高二數(shù)學教案：棱柱與棱錐

1、10/10高二數(shù)學教案：棱柱與棱錐【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學必修系列：9.9棱柱與棱錐(備課資料)一、對幾種棱柱的理解1.斜棱柱的底面可以是正多邊形,此時側(cè)棱不垂直于底面,所以它不是直棱柱.2.直棱柱的底面可以是正多邊形,所以正棱柱是直棱柱的特例.3.在斜棱柱的側(cè)面中,有的可以是矩形,如果棱柱有兩個相鄰的側(cè)面都是矩形,那么它們的公共側(cè)棱垂直于底面.此棱柱一定為直棱柱.二、對于四棱柱中關系的理解三、參考例題例1在直平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AD=3,A1A=4,AB=5,DAB=60,那么這個直平行六面體的對角線AC1與BD1的長分別是A. 和 B. 和C. 和 D. 和分析：將空間

2、問題平面化的思想應用到解題中,再結合平面幾何中的勾股定理、余弦定理使問題獲解.解析：AD=3,AB=5,DAB=60 ,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos60.BD= .而BD12=AA12+BD2,BD1= .同理可求得AC1= .答案：A例2用一個過四棱柱底面一邊的平面截正四棱柱,截面是A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般平行四邊形分析：充分利用正四棱柱的性質(zhì)以及線線、線面、面面之間的平行、垂直關系的性質(zhì)、判定定理.解析：正四棱柱ABCDA1B1C1D1,過棱AB的平面ABEF交對面CDD1C1于點E、F.平面ABB1A1平面CDD1C1,ABEF.AB平面BCC1B1

3、,且BE 平面BC1,ABBE.ABEF是矩形.答案：B評述：靈活地將正四棱柱性質(zhì)應用于解題中,可使問題變得簡單易求.例3四棱柱ABCDABCD的底面ABCD是菱形,且AB=AD,求證：(1)對角面AACC截面A(2)對角面DDBB是矩形.分析：(1)中通過尋求線面垂直去實現(xiàn)面面垂直.(2)中依據(jù)矩形的判定方法證得.證明：(1)連結AC與BD交于點O,連結AO.AB=AD,AOBD.底面ABCD是菱形,ACBD.BD平面AACC.又BD 平面ADB,對角面AACC截面ABD.(2)由(1)知BDAA且AABB,BDBB.對角面DDBB是矩形.評述：此題是以正棱柱為載體考查了空間線線、面面、線面

4、等問題,需對四棱柱的有關性質(zhì)熟練掌握,否那么思維受阻,無法繼續(xù)做下去.四、參考練習題在長方體AC1中,CC1=15,CD=20,求線段B1D和BC之間的距離.解：連結AB1、DC1,BC平面AB1C1D.BC與B1D之間的距離轉(zhuǎn)化成了BC與平面AB1C1D之間的距離.又平面BB1A平面AB1C1D,過點B作BHAB1于點H,BH平面AB1C1D.BH的長為所求距離.在RtAB1B中,有BH= =12,B1D和BC間的距離為12.注意：在多面體中,利用線線關系、線面關系,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,最終化為解三角形問題,是立體幾何中的常用技巧.備課資料一、教學中應重視平面圖形立體化思想平面圖形立體

5、化與立體圖形平面化是兩個相反的過程,也是互逆的思想.在平面圖形立體化過程中,應要求學生認清平面圖形中各條件的相互關系及其本質(zhì),并且在將一個平面圖形折疊或剪拼成立體圖形后,能分清條件中哪些變化了,哪些未發(fā)生變化,而這些未發(fā)生變化的條件都是分析和解決問題的重要依據(jù),試舉兩例.例1下列圖是正方體的一個展開圖,當用它合成原來的正方體時,與邊P重合的邊是哪一條?分析：此題可先將正方體合成,問題很快得到解決,假設只考慮邊的重合,會更快地得出結論.解：首先有L和K重合,其次有I和J重合,那么P與H重合.例2如圖,在正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2及G2G3的中點,D是EF的中點,現(xiàn)在沿SE、SF

6、及EF把這個正方形折成一個由四個三角形圍成的幾何體(以后要學習的四面體),使G1、G2、G3三點重合,重合后的點記為G,那么在這個幾何體中必有A.SGEFG所在平面B.SDEFG所在平面C.GFSEF所在平面D.GDSEF所在平面分析：題目中的SG1G1E,EG2G2F,FG3G3S,這些條件在折疊后仍然不變,應從這一點入手解決此問題.解析：SG1G2G3是一個正方形,SG1G1E,EG2G2F,FG3G3S.折疊后的幾何體中一定有SGGE,且SGGF,即SGEFG所在平面.答案：A評述：這道題貌似涉及幾何體(四面體)的概念,實那么主要用來穩(wěn)固直線和平面垂直的判定定理,培養(yǎng)學生的空間想象力.二

7、、平行六面體性質(zhì)的應用舉例例3直平行六面體的側(cè)棱長為100 cm,底面兩鄰邊的長分別是23 cm和11 cm,底面的兩條對角線的比是23,求它的兩個對角面的面積分別是多少?分析：直平行六面體的對角面是矩形,此題關鍵是求出底面兩條對角線的長,可應用方程思想解之.解：AC1是直平行六面體,故它的兩個對角面都是矩形,其側(cè)棱AA1就是矩形的高.由題意,得AB=23 cm,AD=11 cm,AA1=100 cm.BDAC=23,設BD=2x,AC=3x,在平行四邊形ABCD中,BD2+AC2=2(AB2+AD2),即(2x)2+(3x)2=(232+112)2.x=10.BD=2x=20,AC=3x=3

8、0.SBDD1B1=BDBB1=20190=2019 (cm2),SACC1A1=ACAA1=30100=3000 (cm2).它的兩個對角面的面積分別是2019 cm2、3000 cm2.評述：在立體幾何的運算中,要注意方程思想的應用,適當?shù)剡x取未知數(shù),找出等量關系.對于平行四邊形對角線的性質(zhì),不僅其本身作用較大,而且可以推廣到空間,即平行六面體各棱的平方和等于對角線的平方和.備課資料一、教學中整體思想解題的應用例1長方體的全面積為11 ,十二條棱長度之和是24 ,求這個長方體的一條對角 線長.分析：要求長方體對角線的長 ,只要求長方體的一個頂點上的三條棱的長即可.解：設此長方體的長、寬、高

9、分別是x、y、z,對角線長為l,依題意,得由,得x+y+z=6,從而由長方體對角線性質(zhì),得l= =5.長方體一條對角線的長為5.評述：此題考查長方體的有關概念和計算 ,以及代數(shù)式的恒等變形能力.在求解過程中 ,并不需要把x、y、z單個都求出來 ,而要由方程組的從整體上導出x2+y2+z2.這就是數(shù)學中常用的一種技巧 ,給我們比擬靈活的感覺.例2直平行六面體的底面是菱形 ,過不相鄰兩對側(cè)棱的截面的面積是Q1和Q2 ,求它的側(cè)面積.分析：由直棱柱的對角面面積求出底面邊長或周長以及側(cè)棱長 ,從而到達求出側(cè)面積的目的.解：設直平行六面體AC1的底面邊長為a,側(cè)棱長為l.AC1是直平行六面體,對角面AC

10、C1A1和BB1D1D是矩形.Q1=lAC,Q2=lBD.AC= ,BD= .底面ABCD是菱形,AC2+BD2=4a2,即( )2+( )2=4a2.l2a2= (Q12+Q22),al= .S側(cè)=4al=2 .評述：以上例題同樣采用了整體求法的手段 ,即沒有單獨去求a和l的值 ,而是求出a和l之積 ,從而簡化了解題過程.二、求棱柱側(cè)面積的方法的應用例3斜三棱柱ABCA1B1C1中 ,底面是邊長為a的正三角形 ,側(cè)棱長為b,AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成45角 ,求棱柱的側(cè)面積.解法一：如圖作A1O面ABC于點O ,AA1與AB、AC都成45角 ,AO是BAC的平分線.又ABC為正三角形

11、,AOBC.由三垂線定理可知AA1BC ,又AA1BB1CC1 ,四邊形BB1C1C為矩形,S側(cè)=2absin45+ab=( +1)ab.解法二：作BMAA1于點M ,連結CM ,可證得BMACMA ,CMAA1.又BMC是棱柱的直截面,MAB=MAC=45,CM=BM= a.C直截面= a+ a+a=( +1)a.S側(cè)=( +1)ab.評述：解法一是采用求各側(cè)面面積之和來求側(cè)面積的;解法二是先作棱柱的直截面 ,利用直截面周長與側(cè)棱長之積求得側(cè)面積.例4斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中 ,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,A1到A、B、C三點距離相等 ,AA1=13 cm,求這

12、個斜三棱柱的全面積.解：如圖 ,在側(cè)面A1ABB1中作A1DAB于點D ,由A1A=A1B,D是AB的中點 ,那么A1D2=A1A2-AD2=132-52.A1D=12 cm.SA1ABB1=SA1ACC1=A1DAB=120 cm2.取BC的中點E ,連結A1E、AE.由A1B=A1C ,AB=AC,得A1EBC ,AEBC.BC平面A1AE.BCA1A.又A1AB1B ,BCB1B.側(cè)面BB1C1C是矩形.SBB1C1C=BB1BC=1312=156 (cm2).S側(cè)=2SA1ABB1+SBB1C1C=2120+156=396 (cm2).而AE= =8 (cm),S底= BCAE= 12

13、8=48 (cm),S全=S側(cè)+2S底=396+248=492 (cm2).例5斜三棱柱ABCA1B1C1中 ,側(cè)棱AA1=20 cm,平面B1A1AB與平面A1C1CA所成的二面角為120 ,AA1與BB1、CC1的距離分別為16 cm、24 cm,求此三棱柱的側(cè)面積.分析：求斜棱柱的側(cè)面積可求各側(cè)面面積之和 ,也可以求它的截面周長C與側(cè)棱長l的乘積.解法一：在AA1上取一點E ,過E在平面AA1B1B作中GEAA1,交BB1于點G ,過E點在平面AA1C1C中作EFAA1 ,交C1C于點F ,那么GEF為二面角的平面角 ,所以GEF=120.又AA1平面GEF ,由棱柱的性質(zhì),可得AA1B

14、1BC1C ,BB1平面GEF.又GF 平面GEF ,BB1GF.由題意,知GE=16 cm,EF=24 cm.GEF=120,在GEF中 ,GF=8 cm,又S A1ABB1=AA1GE=2019=320 (cm2),S A1ACC1=AA1EF=2024=480 (cm2),S B1BCC1=BB1GF=208 =160 (cm2),S斜棱柱側(cè)=S A1ABB1+S A1ACC1+S B1BCC1=320+480+160 =160(5+ )(cm2).解法二：在側(cè)棱A1A上取一點E ,過E作AA1的垂面分別交BB1、CC1于點G、F ,連結FG ,那么平面EFG為斜三棱柱ABCA1B1C1

15、的直截面.由題意AA1面EFG,AA1EG ,AA1EF.GEF為二面角的平面角.GEF=120,又GE=16 cm,EF=24 cm,在EFG中 ,由余弦定理得FG=8 cm.單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇幅可長可短,并要求運用積累的成語、名言警句等,定期檢查點評,選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學的材料,又鍛煉了學生的寫作能力,同時還培養(yǎng)了學生的觀察能力、思維能力等等,到達“一石多鳥的效果。S側(cè)=lC=20(16+24+8 )家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境 ,為了與家長配合做好幼兒閱讀訓練工作 ,孩子一入園就召開家長會 ,給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長 ,要求孩子回家向家長朗誦兒歌 ,表演故事。我和家長共同配合 ,一道訓練 ,幼兒的閱讀能力提高很快。=160(5+ ) (cm2).要練說 ,得練聽。聽是說的前提 ,聽得準確 ,才有條件正確模仿 ,才能不斷地掌握高一級水平的語言。我在教學中 ,注意聽說結合 ,訓練幼兒聽的能力 ,課堂上 ,我特別重視教師的語言 ,我對幼兒說話 ,注意聲音清楚 ,上下起伏 ,抑揚有致