2022年?yáng)|北師大附屬中學(xué)高三第一輪復(fù)習(xí)教案不等式選講

1、一、基本知識(shí)點(diǎn)： 閱讀選講 4-5 (1). 含有參數(shù)不等式的解法例 1: 解關(guān)于 x 的不等式x24 mx4m 2m3x2 m( m3 )解：原不等式等價(jià)于|x2 m|m3當(dāng)m30即m3時(shí)x2 mm3 或x3 m3 或xm36 當(dāng)m30即m3時(shí)| x6|0 x當(dāng)m30即m3時(shí)x R。2)例 2、解關(guān)于 x 的不等式(cot)x23x2(,1 0解：當(dāng)cot1即(0,4) 時(shí)x23 x20 x2 或 x1 當(dāng)cot1即 =4時(shí)x 201x0，即(x )在（ -1，1）上是增函數(shù)。(5) 、能成立問(wèn)題 (部分成立 )（存在性問(wèn)題）若在區(qū)間 D 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 f(x)A 成立 , 即

2、f(x)A 在區(qū)間 D 上能成立 , f(x) m ax A ；若在區(qū)間 D 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 f(x)A 成立 , 即 f(x)A 在區(qū)間 D 上能成立 , xf(x) min1 0 x1或 1xa，a若 0a1 時(shí)122xm0 x當(dāng) m=1 時(shí)(22x1 )20 x 1log2m當(dāng) 0m1 時(shí)m2 2x12當(dāng) m0 時(shí)x0 （8）、反證法：但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，有時(shí)很難直接入手求證，這 時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從 正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證 明它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間 接證明的一種基本方法。反證

3、法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì) p 則 q” ，而 導(dǎo)致矛盾。具體地說(shuō)，反證法不直接證明命題“ 若 是先肯定命題的條件 p，并否定命題的結(jié)論 q，然后通過(guò)合理的邏輯推理，而得到矛 盾，從而斷定原來(lái)的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；于是原證不等第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定不正確，式成立。例 1、設(shè)二次函數(shù)f(x)x2pxq，求證：f,)1(f(2 ,)f( 3 )中至少有一個(gè)不小于1. f1( ,)f(2

4、 ,)f(3 )都小于1 ，則 2（1）2證明：假設(shè)f( )12f( 2 )f( 3 ).2另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有f1( )2f(2)2 (f(3 )pf1( )(2f(2)f(3 )2（2）1(pq)42q)93pq)（1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來(lái)的結(jié)論正確。注意 ：諸如本例中的問(wèn)題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式 時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。議一議 ：一般來(lái)說(shuō)， 利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指 所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假定矛 盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有

5、什么特點(diǎn)？例 2、設(shè) 0 a, b, c 1, (1 b)c 1, (1 c)a 1, 444則三式相乘： ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a 164又 0 a, b, c 1 0( 1a )a( 1a )a2124同理：( 1b )b1, ( 1c ) c144以上三式相乘：(1 a)a?(1 b)b?(1 c)c1與矛盾64原式成立（9）、不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?，使之得出明顯的 不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)

6、用處更為廣泛。下面我們通過(guò)一些簡(jiǎn)單例證體會(huì)這種方法的基本思想。例 1、若 n 是自然數(shù)，求證1111.22 1222 3n2證明：12 1 1 1 , k 2 , ,3 4 , , n .k k ( k )1 k 1 k1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 21 2 3 n 1 1 2 2 3 ( n 1 ) n= 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) = 2 1 2 .1 1 2 2 3 n 1 n n注意 ：實(shí)際上，我們?cè)谧C明1 12 2 12 3 12 n 12 2 的過(guò)程中，已經(jīng)得到一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論1 12 2 12 3 12 n 12 2 1n，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)

7、了放縮法的基本思想。例 2、求證：1 1 1 1 1 .31 1 2 1 2 3 1 2 3 n證 明 ： 由1 2 3 1k 1 2 2 12 2 1k 1 ,（ k 是 大 于 2 的 自 然 數(shù) ） 得1 1 1 111 1 2 1 2 3 1 2 3 n11 1 12 2 122 132 1n 1 1 11 21 n32 1n 1 3 .2（ 10）柯西不等式定理 1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)a,b ,c ,d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)成立。證明：幾何意義：設(shè)，為平面上以原點(diǎn) O 為起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量，它們的終點(diǎn)分別為 A（a, b

8、），B（c, d），那么它們的數(shù)量積為 ? ac bd，而 | | a 2b 2，| | c 2d 2，所以柯西不等式的幾何意義就是：| | | | | ? |，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立。定理 2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則| | | | | ? |，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立。定理 3：（三角形不等式）設(shè)x 1,y 1,x2,y2,x3,y3為任意實(shí)數(shù)，則：x 3)2(y 1y 3)2(x 1x2)2(y 1y 2)2(x 2x3)2(y2y 3)2(x 1分析：思考：三角形不等式中等號(hào)成立的條

9、件是什么？定理 4：（柯西不等式的推廣形式）：設(shè) n 為大于 1 的自然數(shù)，a , ib i（ i 1，2， ，n n n2 2 2n ）為任意實(shí)數(shù)，則：a i b i ( a i b i )，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)i 1 i 1 i 1b 1 b 2 b n 時(shí)成立（當(dāng) ia 0 時(shí)，約定 ib 0， i 1，2， ， n ）。a 1 a 2 a n2 2 2證明：構(gòu)造二次函數(shù)：f ( x ) ( a 1 x b 1 ) ( a 2 x b 2 ) ( a n x b n )n n n2 2 2即構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù)：f ( x ) ( a i ) x 2 ( a i b i ) x b ii 1

10、i 1 i 1由于對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，f (x ) 0 恒成立，則其 0，n n n即：4 ( a i b i ) 2 4 ( a i 2)( b i 2) 0，i 1 i 1 i 1n n n即：( a i b i ) 2 ( a i 2)( b i 2)，i 1 i 1 i 1等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) a 1 x b 1 a 2 x b 2 a n x b n 0，即等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b 1b2b n時(shí)成立（當(dāng)ia0時(shí)，約定ib0， i1，a 1a2a n2， ， n ）。如果ia （1in）全為 0，結(jié)論顯然成立。柯西不等式有兩個(gè)很好的變式：變式 1 設(shè)aiR,bi0(i,12 ,n),inai2(a i)

11、2i，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)1b ib ib ia i( 1in )na i(a i)2，等號(hào)成變式 2 設(shè) ai，bi 同號(hào)且不為0（i=1，2， ， n），則：1b ia ib i立當(dāng)且僅當(dāng)b 1b2bn。（ 11）排序不等式排序不等式的一般情形一般地，設(shè)有兩組實(shí)數(shù)：a ，a ，a ， ，a 與 b ，b ，b ， ，b ，且它們滿足：a a a a ，b b b b ，若 1c，c ，c ， ，c n是 1b ，b ，b ， ，b 的任意一個(gè)排列，則和數(shù) a 1 c 1 a 2 c 2 a nc n 在 a ，a ，a ， ，a 與 1b ，b ，b ， ，b 同序時(shí)最大，反序時(shí)最小，即：a

12、1 b 1 a 2 b 2 a n b n a 1 c 1 a 2 c 2 a n c n a 1 b n a 2 b n 1 a n b 1，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) a 1 a 2 a n 或 b 1 b 2 b n 時(shí)成立。分析：用逐步調(diào)整法2 2 2 2 2 2例 1、已知 a , b , c 為正數(shù)，求證：a b b c c a abc。a b c例 2、設(shè) a ，a ，a ， ，a 為正數(shù)，求證：a 12a22a n12a n2a 1a2an。a2a3a na 1（12）數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 : 是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在 n1( 或n 0 ) 時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；

13、第二步是假設(shè)在 nk 時(shí)命題成立，再證明 n k1時(shí)命題也成立，這是遞推的依據(jù)。實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。證明時(shí)，關(guān)鍵是k1 步的推證，要有目標(biāo)意識(shí)。(1n)2。nx。例 1、證明：3 12333n3( 1231例 2、設(shè)x1，nN*，證明貝努利不等式：x)n二、 方法提升：三、 反思感悟：四、 課時(shí)作業(yè)：1、利用不等式的圖形解不等式：x1x11; 3x472、解下列不等式： （1）23x1（2） 1233解不等式：（1）2x1x14解不等式：（1）x1x25利用絕對(duì)值的幾何意義，解決問(wèn)題：要使不等式x4x3a 有解， a 要滿足什么條件？6.解關(guān)于 x 的不等式x24mx4

14、 m2m32 m( m3 )c2解：原不等式等價(jià)于|x2 m|m3當(dāng)m30即m3時(shí)x2 mm3 或x6 x3 m3 或xm3當(dāng)m30即m3時(shí)| x6|0 xcd當(dāng)m30即m3時(shí)x R。7、若 a, b, c, dR +，求證：1aad cbba dcbcdbda證：記 m =aaba, b, c, dR+ bdbcacdbdacmabacdabbcacdcabdadbc1maababbccdddc21 m 2 時(shí)，求證：logn(n)1logn(n1 )10證： n 2 logn(n1 )0,logn(n1 )logn(n1 )logn(n1 )nlogn(n1 )logn(n)12logn(n21 )2229、已知n 2 時(shí), log(nlognn221|1。211 )logn(n1 )bya2b21，x2y21，求證：|ax10、設(shè)a ,b ,c ,dR，求證：2 ab22 cd2( ac )2(bd)2。ha +11、