù)的抽樣分布及其分布參數(shù)3.4.2 正態(tài)總體抽樣的分布規(guī)律3.4.3 二項總體的抽樣分布62.3.4.1 統(tǒng)計數(shù)的抽樣分布及其分布參數(shù)前面我們談到總體的參數(shù)是無法得到的，需求用樣本的統(tǒng)計數(shù)進展估計。用統(tǒng)計數(shù)估計總體的相應(yīng)參數(shù)，首先必需知道統(tǒng)計數(shù)與參數(shù)的關(guān)系，即要弄清楚總體和樣本的關(guān)系。經(jīng)過本節(jié)抽樣分布的討論，目的就是要

24、搞清楚從總體中抽出一切能夠的樣本統(tǒng)計量的分布與原總體之間的關(guān)系。63.總體隨機樣本1234無窮多個樣本總體和樣本的關(guān)系表示圖64.一、樣本平均數(shù)的抽樣及其分布假設(shè)從容量為N的有限總體抽樣，假設(shè)每次抽取容量為n的樣本，那么一共可以得到Nn個樣本。每個樣本可以計算一個平均數(shù)，這樣就得到許多 平均數(shù)，假設(shè)將這些平均數(shù)集合起來便構(gòu)成一個新總體。由于每次隨機抽樣所得的平均數(shù)能夠會存在差別，所以由平均數(shù)構(gòu)成的新總體也應(yīng)該有其分布，這種分布稱為平均數(shù)的抽樣分布。65.下面用一個抽樣實驗進一步闡明樣本平均數(shù)的抽樣分布及其分布的參數(shù)。假定用一個很小的總體N=3，其察看值為2、4、6以樣本容量n=2從中進展抽樣。

25、首先計算出總體參數(shù)： =(2+4+6)/3=42=(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2/3=8/3一切能夠的樣本數(shù)=Nn=32=966.總體N=3，樣本容量n=2時一切樣本的總和數(shù)、平均數(shù)和方差表 第一個觀察值第二個觀察值樣本(y)s2s222242000.0000242463121.4142262684482.8284424263121.4142444484000.00004646105121.4142626284482.82846464105121.41426666126000.0000總 和7236122411.313667.從表中我們可以算出樣本平均數(shù) 的平均數(shù)：以自在度為除數(shù)的樣

26、本方差的平均數(shù)：以樣本容量為除數(shù)的樣本方差的平均數(shù)：68.樣本規(guī)范差s的平均數(shù)：在統(tǒng)計上，假設(shè)一切能夠樣本的某一統(tǒng)計數(shù)等于總體的相應(yīng)參數(shù)，那么稱該統(tǒng)計數(shù)為總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計值(unbiased estimate)1、 是的無偏估計值。2、s2是2的無偏估計值69.3、以n為除數(shù)的樣本方差 不是2的無偏估計值。4、s不是的無偏估計值。再以樣本容量n=4，n=8從上述總體中抽樣，并將抽出的全部樣本列入表4.6(P67)根據(jù)表4.6，可算得n=2時樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)為：70.樣本平均數(shù)分布的方差為：同樣，可算得n=4時：71.當(dāng)n=8時：72.不同樣本容量的平均數(shù)的抽樣分布外形為：抽樣誤差的

27、概念：稱為規(guī)范誤。抽樣誤差的度量：73.n=1fyfn=2yfn=4yfn=8y74.二、樣本總和數(shù)的抽樣及其分布參數(shù)樣本總和數(shù)(用y代表)的抽樣分布參數(shù)與母總體間存在如下關(guān)系：1、該抽樣分布的平均數(shù)y與母總體平均數(shù)間的關(guān)系為： y=n。75.2、該抽樣分布的方差y與母總體方差間的關(guān)系為：76.三、兩個獨立隨機樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布及其分布參數(shù)我們用一個例子來論述這一問題。假定第一個總體包括3個察看值，2、4、6(N1=3，n1=2)一切樣本數(shù)為Nn=32=9,總體的平均數(shù)和方差1=4， 21=8/3。77.第二個總體包括2 個察看值，3和6(N2=2)，抽出的樣本容量為3(n2=3)，一切樣本的個數(shù)為23=8，總體平均數(shù)和方差2=4.5， 22=2.2578.ff213132434353526162總和9總和8從兩個總體抽出的樣本平均數(shù)的次數(shù)分布表79.22223333444455556666總和34563456345634563456-1-2-3-40-1-2-310-1-2210-13210f13312662399326621331