從概率分布函數(shù)的抽樣ppt課件

1、Monte Carlo模擬第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)3.5 舍選抽樣法(acceptance-rejection sampling).3.5 舍選抽樣法acceptance-rejection sampling)直接抽樣法的困難：許多隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)無法用解析函數(shù)給出;有些隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)的反函數(shù)不存在或難以求出；即使反函數(shù)存在，但計(jì)算困難舍選抽樣法(von Neumann)：抽取隨機(jī)變量x的一個(gè)隨機(jī)序列xi, i=1,2, 按一定的舍選規(guī)那么從中選出一個(gè)子序列，使其滿足給定的概率

2、分布.Monte Carlo模擬第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)3.5 舍選抽樣法(acceptance-rejection sampling)簡單舍選抽樣法改良的舍選抽樣法典型的例子.1. 簡單舍選抽樣法舍選法抽樣步驟：產(chǎn)生a, b區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)x: x = (b-a)r1+a, r1 U0, 1;產(chǎn)生0,c區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)y: y = cr2, r2 U0,1;當(dāng)y f(x)時(shí)，接受x為所需的隨機(jī)數(shù)，否那么，前往到第一步重新抽取一對(x,y).Von Neumann rejecti

3、on method or Hit-and-miss method設(shè)隨機(jī)變量x的取值區(qū)間為xa,b, 其概率密度函數(shù)f(x)有界，即抽取r1,r2 U0,1x = a + (b-a)r1y = cr2y f(x)X = x.1. 簡單舍選抽樣法abxf(x)c幾何解釋:在二維圖上，隨機(jī)選取位于矩形abef內(nèi)的點(diǎn)x,y；選取位于曲線f(x)下的那些點(diǎn)，那么這些點(diǎn)將服從概率密度為f(x)的分布ef.1. 簡單舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機(jī)數(shù)d的概率：abxf(x)cefx和y的概率密度函數(shù)分別為結(jié)合概率密度函數(shù)為即d的概率函數(shù)為f(x)d.1. 簡單舍選抽樣法抽樣效率:對舍選抽樣法：欲產(chǎn)生m

4、個(gè)隨機(jī)變量x的值需產(chǎn)生n對(x,y)，顯然，m n假設(shè)選出某特定分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)平均地需求n個(gè)隨機(jī)數(shù)r1 U0, 1，那么抽樣效率定義為abxf(x)cefd.Monte Carlo模擬第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)3.5 舍選抽樣法(acceptance-rejection sampling)簡單舍選抽樣法改良的舍選抽樣法典型的例子.2. 改良的舍選抽樣法改良的舍選抽樣法簡單舍選抽樣法的問題：假設(shè)f(x)曲線下的面積占矩形面積的比例很小，那么抽樣效率很低，這是由于隨機(jī)數(shù)x和y是在區(qū)間a, b和0

5、, c內(nèi)均勻分布，所產(chǎn)生的大部分投點(diǎn)不會(huì)落在f(x)曲線下xcf(x)改良方法：構(gòu)造一個(gè)新的概率密度函數(shù)g(x)，使它的外形接近f(x), 且有式中Cg為常數(shù)，而g(x)的抽樣相對比較容易。Cgg(x).2. 改良的舍選抽樣法抽樣方法：1. 產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生分布為g(x) 的隨機(jī)數(shù)x ，xa,b;產(chǎn)生0, Cgg(x) 區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)y，y= Cgg (x) , U0,1.2. 接納或舍棄取樣值 x.假設(shè) y f(x)，舍棄，前往到1,反復(fù)上述過程;否那么，接受;.2. 改良的舍選抽樣法幾何解釋:在二維圖上，隨機(jī)選取位于曲線Cgg(x)下的點(diǎn)x,y；選取位于曲線f(x)下的那些點(diǎn)，那

6、么這些點(diǎn)將服從概率密度為f(x)的分布xcf(x)Cgg(x).2. 改良的舍選抽樣法證明:按舍選抽樣法抽出的隨機(jī)數(shù)d的概率：dx和y的概率密度函數(shù)分別為結(jié)合概率密度函數(shù)為即d的概率函數(shù)為f(x)xcf(x)Cgg(x).2. 改良的舍選抽樣法抽樣效率:xcf(x)Cgg(x)常數(shù)Cg的選取常數(shù)Cg應(yīng)盡能夠地小,由于抽樣效率與Cg成反比;Cg=maxf(x)/g(x), x a,b.Monte Carlo模擬第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions)3.5 舍選抽樣法(acceptance-rejection

7、 sampling)簡單舍選抽樣法改良的舍選抽樣法典型的例子.3. 典型的例子例1:規(guī)范正態(tài)分布的抽樣,x-a,a無法用直接抽樣法,累積分布函數(shù)無解析表達(dá)式Breit-wigner or Cauchy分布.3. 典型的例子由g(x)抽取x 直接抽樣法抽取u計(jì)算f(x), 假設(shè)u= f(x), 接受x.3. 典型的例子float gaussian_reject(double a) const float c = 1.52; while(true) float eta = randac(); float x = tan(eta * 2.0 * atan(a)+atan(-a); float q =

8、 c * 1/3.1415926*1.0/(1+x*x); float ksi = randac(); float u = ksi*q; float p = 1/sqrt(2*3.1415926)*exp(-x*x/2.0); if(u Divide(1,2); TH1F * h1 = new TH1F(h1,h1,100,-5.0,5.0); for(int i=0; i Fill(x); c1-cd(2);h1-Draw();.3. 典型的例子.3. 典型的例子.3. 典型的例子AB/2例2：利用舍選法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)C=cos, S=sin,其中為0, 2區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)方法1：先產(chǎn)生0, 2間均勻分布的隨機(jī)數(shù)： = 2 r， rU0,1, 然后直接計(jì)算C和S 因需求計(jì)算三角函數(shù)，故此方法運(yùn)算速度慢方法2：利用舍選法可防止三角函數(shù)運(yùn)算令A(yù)和B為單位圓內(nèi)直角三角形的兩個(gè)邊，那么有.3. 典型的例子因此，只需產(chǎn)生單位圓內(nèi)