材料力學教材(PDF)_cl10a

1、第六節(jié)單位載荷法利用變形體虛功原理可導出計算結構一點位移的單位載荷法。設在外力作用下剛架的d點沿某一方向aa的位移為5 ,如圖10-16a所示。 為了計算5,設想在同一剛架的d點沿aa方向作用一單位力戸，如圖10-16b 所示，忽略剪切變形的影響，這時，剛架橫截面上的內力分別為Fn(x)和M(x) 將實際載荷作用下的位移看成虛位移，加在單位力作用的剛架上，于是單位力在 位移5上作外力虛功，其值為5We = 1 x5 同時，將實際載荷引起的軸向變形 d(AZ)和彎曲變形d0看作是虛變 形，則單位力產生的內力在虛變形 上作內力虛功，其值為 SWi = Fn (x)d(Al) + M(x)dd 根據

2、虛功原理式(10-19)有5 = Fn (x) d(Al) + M(x)d0對于以彎曲為主的桿件，軸力的影響可以忽略不計，于是有(10-25)(10-26)5 = M(x)d0對于軸向拉伸或壓縮的桿件5= Fn (x)d(Ai)對于桁架5 = Fn a l(10-27)i=1同理，欲求受扭桿件某一截面的扭轉角5 ,則以單位扭轉力偶作用于該截面 上，由此引起的扭矩為戸(x),于是根據虛功原理有5 = T(x)d(10-28)使用上述公式時，若求得的5為正，表示5的方向與單位力的方向相同。這d =T (x)dxGI7于是，式（10-25）、式（10-27）和式（10-28）分別為 山 M （x）M

3、 （x） dxJi EInFnFnLE.A.T (x)T (x)GI pdx(10-29)(10-30)(10-31)種計算位移的方法稱為單位載荷法，它適用于線性與非線性結構。若材料是線彈性的，則桿件的彎曲、軸向拉伸或壓縮以及扭轉變形分別為d0 =竺=M(Qdx , Ai = FNlp ElEA以上諸式稱為莫爾（Mohr）定理，式中的積分稱為莫爾積分。顯然，它們只適用 于線彈性結構。有時需要求結構上兩點的相對位移，例如圖10-17a所示的3a+3b。這時，只要在A、B兩點沿AB連線作用一對方向相反的單位力，如圖10-17b所示，然后 用單位載荷法計算，即可求得相對位移。*例10-6試求例10-

4、5中桁架B點的水平位移&廿和鉛垂位移&心 解法一：（1）在B點作用一鉛垂方向的單位力，則在單位力作用下，、桿的內力分別為FN1 = 1，F(xiàn)N2 =_近在實際載荷作用下，、桿的內力為FN1 = F , FN2 =41F、桿的軸向變形分別為F2ibF2 bA2 K2=-2近由式(10-27)可得F2 b廠r- F2 b3bv = FniA 11 + Fn2 a 1 = 1X + X 2近AK =5F 2bA2 K2（2）同理，在B點作用一水平方向的單位力，可求得BH解法二：當B點的水平位移和鉛垂位移分別為&H和況V時,、桿的應變 為5=乩（拉），勺= SBV5bh （壓）b2b根據式（10-10）

5、,兩桿的總應變能為(a)U = Abl a ds + 41Ab 2 a d sJ 0J 0將曠=Ksc和式（a）代入上式并積分得u=3KmbH + （Sbv -Sbh）3/2由卡氏第一定理有dUdBH=2K 2矚-(bv -6h )1/2 = 0dU86(c)(d)BV聯(lián)立式（c）和式（d）求解得6bh6bv5F2 bA2 K2例10-7圖10-18a所示剛架的自由端A作用集中力尸。已知剛架各段的抗彎 剛度，若不計軸力和剪力的影響，試求A點的鉛垂位移6av和B截面的轉角弘。解：（1）求A點的鉛垂位移6av在A點作用一鉛垂向下的單位力，如圖10-18b所示。則實際載荷和單位力在 剛架各段所產生的

6、內力分別為AS 段：M(xj = -FX , M(xj = X , Fn! = 0, Fn = 0方C 段：M (兀2) = -Fa , M (x?) = a , F = F,2 = 1若不考慮軸力的影響，由式(10-29)得到r(xjM (xjJo EI+ JM ( x 2)M ( x 2)J 0El 2Fa33El1Fa21+EI2l(Fa)(a)dx0當考慮軸力的影響時，有+ f Fn亞=旦+也+旦臺 EAt3E厶EI 2 EA2為 了便于比較，設厶=I2=I, Ai=A2=A, a=l, Savn = Fl W 則有亙=(FL4Fr =3 f i2SAvEA丿八 3EI ) 4Al2

7、_41L丿通常，(i/1)2是一個很小的量。例如，當橫截面是直徑為d的圓形截面、且l=10d 時，(i/1)2 = 1/1600,上述比值為獨=3 f i2 =丄V - 4 17丿-6 400顯然，與Eav相比，Eavn可以略去不計。這說明，計算抗彎構件或以彎曲變形為 主的桿系變形時，一般可略去軸力的影響。(2)求B截面的轉角弘在B截面加單位力偶，如圖10-18c所示。則有ABM (Xj) = -FX , M (Xj) = 0BC 段:M(x2) = -Fa , M(x2) = 1根據莫爾定理1 flFal% = f (-Fa) x 1dx2 =-礦EI2 J。EI2負號表示的方向與所加單位力

8、偶的方向相反。例10-8彈簧卡環(huán)在開口處受一對尸力作用，如圖10-19a所示。求卡環(huán)開口處的張開位移和相對轉角。解：略去軸力和剪力的影響，只考慮彎矩的影響。因為是薄壁圓環(huán)，橫截面高度遠小于環(huán)軸線的半徑，故可使用式(10-29)。為了求卡環(huán)開口處的張開位移和相對轉角，在A、B兩截面上分別作用一對 大小相等、方向相反的單位力和單位力偶，如圖10-19b、c所示，則有在載荷尸作用下M () = FR(1-cos0)在單位力作用下M1 () = R(1 - cos xc tan a = aMc(b)式中肪匚是雨圖中與M(x)圖形心C對應的縱坐標。因此，在等截面直桿情況 下，利用式(b),式(10-29

9、)可以寫成T M(x)M(x) dx =互(10-32)JiElEl以上對莫爾積分的簡化運算稱為圖乘法，又稱維利沙金法。圖乘法同樣適用于軸 向拉伸(壓縮)或扭轉問題，此時需將上式中的彎矩換成軸力或扭矩。在使用圖乘法時，要經常計算一些圖形的面積和形心位置。為了便于查閱， 現(xiàn)將幾種常見圖形的面積及其形心位置列于表10-1中。為了計算方便，作內力圖時使用疊加法，將彎矩圖分成幾部分，對每一部分 分別使用圖乘法。有時，M(x)圖為光滑曲線，M(x)圖為折線，這時應以轉折點在D點作用鉛垂的單位力，并作厲圖,如圖10-21c、d所示。由式(10-32),并查表10-1得2a1 qa 1 ( 3ax 2a I

10、 x II +1 x x a I x I 丿I 3丿| 32丿I 4y=E(Mci 乜瓦+Mc3) =Ei5qa4c)d) M圖10-21例題10-9圖例10-10用圖乘法求圖 角 (也為已知)。10-22a所示剛架C點的水平位移加和C截面的轉Me(= 1)另.7777-1i HlHlirrTrTTTT-r一-A 2 3 -C - C -M -Me)圖10-22例題10-10圖解：(1)作載荷引起的M圖,如圖10-22d所示。在C截面加水平單位力戸，并作厲圖,如圖10-22b、e所示。在C截面加單位力偶矩Me,并作圖，如圖10-22c、f所示。將M圖與M圖互乘,可得到1 CH =77 1MC1

11、 + 2MC 2 + 3MC3EI1 (Fl221Fl231Fl2八19F13=I X1X1X I =EI 434483 丿48EI同理，將M圖與圖互乘，可得到第八節(jié)瑞利-李茲法最小勢能原理在結構分析中的重要應用之一，是求復雜問題的近似解。這種 求近似解的方法稱為瑞利一李茲(RayleighRitz)法。如前所述，滿足邊界條件的位移有無數(shù)多組，要利用極值條件從中選取使總勢能為最小的那一組，在數(shù)學 上會遇到極大困難。為了實用起見，我們縮小極值函數(shù)的尋找范圍，在較少的可 能位移中，選出一組使總勢能為極小值的位移。當然，該組位移并不是真實位移, 但的確是參選位移中最接近真實位移的一組，因而，可作為問

12、題的近似解?，F(xiàn)將瑞利一李茲法的求解過程簡述如下：假設滿足位移邊界條件且包含個待定系數(shù)ai, a2,，a”的位移試函數(shù)。利用位移試函數(shù)表不結構的總勢能V(ai, 2,，a” )。列出總勢能的極值條件，得到”個以ai, a2,，a”為變量的代數(shù)方程,dVda1(10-33)B xI / CJq(a)(4)由上述代數(shù)方程組解出ai, a2,，a”,并代回到位移試函數(shù)中，得到結構的近似位移。通常，在解題中僅取有限項，因而所求 得的解是近似的。下面以受均布載荷作用的簡 支梁為例，說明如何使用瑞利一李茲法。例10-11圖10-23所示為一受均布載荷 作用的簡支梁，試用瑞利一李茲法確定該梁的 撓曲線方程和跨

13、中撓度yc解：(1)設位移試函數(shù)為y(x) = % x(l - x) + a2 x2 (l - x)2 + 顯然，式(a)滿足位移邊界條件y(0) = y(l) = 0 取式(a)中的第一項，求梁的總勢能將a】代入式(a)有EI-J02d2 y(x)dx 22qy(x)! dxdxa1ql224EIy(x)=ql2 x24EI(l x)梁中點撓度比為而精確解為yc =霧仝，可見，當僅取位移試函數(shù)式(a)中的第一項時,誤差為20%。 若取式(a)中的前兩項，則有 ql?a,=,124EIy(x) = X (l - x) +24EI于是qa =224EI亙(l - x)2 24EI(c)由式(c)

14、得到y(tǒng)c = 38，等于精確解。 (2)設位移試函數(shù)為/、. nx. 2nx. mnxy(x) = Q1 sm 丁 + a2 si + + am si+ .mnx am沖 式(d)滿足位移邊界條件，并且滿足錢支座處彎矩為零的靜力邊界條件8m=1(d)M (0) = M (l) = 0即 與dxx=0d2 ydx 2=0 x=l梁的總勢能為v =IEId2 y (x) =J 0 2dx2EIn48mm=1dV=。得到由此得到2dx - I qy(x)dxJ 02.mnxsinldx - am sin 罕 j dx4 Qi -叫2m。4l3am = 02ql Qm_兀 m,5 m所以4ql4(m

15、= 1,3, 5,)am =n5 m5 EI0(m = 2,4, 6,)()4ql4寸 1.mnx-r sinmlm=l,3,5 m1(e)由上式可得到問題的精確解當僅取上式第一項時,與精確解相比，誤差僅為0.39%。應當指出，瑞利一李茲法的優(yōu)越性在求解桿系問題中表現(xiàn)的并不突出，而在 求解平板、薄殼等彈性理論問題中更能充分顯示出來。第九節(jié)超靜定結構的基本解法一、超靜定結構的概念前面介紹的桁架、剛架以及連續(xù)梁，其各桿的軸線在同一平面內，外力也作 用在該平面內，這種桿系稱為平面桿系，如圖10-24所示。超靜定結構就是支座 反力或內力不能全部由平衡方程求出的結構。因此，超靜定結構可分成以下三類:e)

16、由此解得FBy5F161 3EI /(Kl3)外力超靜定結構，如圖10-24a所示。內力超靜定結構，如圖10-24b、c所示?；旌铣o定結構，如圖10-24d所示。以下主要討論平面超靜定桿系結構。二、超靜定結構的基本解法解除超靜定結構的某些約束后得到的靜定結構，稱為原超靜定結構的基本靜 定結構，又稱為靜定基。例如圖10-24e所示的靜定結構就是圖10-24a所示超靜定 結構的靜定基。在靜定基上，除了有原載荷外，還應該用相應的多余約束力代替 被解除的多余約束(多余約束是指維持結構的幾何不變而不必要的約束)。由于原 結構在多余約束處的位移為零(或已知)，因此，根據靜定基與原結構在多余約束 處的位移

17、相等的條件，稱為變形協(xié)調條件，應用卡氏第二定理(或單位載荷法)列 出如下變形協(xié)調方程dU=0(i = 1, 2,，n)(10-34)dFR其中jR為多余約束力，n為多余約束力的個數(shù)。由式(10-34)可求解出多余約束 力。下面通過例題說明超靜定結構的解法。例10-12 圖10-25a所示梁的d端 固定，B端用彈簧支承，設彈簧的剛度 系數(shù)為K,試求B端的支座反力。a)解:解除B點的約束，用 勵代替之， 得到靜定基，如圖10-25b所示。變形協(xié) 調條件為=FByyB =Kb)在靜定基上，應用卡氏第二定理計算yBM (xJ = FByX1 , 豊F 書=x1dFByM(x2) = FByX2 - F(x2 例10-13等截面薄壁圓環(huán)，半徑為人，沿直徑AB方向受一對拉力尸作用，如 圖10-26a所示。試求圓環(huán)內任意橫截面上的彎矩以及圓環(huán)沿拉力尸方向的變形。解：該結構為內力超靜定結構。(1)求任意橫截面上的彎矩沿直徑CD將圓環(huán)分割成兩部分。根據對稱性和平衡條件可知，C、D橫截面 上的內力為：軸力凡c = Fnd = F/2,彎矩Me