模型12 與正方形有關(guān)的三垂線

1、專題12 與正方形有關(guān)的三垂線一、單選題 1如圖，點(diǎn)，點(diǎn)在射線上勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的過程中以為對(duì)稱中心，為一個(gè)頂點(diǎn)作正方形，當(dāng)正方形的面積為40時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）ABCD【答案】D【分析】作軸于，軸于E，根據(jù)的坐標(biāo)求得直線的斜率，進(jìn)一步得出直線的斜率為，通過證得，得出，可設(shè)，則，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的斜率為，整理得，然后根據(jù)勾股定理得出，代值求解即可【詳解】解：作軸于，軸于E，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)四邊形是正方形，直線的斜率為又，又，設(shè)，則設(shè)直線的解析式為，解得：整理得：正方形面積為40在中，即：解得：故答案選B【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，

2、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)直線的斜率列出方程是解題的關(guān)鍵二、解答題2探究證明：（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，AMBN求證：BN=AM；（2）如圖2，矩形ABCD中，點(diǎn)M在BC上，EFAM，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F求證：；（3）如圖3，四邊形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，求的值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)結(jié)合等角的余角相等，可證明NBC=MAB，進(jìn)而證明BCNABM，最后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解題即可；（2）過點(diǎn)B作B

3、GEF交CD于G，由兩組對(duì)邊分別平行判定四邊形BEFG是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可證明GBCMAB，最后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解題即可；（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長(zhǎng)線于S，連接AC，可得四邊形ABSR是平行四邊形，再由含有一個(gè)90角的平行四邊形是矩形，證明四邊形ABSR是矩形，進(jìn)而得到R=S=90，RS=AB=10，AR=BS，結(jié)合（2）中結(jié)論可證明ACDACB，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到ADC=ABC，再由等角的余角相等，證明RADSDC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)SC=x，解得DR、DS的長(zhǎng)，再結(jié)合勾股定理解題即可【詳解】（1

4、）證明四邊形ABCD是矩形，ABC=C=90NBA+NBC=90AMBN，MAB+NBA=90，NBC=MAB，BCNABM，=（2）結(jié)論：=理由：如圖2中，過點(diǎn)B作BG/EF交CD于G，四邊形ABCD是矩形，ABCD，四邊形BEFG是平行四邊形，BG=EFEFAM，BGAM，GBA+MAB=90ABC=C=90，GBC+GBA=90，MAB=GBC，GBCMAB，=，=（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長(zhǎng)線于S，連接AC，則四邊形ABSR是平行四邊形ABC=90，四邊形ABSR是矩形，R=S=90，RS=AB=10，AR=BSAMDN，由（2）中結(jié)論可得：

5、=AB=AD，CB=CD，AC=AC，ACDACB，ADC=ABC=90，SDC+RDA=90RAD+RDA=90，RAD=SDC，RADSDC，=，設(shè)SC=x，=RD=2x，DS=10-2x，在RtCSD中，52=（10-2x）2+x2，x=3或5（舍棄），BS=5+x=8，=【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，正確作出輔助線、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵3如圖，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG（1）試猜想

6、線段BG和AE的關(guān)系（直接寫出答案，不用證明）；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) （060），判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)利用圖證明你的結(jié)論；（3）若BCDE4，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，AE最大？并求出此時(shí)AF的值【答案】（1）BGAE，BGAE，見解析；（2）結(jié)論成立，BGAE，BGAE，見解析；（3）當(dāng)為270時(shí)，AE最大，AF【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADEBDG就可以得出結(jié)論（2）如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADEBDG就可以得出結(jié)論（3）由（2）可知BG=AE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值，由勾股定理

7、就可以得出結(jié)論【詳解】解：（1）結(jié)論：BGAE，BGAE理由：如圖1，延長(zhǎng)EA交BG于KABC是等腰直角三角形，BAC90，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BDCD，ADBADC90四邊形DEFG是正方形，DEDG在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BGAE，BGDAED，GAKDAE，AKGADE90，EABG（2）結(jié)論成立，BGAE，BGAE理由：如圖2，連接AD，延長(zhǎng)EA交BG于K，交DG于O在RtBAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，ADBD，ADBC，ADG+GDB90四邊形EFGD為正方形，DEDG，且GDE90，ADG+ADE90，BDGADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS）

8、，BGAE，BGDAED，GOKDOE，OKGODE90，EABG（3）BGAE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270時(shí)，BGAEBCDE4，BG2+46AE6在RtAEF中，由勾股定理，得AF，AF【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵4如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG于點(diǎn)E，BFDE，且交AG于點(diǎn)F（1）求證：；（2）求證：DEBFEF；（3）若AB2，BG1，求線段EF的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）見解析；

9、（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得ABAD，ABCBAD90，根據(jù)DEAG，利用直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得BAFADE，利用AAS即可證明ADEBAF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=AF，BF=AE，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得結(jié)論；（3）利用勾股定理可求出AG的長(zhǎng)，利用面積法可求出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理可求出AF的長(zhǎng)，根據(jù)BF=AE，EF=AF-AE即可得答案【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，ABAD，ABCBAD90，DEAG，AEDDEF90，BFDE，AFBDEFAED90，BAFDAEADEDAE90BAFADE在ABF和DAE中，ADEBAF（2）DAEABF，A

10、EBF，DEAFAFAEEF，DEBFEF（3）ABC90，AG2AB2BG212225，SABG，在RtABF中，AF2AB2BF222，AF=，AE=BF，EF=AF-AE，【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明ABFDAE，此題難度一般5如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)G與不重合），于E，交DG于F.求證：.【答案】見解析.【分析】首先證明AEDDFC，則能得出DE=FC，AE=DF，進(jìn)而得出結(jié)論【詳解】證明：四邊形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=90又AEDG，CFAE，AED=DFC=

11、90，EAD+ADE=FDC+ADE=90，EAD=FDC，在AED和DFC中，AEDDFC（AAS）AE=DF，ED=FCDF=DE+EF，AE=FC+EF【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵6四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)在邊所在的直線上，連接，以為直角頂點(diǎn)在右側(cè)作等腰，連接（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，且三點(diǎn)共線時(shí)，_；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且時(shí)，求的長(zhǎng)：（3）若點(diǎn)在邊所在直線上，且，求的長(zhǎng)【答案】（1）6；（2）；（3）1或3【分析】（1）易證得四邊形CDMF和四邊形ANEM都是矩形，證得RtEMNRtFCM，

12、得到MF= NE=BF=2，EM=FC=4，即可求得BN的長(zhǎng)；（2）易證得四邊形CDGH和四邊形ANHG都是矩形，證得RtCDMRtMGN，求得NH=，BH=AG=AM+MG，利用勾股定理即可求得BN的長(zhǎng)；（3）分點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)、點(diǎn)M在點(diǎn)D右側(cè)、點(diǎn)M在線段AD上三種情況討論，分別利用勾股定理構(gòu)造方程即可求解【詳解】（1）過M作EFAB，過N 作NEEF于E，延長(zhǎng)CB交EF于F，如圖所示：又四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形CDMF和四邊形ANEM都是矩形，MF=CD=2，NE=BF，BN=EF，NMC=90，MN=MC，NMC=NEM=MFC=90，EMN+CMF=90，F(xiàn)CM +CMF=90，E

13、MN=FCM，RtEMNRtFCM，MF= NE=2，則NE=BF=2，EM=FC=BF+BC=2+2=4，BN=EF=EM+MF=4+2=6；（2）過N作GHAB，延長(zhǎng)AD、BC交GH于G、H，如圖所示：又四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形CDGH和四邊形ABHG都是矩形，GH=CD=2，AG=BH，DG=CH，AM=，DM=，同理可證得RtCDMRtMGN，GN=DM=，MG=CD=2，NH= GH-GN=2-，BH=AG=AM+MG=，BN=；（3）點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)，過M作EFAB，過N 作NEEF于E，延長(zhǎng)CB交EF于F，延長(zhǎng)BA交NE于G，如圖所示：又四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形CDMF

14、、四邊形BFEG和四邊形AMEG都是矩形，MF=CD=2，AG=ME，EG=FB=AM，同理可證得RtNEMRtMFC，MF= EN=2，EM=FC，設(shè)，則，在中，整理得：，(舍去)，；點(diǎn)M在點(diǎn)D右側(cè)，過N作EFAB，延長(zhǎng)AD、BC交EF于F、E，如圖所示：同理可得：EF=CD=2，BE=AF，同理可證得RtCDMRtMFN，F(xiàn)N=DM，MF=CD=2，設(shè)，則，在中，整理得：解得：(舍去)，；點(diǎn)M在線段AD上，過M作EFAB，過N 作NEEF于E，延長(zhǎng)BA交NE延長(zhǎng)線于H，如圖所示：同理可得：MF=CD=2，HE=AM=BF，BH=EF，同理可證得RtEMNRtFCM，EN=MF=2，F(xiàn)M=F

15、C，設(shè)，則，F(xiàn)C=BC-BF=,，在中，解得：(舍去)，(舍去)，綜上所述AM的值為1或3【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵7在正方形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，于，交直線于點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)(如圖1)，線段與的數(shù)量關(guān)系是_（2）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，（1）探究的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明：如果不成立，請(qǐng)說明理由（3）如圖3，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)、分別在邊、上，請(qǐng)直接寫出折痕的長(zhǎng)【答案】（1）EF=AG；（

16、2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）利用ASA證明ABEDAG全等即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FMAE，垂足為M，利用ASA證明ADGFME，即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)Q作QHAD于H，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得PQAM，然后求出APQ=AMD，再利用“角角邊”證明ADMQHP，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QP=AM，再利用勾股定理列式求出AM，從而得解【詳解】解：（1）四邊形ABCD是正方形，BAE=ADG=90，AB=AD，ABE+AEB=90，EFAG，AEB+DAG=90，ABE=DAG，ABEDAG（ASA），EF=BE=AG；（2）成立，理由是：過點(diǎn)F作FMAE，垂足為M，四邊形A

17、BCD是正方形，BAE=ADG=90，AD=CD，MF=CD=AD，EMF=90，E+EFM=90，EFAH，HAE+E=90，HAE=EFM，ADGFME（ASA），EF=AG；（3）如圖，過點(diǎn)Q作QHAD于H，則四邊形ABQH中，HQ=AB，由翻折變換的性質(zhì)得PQAM，APQ+DAM=90，AMD+DAM=90，APQ=AMD，四邊形ABCD是正方形，AD=AB，HQ=AD，在ADM和QHP中，ADMQHP（AAS），QP=AM，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，DM=CD=3，在RtADM中，由勾股定理得，AM=，PQ的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換的問題，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱

18、，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵8如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形BCMN， 連結(jié)AM、BD （1）AM與BD的關(guān)系是：_ （2）如果將正方形BCMN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角(如圖2)(1) 中所得的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由 （3）在(2)的條件下，連接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值【答案】（1）相等且垂直；（2）成立， 理由詳見解析；（3）40【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=DC，CM=CB，ACM=DCB=90，利用SAS可證出ACMDCB，根據(jù)全等三角形的

19、性質(zhì)即可得出AM=BD，MAC+DBC=90，進(jìn)而得出AMBD；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=DC，CM=CB，ACD=MCB=90，通過等量相加即可得到ACM=DCB，利用SAS可證出ACMDCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出AM=BD，MAC=BDC，設(shè)AM與CD交于點(diǎn)P，即可證出DPM+BDC=90，進(jìn)而得出AMBD；（3）連接AD、BM，設(shè)AM與BD交于點(diǎn)Q，根據(jù)AMBD，即可利用勾股定理即可求出答案.【詳解】（1）相等且垂直.（1）在正方形ACDE和正方形BCMN中，AC=DC，ACM=DCB=90，CM=CB，ACMDCB（SAS），AM=BD，MAC=BDC，MAC+AMC=9

20、0，MAC+DBC=90，AMBD；故答案為相等且垂直；（2）第（1）問中的結(jié)論仍然成立，即AM與BD的關(guān)系是：相等且垂直；理由如下：如圖所示，設(shè)AM與CD交于點(diǎn)P，在正方形ACDE和正方形BCMN中，AC=DC，ACD=MCB=90，CM=CB，ACD+DCM=MCB+DCM,即ACM=DCB，ACMDCB（SAS），AM=BD，MAC=BDC，MAC+APC=90，BDC+APC =90，APC =DPM，BDC+DPM =90，AMBD；AM與BD的關(guān)系是：相等且垂直；（3）如圖所示，連接AD、BM，設(shè)AM與BD交于點(diǎn)Q，AC=4，BC=2，AD2=42+42=32，BM222+228，

21、由（2）可知，AMBD，AB2=AQ2+BQ2，DM2=DQ2+MQ2；AD2=AQ2+DQ2，BM2=BQ2+MQ2，AB2+DM2AQ2+BQ2+DQ2+MQ2，AD2+BM2AQ2+DQ2+BQ2+MQ2，AB2+DM2AD2+BM2=40.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí).結(jié)合圖形綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.9如圖，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，、分別在、上，且，連接、，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)及SAS定理證AOEDOF，得出AE=DF即可；（2）由AOE

22、DOF得出OEA=OFD，證出OAE+OFD=90，得出AMF=90，即可得出結(jié)論【詳解】（1）四邊形是正方形， 又，即， 在和中， ； （2）由（1）得：， ， ，【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；解答本題的關(guān)鍵是通過全等的證明和利用等角代換解題，屬于中考?？碱}型10如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AO上（不與點(diǎn)A，O重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEPB且PE交邊CD于點(diǎn)E（1）求證：PEPB；（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過點(diǎn)E作EFAC于點(diǎn)F，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這

23、個(gè)不變的值；若變化，請(qǐng)說明理由；（3）用等式表示線段PC，PA，CE之間的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）見解析；（2）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，PF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化PF的長(zhǎng)為定值；（3）理由見解析【分析】（1）做輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)ASA證明即可求解（2）如圖，連接OB，通過證明，得到PF=OB，則PF為定值是（3）根據(jù)AMP和PCN是等腰直角三角形，得，整理可得結(jié)論【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)P作MNAD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)NPBPE，BPE90，MPB+EPN90四邊形ABCD是正方形，BADD90ADMN，BMPBADPNED90，MPB+MBP90，EPNMBP在RtPNC中，PCN

24、45，PNC是等腰直角三角形，PNCN，BMCNPN，BMPPNE（ASA），PBPE（2）解：在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，PF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化理由：如圖2，連接OB點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OBAC，AOB90，AOBEFP90，OBP+BPO90BPE90，BPO+OPE90，OBPOPE由（1）得PBPE，OBPFPE（AAS），PFOBAB2，ABO是等腰直角三角形，PF的長(zhǎng)為定值（3）解：理由：如圖1，BAC45，AMP是等腰直角三角形，由（1）知PMNE，PCN是等腰直角三角形，【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用，通過對(duì)三角形全等的證明找出邊之間的關(guān)系，準(zhǔn)確分析代換求解是解題

25、的關(guān)鍵11平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A，C 在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B（，），P是射線OB上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得，Q是點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).（1）如圖（1）當(dāng)OP = 時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）如圖（2），設(shè)點(diǎn)P（，）（），的面積為S. 求S與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出當(dāng)S取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)BP+BQ = 時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得出答案；（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理可得，然后根據(jù)直角三角形的

26、面積公式可得S與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的解析式即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)得出，從而得出點(diǎn)P在OB的延長(zhǎng)線上，再根據(jù)線段的和差可得，然后同（1）的方法可得，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)、線段的和差可得，由此即可得出答案【詳解】（1）如圖1，過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)G，過Q點(diǎn)作軸于點(diǎn)H四邊形OABC是正方形在中，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在和中，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；（2）如圖2，過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)G繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，由勾股定理得：整理得：整理得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，S隨x的增大而增大則當(dāng)時(shí)，S取得最小值，最小值為9此時(shí)故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）繞

27、點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到四邊形OABC是正方形，且邊長(zhǎng)對(duì)角線點(diǎn)P在OB的延長(zhǎng)線上解得如圖3，過P點(diǎn)作軸于點(diǎn)G，過Q點(diǎn)作軸于點(diǎn)H同（1）可得：，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確得出點(diǎn)P的位置是解題關(guān)鍵12在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.當(dāng)點(diǎn)落在該拋物線上時(shí)，求的值；（3）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作圖示一側(cè)的正方形，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小與位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)或恰好落在軸上時(shí)，求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).【答案

28、】（1）.（2）或.（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，.【分析】（1）將和點(diǎn)代入解析式解方程即可；（2）將的坐標(biāo)表示，把坐標(biāo)代入解析式求m即可；（3）利用正方形性質(zhì)和一線三直角幾何模型，找到全等三角形，根據(jù)直角邊解方程即可.【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).得，解得拋物線的解析式為.（2）與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的坐標(biāo)為.，都在拋物線上，.解得或.（3）當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，四邊形是正方形，.，.又，.，有，解得或（舍去）.點(diǎn)坐標(biāo)為.如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同理可以證得，.，有，解得或（舍去）.點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可以證得，有，解得或（舍去）.點(diǎn)坐標(biāo)為.如圖4，

29、過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，同理可以證得，有，解得或（舍去）.點(diǎn)坐標(biāo)為.綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，.【點(diǎn)睛】本題是經(jīng)典的二次函數(shù)題目，涉及待定系數(shù)法求解析式，點(diǎn)的表示及代入，以及與一線三直角模型的點(diǎn)的存在性問題，是典型的綜合性題目.13如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別位于邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，AGx，正方形EFGH的面積為y（1）當(dāng)a2，y3時(shí)，求x的值；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最??？最小值是多少？【答案】（1）x；（2）當(dāng)xa（即E在AB邊上的中點(diǎn)）時(shí)，正方形EFGH的面積最小，最小的面積為a2【分析】（1）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，AEx，則BE

30、ax，易證AHEBEFCFGDHG，再利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得到正方形EFGH的面積；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積的最小值【詳解】解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，AEx，則BEax，四邊形EFGH是正方形，EHEF，HEF90，AEH+BEF90，AEH+AHE90，AHEBEF，在AHE和BEF中，AHEBEF（AAS），同理可證AHEBEFCFGDHG，AEBFCGDHx，AHBECFDGaxEF2BE2+BF2（ax）2+x22x22ax+a2，正方形EFGH的面積yEF22x22ax+a2，當(dāng)a2，y3時(shí)，2x24x+43，解得：x；（2）y2x22ax+a22（xa）

31、2+a2，即：當(dāng)xa（即E在AB邊上的中點(diǎn)）時(shí)，正方形EFGH的面積最小，最小的面積為a2【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等14如圖所示，以為邊作正方形，求點(diǎn)、的坐標(biāo).【答案】；【解析】【分析】過B作BEy軸，過C作CFx軸，垂足分別為E、F，可證明ABEDAOCDF，可求得OE、BE、CF、OF的長(zhǎng)，可求得B、C的坐標(biāo)【詳解】解：如圖，過B作BEy軸，過C作CFx軸，垂足分別為E、F，四邊形ABCD為正方形，A=D=90，AB=CD，BAE+DAO=DAO+ADO=90，BAE=ADO，在ABE和DAO中，AB

32、EDAO（AAS），同理可得DAOCDF，A（0，2），D（1，0），BE=DF=OA=2，AE=CF=OD=1，OE=OA+AE=2+1=3，OF=OD+DF=1+2=3，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用正方形的四邊相等找到條件通過證明三角形全等求得BE、AE、CF、OF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵15如圖所示，四邊形為正方形，交軸于.求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】【解析】【分析】作軸于E，作于F，易證，得，即可求出點(diǎn)B坐標(biāo).【詳解】解：作軸于E，作于F，在正方形ABCD中，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及全等三角形的判定與

33、性質(zhì)；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵當(dāng)正方形的部分點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，往往過另外的點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，從而得到“形外三垂直”的基本圖形. 利用正方形邊角的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形求點(diǎn)的坐標(biāo).三、填空題16如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，若點(diǎn)在正方形的某一邊上，滿足，且與的交點(diǎn)為則_【答案】或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，點(diǎn)F在AD上或點(diǎn)F在AB上，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，即可得到CM的長(zhǎng)【詳解】解：分兩種情況：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，由CF=BE，CD=BC，BCE=CDF=90可得，RtBCERtCDF（HL），DCF=CBE，又BCF+DCF=90，BCF+CBE=90，B

34、MC=90，即CFBE，BC=4，CE=3，BCE=90，BE=5，CM=；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，同理可得，RtBCFRtCBE（HL），BF=CE，又BFCE，四邊形BCEF是平行四邊形，又BCE=90，四邊形BCEF是矩形，CM=BE=5=故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件17如圖，四邊形中，則_【答案】45【分析】作AEBC于E，AFCD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證四邊形AECF為矩形，可得FAE90，再根據(jù)DAB90，可得DAFB

35、AE，即可證明BAEDAF，可得AEAF，即可判定矩形AECF為正方形，即可解題【詳解】解：作AEBC于E，AFCD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AECAFCBCD90，四邊形AECF為矩形，F(xiàn)AE90，即DAFDAE90，DAEBAE90，DAFBAE，在BAE和DAF中，AEBF，BAEDAF，ABAD，BAEDAF（AAS），AEAF，矩形AECF為正方形，ACB45；故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵18如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為_【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于

36、，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交CE的延長(zhǎng)線于先證明，得到，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)定義即可求解【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交CE的延長(zhǎng)線于，四邊形是正方形，易求又，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵19如圖在直線上一次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S12S22S3S4=_【答案】6【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到ABD=90，AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到CAB=DBE，則可根據(jù)“A

37、AS”判斷ABCBDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代換后有DE2+AC2=BD2，根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同樣方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通過計(jì)算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6【詳解】解：如圖，圖中的四邊形為正方形，ABD=90，AB=DB，ABC+DBE=90，ABC+CAB=90，CAB=DBE，在ABC和BDE中， ，ABCBDE（AAS），AC=BE，DE2+BE2=BD2，DE2+AC2=BD2，S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，S1+S2=1，同

38、理可得S2+S3=2，S3+S4=3，S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)20如圖，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，H為線段DF的中點(diǎn)，則BH_【答案】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理可以求得DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到DBF的形狀，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到BH的長(zhǎng)【詳解】解：延長(zhǎng)DC交FE于點(diǎn)M，連接BD、BF，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，DM5，MF1，DMF90，DF，BD、BF分別是正方形ABCD，BEFG的對(duì)角線，DBC=GBF=90，DBF90，DBF是直角三角形， 點(diǎn)H為DF的中點(diǎn)，BHDF，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答21如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD，Q為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于點(diǎn)M，過M作MNAQ交BC于點(diǎn)N，作NP