3.1.4概率的加法公式 (2)

1、3.1.4 概率的加法公式凌源市第一高級(jí)中學(xué)授課教師：戴天羽 溫故知新頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了m次，則事 件A發(fā)生的頻率為_，將頻率近似的 看成概率，則事件A發(fā)生的概率為_. 預(yù)習(xí)初探導(dǎo)引 拋擲一枚骰子一次，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè) 事件A=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”， 事件B=“點(diǎn)數(shù)為2”，問(wèn)題1：事件A和事件B能不能同時(shí)發(fā)生？問(wèn)題2：事件A和事件B這兩個(gè)事件叫做什么事件？答：互斥事件問(wèn)題3：怎樣定義互斥事件？互：相互 ；斥：排斥你還能舉出一些生活其他例子嗎？定義2(等價(jià)定義)：事件 定義互斥事件在同一試驗(yàn)中,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件 (或稱為互不相容事件).事件A，B含有的基本事件組

2、成的集合分別為A，B. 若AB=，則稱事件A，B為互斥事件.集合角度理解ABU圖形表示 預(yù)習(xí)初探 2、從19這九個(gè)數(shù)字中任意取兩個(gè)數(shù),分別有下列事件: 恰有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù); 至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù); 至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù); 至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù). 以上事件中是互斥事件的是() A. B. C. D. C初 體 驗(yàn)答：是互斥事件1、把紅、黑、藍(lán)、白4張紙隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁 4個(gè)人，每人分得1張，事件A=“甲分得紅牌”與事件 B=“乙分得紅牌”是不是互斥事件？導(dǎo)引 拋擲一枚骰子一次，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè) 事件A=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”， 事件B=“點(diǎn)數(shù)

3、為2”， 事件C=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”。深入探索問(wèn)題4：事件C是不是隨機(jī)事件，若把A、B、C都看作集合， 則事件C與事件A、B有怎樣的關(guān)系？答：事件C也是隨機(jī)事件。 若事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā) 生，則A、B中至少有一個(gè)發(fā)生，所以從集合的觀點(diǎn)可 以看出集合C是集合A、B的并集。 定義事件A與B的并（和）CAB 至少有一個(gè)發(fā)生 A，B都發(fā)生 一般地，由事件A和B _ (即A發(fā)生，或B發(fā)生或 )所構(gòu)成的事件C，稱為事件A與B的并(或和)，記作_. 集合角 度理解事件AB是由事件A或B所包含的基本事件組成的集合.圖形表示如圖中陰影部分所表示的就是AB.深入探索導(dǎo)引 拋擲一枚骰子

4、一次，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè) (1)事件A=“點(diǎn)數(shù)為2”,事件B=“點(diǎn)數(shù)為3” (2)事件A=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,事件B=“點(diǎn)數(shù)為4” (3)事件A=“點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”,事件B=“點(diǎn)數(shù)超過(guò)3” (4)事件A=“點(diǎn)數(shù)為5”,事件B=“點(diǎn)數(shù)超過(guò)3” 事件A B發(fā)生的意義:事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生。當(dāng)A與B互斥時(shí),A B事件指“A發(fā)生B不發(fā)生”和“A不發(fā)生B發(fā)生”。（1） 是，AB = “點(diǎn)數(shù)為2或3”;上面的事件A與事件B是互斥事件嗎？寫出每組事件的并.（2） 是，AB = “點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)或4”; （3） 是， AB =“點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3或點(diǎn)數(shù)超過(guò)3”,即事件全體;（4） 不是，AB =“點(diǎn)數(shù)超過(guò)3”即事件

5、B.【嘗試解答】再 體 驗(yàn)對(duì)導(dǎo)引中（1） 、（2） 、 （3） 中每一對(duì)事件,完成下表導(dǎo)引 拋擲一枚骰子一次，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè) (1)事件A=“點(diǎn)數(shù)為2”,事件B=“點(diǎn)數(shù)為3” (2)事件A=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,事件B=“點(diǎn)數(shù)為4” (3)事件A=“點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”,事件B=“點(diǎn)數(shù)超過(guò)3” (1)(2)(3)P(A)P(B)P(A)+P(B)P(AB)1/61/61/31/31/21/62/32/31/21/211問(wèn)題6 同時(shí)根據(jù)你的結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)兩個(gè)事件概率的和與兩個(gè)事件的并的概率有什么樣大小關(guān)系?P(A B)=P(A)+P(B)解疑研討發(fā)現(xiàn)（1） AB = “點(diǎn)數(shù)為2或3”（2） AB = “點(diǎn)

6、數(shù)為奇數(shù)或4” （3） AB =“點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3或點(diǎn)數(shù)超過(guò)3”,即事件全體P(A)P(B)P(A)+P(B)P(AB)1/22/31/21/6P(A)+P(B) P(AB)問(wèn)題7 導(dǎo)引中的(4)P(A)+P(B)與P(AB)適合以上的結(jié)論嗎? 你能說(shuō)出原因嗎？事件A、B不互斥導(dǎo)引 拋擲一枚骰子一次，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè) (4)事件A=“點(diǎn)數(shù)為5”,事件B=“點(diǎn)數(shù)超過(guò)3” 對(duì)導(dǎo)引中（4） 的事件,完成下表（4） AB =“點(diǎn)數(shù)為5或點(diǎn)數(shù)超過(guò)3”即事件B研討發(fā)現(xiàn)問(wèn)題8 嘗試總結(jié)一下什么樣的事件才滿足P(A B)=P(A)+P(B)？在一個(gè)隨機(jī)事試驗(yàn)中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么P(A B)=P

7、(A)+P(B)【嘗試解疑】抽象概括假定A、B為互斥事件,在n次試驗(yàn)中, 事件A出現(xiàn)的頻數(shù)為n1,事件B出現(xiàn)的頻數(shù)為n2。事件AB出現(xiàn)的頻數(shù)正好是n1n2 由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知, P(AB)P(A)P(B).如果用n (A)表示在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率,則有n (AB)n (A)n (B)理論證明問(wèn)題9 一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那 么事件A1 A2 An發(fā)生（即A1, A2，An 中至少有一個(gè)發(fā)生）的概率，與這n個(gè)事件分別生 的概率和之間的大小關(guān)系？P（A1 A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)互斥事件的概率加法公式猜想拓展例1 （1）P(A)=0.1，P(B

8、)=0.2，則P(A B)=（ ） A、0.3 B、0.2 C、0.1 D、不確定 （2）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是 0.5 ， 乙獲勝的概率是 0.31，則乙不輸?shù)母怕适?D解答 0.81微 體 驗(yàn)微 體 驗(yàn)例2 在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是0.18， 在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15， 在6069分的概率是0.09，計(jì)算小明在數(shù)學(xué)考試中取 得80 分以上的成績(jī)的概率和小明及格的概率解:根據(jù)題意，小明的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诮o出的四個(gè)范圍內(nèi)的事件 是互斥的，記B“考試成績(jī)?cè)?0分以上”， C“考試成績(jī)?cè)?089分”，D“考試成績(jī)?cè)?079分”， E“考

9、試成績(jī)?cè)?069分”，A“考試成績(jī)?cè)?0分以上”由互斥事件的概率加法公式可知P(A)P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.由互斥事件的概率加法公式應(yīng)有 P(F)P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E) 0.180.510.150.090.93.(3)P(A)P(B)P(A)+P(B)P(AB)1/21/211問(wèn)題10 在導(dǎo)引（3）中，則事件A與事件B能不能同 時(shí)發(fā)生，或者都不發(fā)生？為什么？導(dǎo)引 拋擲一枚骰子一次，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè) (3)事件A=“點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”,事件B=“點(diǎn)數(shù)超過(guò)3” 事件A與事件B是互斥事件，所以不可能同時(shí)發(fā)生，擲一次骰子的點(diǎn)數(shù)要么超過(guò)3，要么不超過(guò)3，

10、事件A與事件B中必有一個(gè)發(fā)生。在(3)中,我們發(fā)現(xiàn)有P(A B)=P(A)+P(B)=1事件A和B互斥,概率為1,說(shuō)明事件A B必然事件,即A和B中必有一個(gè)發(fā)生.【嘗試解疑】研討發(fā)現(xiàn)問(wèn)題11 我們把問(wèn)題10中的事件A、B稱為對(duì)立事件， 根據(jù)你的理解，你能否給對(duì)立事件下個(gè)定義？定義對(duì)立事件 集合角 度理解不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做對(duì)立事件。事件A的對(duì)立事件記為事件A圖形表示如圖中陰影部分所表示的就是A與 的關(guān)系延伸探究事件A =，A 是基本事件空間若事件A的對(duì)立事件為 ，則 ，下面我們共同證明這個(gè)公式。=1-P(A)延伸探究即 =1-P(A)例3 判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥

11、事件， 是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由.從40張撲克牌 （紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從110各10張） 中，任取一張， ()“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； ()“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； ()“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn) 數(shù)大于9”. ()是互斥事件，不是對(duì)立事件； ()既是互斥事件，又是對(duì)立事件； ()不是互斥事件，當(dāng)然不是對(duì)立事件.【嘗試解答】微 體 驗(yàn)例4 判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)（1）互斥事件一定對(duì)立。（ ）（2）對(duì)立事件一定互斥。（ ）（3）互斥事件不一定對(duì)立。（ ）（4）事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率。（ ）（5）事件A與B互斥，則有P(A)=1

12、-P(B)。（ ）（6）若P(A)+P(B)=1,則事件A與事件B一定是對(duì)立事件。（ ）總結(jié)：(1)互斥不一定對(duì)立.,對(duì)立一定互斥。 (2)A與B對(duì)立，概率和為1； 概率和為1，A、B不一定對(duì)立。 微 體 驗(yàn)微 體 驗(yàn)例5 某戰(zhàn)士射擊一次，問(wèn)： (1)若事件A=“中靶”的概率為0.95，則 的概率為多少？ (2)若事件B=“中靶環(huán)數(shù)大于5”的概率為0.7，那么事件 C=“中靶環(huán)數(shù)小于6”的概率為多少？ (3)事件D=“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6”的概率是多少？ 解 (1)因?yàn)槭录嗀與 互為對(duì)立事件， P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05;(2)事件B與事件C也是互為對(duì)立事件，所以 P(C

13、)=1-P(B)=0.3;(3)事件D的概率應(yīng)等于中靶環(huán)數(shù)小于6的概率減去未中 靶的概率，即P(D)=P(C)-P( )=0.3-0.05=0.25. 1從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球， 那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是() A至少有1個(gè)黑球與都是黑球 B至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球 C恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球 D至少有1個(gè)黑球與都是紅球當(dāng)堂評(píng)價(jià)2.一商店有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)中有一等獎(jiǎng)與二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng) 項(xiàng)，其中中一等獎(jiǎng)的概率為0.1，中二等獎(jiǎng)的概率 為0.25，則不中獎(jiǎng)的概率為_.3A、B為互斥事件，P(A)0.3， P(AB)0.6，則P(B)_.排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.1

14、0.160.30.30.10.044、據(jù)統(tǒng)計(jì)，某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng) 概率如下表：當(dāng)堂評(píng)價(jià)答案 1、C; 2、0.65; 3、0.3； 4、（1）0.56；（2）0.742、【解析】中獎(jiǎng)的概率為0.10.250.35，中獎(jiǎng)與 不中獎(jiǎng)互為對(duì)立事件，所以不中獎(jiǎng)的概 率為10.350.65.3、【解析】 由互斥事件的概率加法公式知 P(B)P(AB)P(A)0.60.30.3.當(dāng)堂評(píng)價(jià)1、解析當(dāng)“兩個(gè)球都是黑球”發(fā)生時(shí)，事件A“至少有一個(gè)黑球”也同時(shí)發(fā)生；當(dāng)B“恰有一個(gè)紅球、一個(gè)黑球”發(fā)生時(shí)，“至少有一個(gè)紅球”與A都發(fā)生了；A發(fā)生時(shí)，“都是紅球”不發(fā)生；A不發(fā)生時(shí)，“都是紅球”發(fā)生；“恰有

15、一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，當(dāng)“都是紅球”發(fā)生時(shí)，它們都不發(fā)生故選C.記在窗口等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A， B，C，則A, B，C 兩兩互斥(1) 至多2人排隊(duì)等候的概率是 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.【自主解答】(2) 至少2人排隊(duì)等候的反面是“等候人數(shù)為 0或1”，而等候人數(shù)為0或1的概率為 P(AB)P(A)P(B)0.10.160.26， 故至少2人排隊(duì)等候的概率為10.260.74.當(dāng)堂評(píng)價(jià)教師總結(jié)1、互斥事件與對(duì)立事件判定（1）利用基本概念： 互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生； 對(duì)立事件首先是互斥事件，且必須有一個(gè)要發(fā)生。（2）利用

16、集合的觀點(diǎn)來(lái)判斷： 設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A、B。 事件A與B互斥。即集合AB=; 事件A與B對(duì)立，即集合AB=，且AB=I（全集）。2、運(yùn)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí)，首先要分清事件 之間是否互斥，同時(shí)要學(xué)會(huì)把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)互斥 事件，做到不重不漏，分別求出各個(gè)事件的概率然后用 加法公式求出結(jié)果。3、求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將求事件轉(zhuǎn)化 成彼此互斥的事件的并（和）；二是先求其對(duì)立事件的 概率，然后再運(yùn)用對(duì)立事件公式求解。請(qǐng)同學(xué)們自己總結(jié)一下這節(jié)課合作探究學(xué)習(xí)的知識(shí)課堂小節(jié)作業(yè)：（1）P100 練習(xí)和習(xí)題 （2）課后評(píng)價(jià)1、某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記

17、 事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)”， 事件C為“至多訂一種報(bào)”，事件D為“不訂甲報(bào)”， 事件E為“一種報(bào)紙也不訂” 判斷下列各對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷 它們是不是對(duì)立事件： (1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.課后評(píng)價(jià)解析 (1)由于事件C“至多訂一種報(bào)”中有可能只訂甲報(bào)，即 事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件 (2)事件B“至少訂一種報(bào)”與事件E“一種報(bào)也不訂”是不可 能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件由于事件B發(fā)生可導(dǎo) 致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事件B一定不發(fā) 生，故B與E還是對(duì)立事件 (3)事件B“至少

18、訂一種報(bào)”中可能只訂乙報(bào)，即有可能不甲 報(bào)，也就是說(shuō)事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生， 故B與D不 互斥(4)事件B“至少訂一種報(bào)”中有這些可能：“只訂甲報(bào)”、 “只訂乙報(bào)”、“訂甲、乙兩種報(bào)”事件C“至多訂一種 報(bào)”中有這些可能：“什么也不訂”、“只訂甲報(bào)”、“只 訂乙報(bào)”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件 (5)由(4)的分析，事件E“一種報(bào)紙也不訂”只是事件C的一種 可能，事件C與事件E有可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不互斥課后評(píng)價(jià)解易知A、B、C、D互斥，且EABC D，所以由互斥事件的概率加法公式， 得P(E)P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D) 0.10.30.40.10.

19、9.2、某家庭電話在家中有人時(shí)，打進(jìn)的電話， 響第1聲時(shí)被接為事件A ，其概率為0.1， 響第2聲時(shí)被接為事件B，其概率為0.3， 響第3聲時(shí)被接為事件C，其概率為0.4， 響第4聲時(shí)被接為事件D，其概率為0.1， 那么電話在響前4聲內(nèi)被接為事件E，則事件E的概率 是多少？課后評(píng)價(jià)3、某公務(wù)員去開會(huì)，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火車或乘飛機(jī)去的概率；（2）求他不乘輪船去的概率；（3）如果他乘某種交通工具去開會(huì)的概率為0.5，請(qǐng)問(wèn)他有可 能是乘何種交通工具去的？ 解：記“他乘火車去”為事件A，“他乘輪船去”為事件B， “他乘汽車去”為事件C

20、，“他乘飛機(jī)去”為事件D，這 四個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，故它們彼此互斥， （1）故P(AC)=0.4； （2）設(shè)他不乘輪船去的概率為P，則P=1P(B)=0.8； （3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火車或乘 輪船去，也有可能乘汽車或乘飛機(jī)去。課后評(píng)價(jià)4、某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán) 的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.28，計(jì)算該射手在 一次射擊中： （1）求射擊1次，至射中10環(huán)或7環(huán)的概率； （2）求射擊1次，命中不足7環(huán)的概率.(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于 在一 次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A

21、與B是互斥 事件.“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為AB. 故P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.【嘗試解答】課后評(píng)價(jià)(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)，5環(huán)，4 環(huán)， 3環(huán)，2環(huán)，1環(huán)，0環(huán)，但由于這些概率都未知，故 不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面大于 等于7環(huán)，即7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，由于此兩事件必有 一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立事件，可用對(duì)立事 件的方法處理.設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E，則事件為“射中 7 環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由(1)可知“射中7環(huán)”、“射 中 8環(huán)”等彼此是互斥事件， P0.210.230.250.280.97，從而P(E)1P()10.970.03.不夠7環(huán)的概率是0.03.課后評(píng)價(jià)年最高水位(單位：m)8,1