高等工程數(shù)學(xué)1線性空間

1、高 等 工 程 數(shù) 學(xué)主講 楊文強(qiáng)tel 74257第一章 線性空間和線性變換第七章 假設(shè)檢驗(yàn)第三章 矩陣分析及其應(yīng)用 第五章 矩陣的廣義逆與直積第四章 矩陣分解及其應(yīng)用 第六章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì)第二章 方陣的相似化簡(jiǎn)第八章 線性統(tǒng)計(jì)推斷 第九章 多元統(tǒng)計(jì)分析上篇 矩陣論及其應(yīng)用 下篇 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章 線性空間和線性變換1 線性空間2 線性變換及其矩陣表示3 內(nèi)積空間什么是空間？ 空間是近代數(shù)學(xué)中的一個(gè)抽象概念，一般稱非空集合為空間什么是線性空間？ 線性空間是現(xiàn)實(shí)中的平面和空間的抽象推廣，是滿足一定線性運(yùn)算的空間從兩方面研究空間特性代數(shù)特性幾何特性問題question問題question

2、1 線性空間1 線性空間數(shù)域的定義定義設(shè) F 是一個(gè)數(shù)集，且 0，1 F ，若對(duì) F 中任意元素a，b，有則稱 F 為數(shù)域 .簡(jiǎn)單講：數(shù)域就是有加、減、乘、除運(yùn)算， 且對(duì)這四種運(yùn)算封閉的非空集合實(shí)數(shù)集 ，復(fù)數(shù)集 為數(shù)域 .1 線性空間線性空間的定義定義設(shè) F 是一個(gè)數(shù)集，V 是一非空集合.對(duì)任意的 ，定義加法運(yùn)算 + ：對(duì)任意的 ，定義數(shù)乘運(yùn)算 ：若加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下性質(zhì)：1 線性空間(交換律） 有 ；(結(jié)合律) 有 ；(零元) ，使得對(duì)任意的 有 ；(負(fù)元) ， 使得 記為1 線性空間(分配律） 有(分配律) 有(結(jié)合律) ，使得 有 有則稱 為數(shù)域 上的線性空間(向量空間)，記為注

3、： 中的元 稱為向量.稱為實(shí)線性空間 稱為復(fù)線性空間1 線性空間常見線性空間實(shí)線性空間.例 1例 2實(shí)線性空間( F = ).復(fù)線性空間( F = ).例 3記 Pn(t) 表示所有次數(shù)不超過 n 的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，按通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式運(yùn)算，Pn(t) 構(gòu)成實(shí)線性空間.1 線性空間常見線性空間記例 4按通常的矩陣加法和數(shù)乘矩陣運(yùn)算， 構(gòu)成實(shí)線性空間，稱為實(shí)矩陣空間.同理可定義復(fù)矩陣空間問是否構(gòu)成線性空間？1 線性空間線性空間的性質(zhì)設(shè)V 是線性空間 V 中的零元素唯一 負(fù)元素唯一 ，有 ，有1 線性空間線性表示定義設(shè) 是線性空間V 中的向量，若存在V 中一組向量 ，及一組數(shù) ， 使

4、得則稱向量 能被向量組 線性表示，或線性表出.1 線性空間線性相關(guān)與線性無關(guān)定義設(shè) 是線性空間V 中的一組向量，若存在一組不全為 0 的數(shù) .使得則稱向量組 線性相關(guān).若則稱向量組 線性無關(guān).1 線性空間？ 部分向量組 線性相關(guān) 向量組 線性相關(guān). 線性相關(guān) 某 是其于 個(gè)向量的線性組合. 線性無關(guān) 部分向量組也線性無關(guān).問 線性相關(guān) 部分向量組也線性相關(guān)？否！問部分向量組線性無關(guān) 全部向量組線性無關(guān)？ 單個(gè)非零向量 線性否！無關(guān)單個(gè)零向量 線性相關(guān)？1 線性空間線性空間的基與維數(shù)定義設(shè) 是線性空間V 中的線性無關(guān)向量組，若對(duì)任意的 ，存在 ， 使得則稱向量組 是V 的 基. 稱V為n維線性空

5、間.記V 的維數(shù)為dim(V ) = n. 記為V n. 如果V 中存在無窮個(gè)線性無關(guān)的向量，則稱 V 為無窮維線性空間。 本課程只研究有限維線性空間。1 線性空間定理有唯一的線性表示設(shè)是 的基，則1 線性空間結(jié)果分析記稱 為 在基 下的坐標(biāo)(向量) 則 ，有按矩陣乘法運(yùn)算法則1 線性空間滿足：若則稱 與 同構(gòu)，記為 因此存在 的 的映射：它們有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)1 線性空間例 5取 的一個(gè)基 ，求 在基 下的坐標(biāo). 在 下的坐標(biāo)為 1 線性空間變換矩陣問題question是 的兩個(gè)基，這兩個(gè)基之間有什么關(guān)系？稱 為基 到 的變換矩陣(過渡矩陣) 定義設(shè) , 記 ，則有 1 線性空間重要性質(zhì)：基

6、到基 的變換矩陣 是滿秩 矩陣推論：設(shè)基 到基 的變換矩陣為 ， 則 到 的變換矩陣為 設(shè) 是基 到 的變換矩陣，即有 = P在兩個(gè)基下有 =x =y 坐標(biāo)變換公式1 線性空間例 6已知 的兩個(gè)基是：試求1 到 2 的變換矩陣 .1 , 21 線性空間例 7試求1 到 2的變換矩陣 ；及 在基1 ， 2下的坐標(biāo).取 的兩個(gè)基 1 ， 21 線性空間子空間定義 設(shè)V 為線性空間， 是V 的子集,如果W 中的元按V 中的運(yùn)算也構(gòu)成線性空間，則稱 W 為V 的線性子空間(簡(jiǎn)稱子空間)，記為易知,稱 為平凡子空間問 單個(gè)零向量線性相關(guān) 不含線性無關(guān)向量有1 線性空間例 8 給定 ，且 .令 稱(A)為

7、A 的零空間. 稱(A) 為A 的列空間. dim(A) =rankA = rdim(A) = n - rankA = n - r1 線性空間張成的子空間例 9 設(shè) 是線性空間V 的一向量 組，記 則 是V 的子空間，稱為由 張成的子空間. 1 線性空間 設(shè)則 設(shè)是子空間W 的基，則(A)1 線性空間基擴(kuò)張定理定理設(shè) 是V n 中一組線性無關(guān)向量，則存在V n中 個(gè)向量 ，使得 構(gòu)成V n的基. 1 線性空間子空間的交及和空間定義設(shè) ，令稱 為 與 的交，稱 為 與 的和.1 線性空間易知： 都是 的子空間，分別稱為 與 的交空間及和空間. 設(shè),則 的交與集合運(yùn)算中的“交”相同，而的和與集合運(yùn)算中的“并”不相同.1 線性空間例 10 中的和空間與交空間：且則設(shè) 是 中不平行的兩個(gè)平面平面 與 的交線問對(duì)一般的V n是否有？1 線性空間維數(shù)公式定理設(shè) 是線性空間V n的子空間，則有例 11 設(shè) 的兩個(gè)子空間： 求 及 的基和維數(shù).1 線性空間但表示法可能不唯一.有 也可表為則 可表為例 設(shè)1 線性空間子空間的直和定義若 只有唯一分解式則稱 為 的 直和，記為問在什么條件下？1 線性空間定理 下列條件等價(jià)