【學習課件】第8章計算機控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計

1、第8章 計算機控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計一、狀態(tài)反饋設計二 、輸出反饋設計三、狀態(tài)觀測器設計四、帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋設計編輯ppt1. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其特性 對離散系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋控制，控制量為一、狀態(tài)反饋設計編輯ppt閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程由 ABK 決定，且系統(tǒng)階次不變；通過選取K ，可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性；閉環(huán)系統(tǒng)的可控性由ABK及B 決定；如開環(huán)系統(tǒng)是可控的，則閉環(huán)系統(tǒng)也可控，反之亦然；閉環(huán)系統(tǒng)的可觀性由ABK及 CDK 決定；如果開環(huán)系統(tǒng)是可控可觀的，加入狀態(tài)反饋控制，由于K 的不同選擇，閉環(huán)系統(tǒng)可能失去可觀性；編輯ppt【例 1】 對如下離散系統(tǒng)

2、，討論引入線性狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的可控及可觀性?！窘狻浚阂鬃C原系統(tǒng)是可控可觀的。引入狀態(tài)反饋控制：其中 ，則閉環(huán)系統(tǒng)為其中編輯ppt可控性因為有故閉環(huán)系統(tǒng)是可控的?？捎^性而可見可觀性與狀態(tài)反饋矩陣選擇有關(guān)編輯ppt2. 狀態(tài)反饋與極點配置 狀態(tài)反饋時閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 即狀態(tài)反饋矩陣 K 決定了閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。若系統(tǒng)是完全可控的，則通過選取反饋矩陣 K 可以任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。編輯ppt若單輸入單輸出系統(tǒng)是可控的，則系統(tǒng)可寫成可控標準型：其特征方程為編輯ppt若狀態(tài)反饋控制為此時閉環(huán)系統(tǒng)為特征方程為即可由 ki 任意配置特征根（閉環(huán)極點）編輯ppt3. 單輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置設計

3、(1) 系數(shù)匹配法 若給定閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點為則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為 使上式兩端對應項系數(shù)相等（匹配），即可求得 K 。編輯ppt例8.2 設原開環(huán)系統(tǒng)離散狀態(tài)方程為 試確定狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K，使閉環(huán)極點為z10.4與z20.6。 解 易知原開環(huán)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，但不穩(wěn)定。 期望特征多項式為 狀態(tài)反饋閉環(huán)特征多項式為 比較以上兩式系數(shù)，可得 k10.2，k21.4，即 K0.2 1.4 編輯ppt （2）可控標準型法 設原開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其特征多項式為 如果系統(tǒng)完全可控，則可以通過線性變換 得 其中 編輯ppt 對上式引入狀態(tài)反饋 則對應的閉環(huán)系統(tǒng)為 其閉環(huán)特

4、征多項式為 與期望特征多項式比較，可得 而對應于原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣為 編輯ppt例 8.3 用可控標準型法求解例8.2中的狀態(tài)反饋矩陣。 解 可求得原系統(tǒng)特征多項式為 對其可控標準型引入狀態(tài)反饋,有 閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項式為 比較系數(shù)可得 可控標準型變換矩陣 由此可求得 編輯ppt（3）阿克曼Ackermann公式法以可控標準型為基礎，一種便于計算機求解反饋矩陣K 的方法計算公式其中，K(A)是給定期望特征多項式中的變量 z 用A代替后所得的矩陣多項式，即編輯ppt例8.4 用阿克曼公式法求解例8.2中的狀態(tài)反饋矩陣。 解 由原系統(tǒng)狀態(tài)方程可得已知閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項式為 即由阿克曼公式可得

5、 編輯ppt二 、輸出反饋設計1. 輸出反饋的結(jié)構(gòu)形式與特點 設原線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為引入?yún)⒖驾斎胂蛄縭(k)，則輸出反饋的控制向量可表示為其閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為可以證明，輸出反饋的引入不改變系統(tǒng)的可觀性 編輯ppt2. 輸出反饋與極點配置 一般而言，輸出反饋是不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點的。這是由于輸出信息并不包含系統(tǒng)的全部結(jié)構(gòu)信息，故不能任意改變其閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。 如果原系統(tǒng)是完全可控與完全可觀的，并存在足夠多的線性獨立的輸出，則可以通過輸出反饋來任意配置閉環(huán)極點。 如果一個n階系統(tǒng)有至少n個線性獨立的輸出，那么系統(tǒng)的狀態(tài)可由該系統(tǒng)的輸出和輸入導出。相應的輸出反饋也可由狀態(tài)反饋

6、導出。 編輯ppt例 8.5 設原開環(huán)系統(tǒng)離散狀態(tài)空間描述為試確定輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的反饋增益矩陣F，使閉環(huán)極點為z10.4與z20.6。 解： 已知閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項式為設Ff1 f2，可得狀態(tài)反饋閉環(huán)特征多項式為解得 f11.6，f21.4，即F1.6 1.4則有 編輯ppt三、狀態(tài)觀測器設計 1. 開環(huán)狀態(tài)觀測器 已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 構(gòu)造一個狀態(tài)觀測模型 編輯ppt若令 為觀測誤差，即可得到觀測誤差的狀態(tài)方程為 可見，觀測器的性能將由原系統(tǒng)的參數(shù)矩陣A決定。如果原系統(tǒng)矩陣A是不穩(wěn)定的，則觀測誤差將隨時間發(fā)散；如果矩陣A是穩(wěn)定的，但收斂速度很慢，觀測誤差也不能很快收斂到零，從而影

7、響觀測效果。 編輯ppt2. 閉環(huán)狀態(tài)觀測器設計 利用觀測誤差修正模型的輸入，構(gòu)成閉環(huán)狀態(tài)觀測器。根據(jù)具體實現(xiàn)形式的不同，有兩種實現(xiàn)閉環(huán)狀態(tài)觀測器的基本方法。一種是利用當前的輸出來觀測下一時刻的狀態(tài)，這稱為預報觀測器；另一種是利用當前的輸出來觀測當前時刻的狀態(tài)，故稱為現(xiàn)時觀測器。 編輯ppt（1）預報觀測器 預報觀測器的方程 預報觀測器的觀測誤差方程 可見觀測誤差與系統(tǒng)輸入u(k)無關(guān)，其動態(tài)特性由矩陣ALC決定。 編輯ppt狀態(tài)觀測器的極點配置通過設計誤差反饋增益矩陣L 對觀測器極點進行任意配置的充要條件是原系統(tǒng)狀態(tài)是完全可觀的。狀態(tài)反饋設計的相關(guān)方法均可用于狀態(tài)觀測器設計。注意到狀態(tài)反饋設

8、計與狀態(tài)觀測器設計的對偶關(guān)系，其阿克曼公式 為 編輯ppt 例8.6 設離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 試設計狀態(tài)觀測器，要求觀測器的極點為z1,20.2。 解 易知原系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀，設觀測器的誤差反饋增益矩陣為Ll1，l2T，可得觀測器的特征多項式為 而觀測器的期望特征多項式為 解得 編輯ppt(2) 現(xiàn)時觀測器 當前時刻的開環(huán)觀測值將現(xiàn)時觀測器構(gòu)造為 于是可得 現(xiàn)時觀測誤差方程： 編輯ppt(3) 降維觀測器設計 在系統(tǒng)的全部狀態(tài)中，可能有一部分狀態(tài) (x1) 是可以直接在輸出端獲取其測量值，而另一部分 (x2) 則必須通過觀測器來重構(gòu)。如果只針對其需要觀測的部分狀態(tài)構(gòu)造觀測器，即為降維觀測器

9、。設原系統(tǒng)經(jīng)線性變換具有以下形式：編輯ppt其降維觀測器方程觀測誤差方程觀測器結(jié)構(gòu)圖 編輯ppt四、帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋設計 1. 帶觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu) 考慮如下被控系統(tǒng)： 引入狀態(tài)反饋 編輯ppt2 . 分離性原理 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程設觀測器為預報觀測器，其觀測器觀測誤差方程 由于 則有 與觀測誤差方程聯(lián)立，可得帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 編輯ppt其相應的特征多項式為閉環(huán)系統(tǒng)由兩部分組成：一部分是按極點配置設計狀態(tài)反饋控制規(guī)律時所給定的n個極點，即控制極點，另一部分則是按極點配置設計觀測器時所給定的n個極點，即觀測器極點。即分離性原理。根據(jù)分離性原理，在設計帶觀測器

10、的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)時，可以將狀態(tài)反饋控制規(guī)律與觀測器的設計分開進行。 編輯ppt 3. 帶觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設計原則 一般地，先根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)性能指標的要求確定相應的控制極點，即系統(tǒng)主導極點，并按極點配置設計狀態(tài)反饋增益K。 若系統(tǒng)輸出測量中不存在較大的噪聲，可按觀測器的狀態(tài)跟蹤速度為控制極點所對應的響應速度的26倍來選擇觀測器極點，使得整個系統(tǒng)的性能主要由控制極點（即系統(tǒng)主導極點）決定，并由此設計觀測誤差反饋增益L； 如果測量噪聲很大，其狀態(tài)跟蹤速度將按低于2倍系統(tǒng)響應速度設計，此時，觀測器極點將對系統(tǒng)性能產(chǎn)生較大影響，一般需要與控制極點綜合考慮。 編輯ppt4. 帶觀測器的狀態(tài)反饋控制

11、系統(tǒng)的控制器 將狀態(tài)反饋與觀測器的設計結(jié)果結(jié)合起來，便構(gòu)成該系統(tǒng)的數(shù)字控制器 編輯ppt 以預報觀測器為例，引入狀態(tài)反饋控制律 代入觀測器方程，有 對以上兩式在零初始條件下取 z 變換，可得 由此可得控制器的 z 傳遞函數(shù)形式，即 編輯ppt5. 設計舉例 例 8.9 衛(wèi)星的空間姿態(tài)控制通常是通過其三軸姿態(tài)控制系統(tǒng)來完成的。這里僅考慮其各個單軸姿態(tài)控制系統(tǒng)。在不考慮系統(tǒng)擾動的情況下，單軸姿態(tài)控制的運動方程可表示為 令uMC /J，則有 采用計算機控制，設采樣周期 T0.1秒，試設計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制規(guī)律，以保持衛(wèi)星在該軸上的姿態(tài)，并要求閉環(huán)系統(tǒng)具有等效于 s 平面阻尼比 0.5和實部為1.8rad/s的特征根所確定的閉環(huán)特性。 編輯ppt解 選擇狀態(tài)變量可得 加零階保持器將其離散化（T0.1s），可得被控系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間描述為 編輯ppt狀態(tài)反饋設計 引入狀態(tài)反饋控制律為 閉環(huán)系統(tǒng)離散狀態(tài)狀態(tài)方程 其閉環(huán)特征多項式為 由可得s平面的期望特征根為由s與