橢圓性質(zhì)的研究

1、PAGE PAGE 9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與研究性學(xué)習(xí)整合案例一則內(nèi)容摘要 這篇文章主要是說(shuō)明在一次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，借助于幾何畫板來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生順利的完成了觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、論證這樣幾個(gè)步驟。進(jìn)而闡述了中學(xué)的研究性學(xué)習(xí)若借助于多媒體信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅可以使教學(xué)活動(dòng)變得形象生動(dòng)，提高教學(xué)質(zhì)量，最重要的是可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正成為富有創(chuàng)新思想，具有創(chuàng)造力的人才。前言 數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生所學(xué)知識(shí)和學(xué)生的自主性、探究性學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，采用類似于科學(xué)研究的方法，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)積極發(fā)展的一種新型學(xué)習(xí)方式。旨在通過(guò)學(xué)生親身實(shí)踐獲取直接經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成科學(xué)精神和科學(xué)態(tài)度，掌握基本的科

2、學(xué)方法，提高綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 現(xiàn)在的研究性學(xué)習(xí)由于受到學(xué)生認(rèn)知能力的限制，基本采用的是教師羅列一些課題，然后，學(xué)生再根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇課題，再與選此課題的同學(xué)結(jié)成研究小組，大家一起研究。這樣的研究性學(xué)習(xí)，一般需要的時(shí)間也很長(zhǎng)，少則幾周，多則一學(xué)期。由于研究性學(xué)習(xí)的目的是讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)其自主、創(chuàng)新的精神。而中學(xué)生學(xué)習(xí)較忙，因此，教師可以充分挖掘新教材，去挖掘出“值得研究”的問(wèn)題，作為研究的課題，指導(dǎo)學(xué)生在課堂上進(jìn)行研究，這樣，在一定意義下，能更好實(shí)現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的。 數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，含有觀察、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜

3、想等實(shí)踐部分，嘗試、假說(shuō)、度量和分類是數(shù)學(xué)家常用的計(jì)巧，這些也應(yīng)是教學(xué)中必須有的。由于傳統(tǒng)教學(xué)模式是粉筆+黑板，因此，學(xué)生應(yīng)有的觀察、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想等實(shí)踐部分，就被教師滔滔不絕的講解所替代。學(xué)生呢？猶如進(jìn)電影廳看電影一樣，整個(gè)過(guò)程很順暢，但沒(méi)有機(jī)會(huì)、沒(méi)有認(rèn)真地思考過(guò)問(wèn)題，所以，當(dāng)他們遇到一些雖簡(jiǎn)單的問(wèn)題的時(shí)候，就顯得手無(wú)舉措，求助與教師。這樣的教學(xué)模式搞研究性學(xué)習(xí)顯然是不行的。要想把數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)開(kāi)展好，就必須進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，但傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)顯然不能滿足需要。因此，多媒體進(jìn)入課堂就成為必然。目前能夠提供數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的軟件比較少，但是“幾何畫板”及“立體幾何畫板”這兩個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育軟件的介入，

4、將使得傳統(tǒng)教學(xué)發(fā)生很大的變化?！皫缀萎嫲濉笆荳indows環(huán)境下的一個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)工具軟件。它提供了畫點(diǎn)、畫線（線段、射線、直線）、畫圓（正圓）的工具，以及旋轉(zhuǎn)、平移、縮放、反射等圖形變換功能，可以對(duì)圖形對(duì)象進(jìn)行求坐標(biāo)、算距離等測(cè)量與計(jì)算，研究諸如運(yùn)動(dòng)與變換這樣的非歐幾何問(wèn)題，能夠繪制各種平面圖形、動(dòng)畫和運(yùn)動(dòng)、立體透視圖形，構(gòu)造動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)圖表。傳統(tǒng)教學(xué)中，特別是在解析幾何、立體幾何的教學(xué)中，由于受到學(xué)生靜態(tài)思想、空間想象力的制約，使課堂教學(xué)變得舉步畏艱，教師難于表達(dá)，學(xué)生更是難于接受，有些幾何圖形中隱含的幾何性質(zhì)，連教師也不一定清楚，傳統(tǒng)教學(xué)的弊病由此可見(jiàn)一斑。若利用幾何畫板強(qiáng)大的圖形變

5、換功能，在課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將使課堂教學(xué)變得形象生動(dòng)。教師只需要輕點(diǎn)幾下鼠標(biāo)，一些難于表達(dá)的語(yǔ)言、思想就輕松解決，學(xué)生也能根據(jù)圖形，進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想，那么，研究問(wèn)題在學(xué)生眼里就不再是數(shù)學(xué)家的專利，自己也可以。這樣，就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，真正地實(shí)現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的。 下面，我就自己在“研究性學(xué)習(xí)”教學(xué)中，利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)輔助教學(xué)的嘗試與實(shí)踐，以一個(gè)題作為例子，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的一點(diǎn)體會(huì)。問(wèn)題在橢圓上求一點(diǎn),使到直線的距離最小.過(guò)程教師：請(qǐng)同學(xué)們先思考一下解題方法。此時(shí)，教師把用幾何畫板做好的圖1展示在投影儀上，如圖1.教師:這是一個(gè)求解幾何最值的問(wèn)題,應(yīng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值的問(wèn)題

6、,求此類最值的關(guān)鍵是什么？學(xué)生（眾口）:尋求一個(gè)適當(dāng)?shù)淖宰兞?。教師：?duì)于本題來(lái)說(shuō)，這個(gè)適當(dāng)?shù)淖宰兞吭鯓舆x?。窟x取后怎樣正確地建立目標(biāo)函數(shù)？此時(shí)，學(xué)生議論紛紛，有的說(shuō)設(shè)點(diǎn)，有的說(shuō)設(shè)點(diǎn)，再用點(diǎn)到直線間距離公式寫出目標(biāo)函數(shù)。（此時(shí)，教師叫一位同學(xué)解答。）學(xué)生（小王）：設(shè)，則點(diǎn)得到直線距離 其中. 當(dāng) 時(shí),取最小值. 此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.教師:講得好!這是用參數(shù)方程討論最值問(wèn)題,可借助于三角函數(shù)有界性及其優(yōu)越的變換手段使問(wèn)題易于解決。這時(shí)，教師用幾何畫板把點(diǎn)做出來(lái)。如圖1. 教師:請(qǐng)同學(xué)們觀察一下圖1,點(diǎn)具有什么特殊性？這時(shí)，學(xué)生從圖1上可以感覺(jué)得到，這個(gè)點(diǎn)具有特殊性，但不知怎樣表答這種特殊性。（氣氛活

7、躍,大家議論開(kāi)來(lái)）教師:若把這個(gè)橢圓換為圓,則點(diǎn)（故意不說(shuō)下去，讓學(xué)生講出來(lái)）學(xué)生（大家一下醒悟，興高采烈）：就是把直線平移與之相切時(shí)的切點(diǎn)。這時(shí)，教師演示動(dòng)畫，使直線平移至直線，正好與橢圓相切與點(diǎn)。如圖2.教師:怎樣求出這個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)呢？學(xué)生（小?。喊阎本€平移至直線，直線與橢圓相切，此時(shí)的切點(diǎn)就是最短距離時(shí)的點(diǎn).即設(shè) 由 由圖形可知：時(shí)點(diǎn)到直線的距離最小,此時(shí).教師:本題是求點(diǎn)到直線的距離，第二種方法是把點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為平行直線間的距離。這種轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及解題中都發(fā)揮著重要的作用，希望同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中注意總結(jié)、積累。教師:從上面的解題過(guò)程知，時(shí)點(diǎn)到直線的距離最小，那么，時(shí)

8、，這時(shí)的直線與橢圓是什么關(guān)系？學(xué)生（眾口）：相切。這時(shí)，教師演示動(dòng)畫，使直線平移至直線，直線與橢圓相切，切點(diǎn)為.如圖3.教師:切點(diǎn)相對(duì)于直線具有什么樣的性質(zhì)?學(xué)生（眾口）：切點(diǎn)到直線的距離最大。教師：請(qǐng)同學(xué)們觀察一下點(diǎn)與點(diǎn)有什么關(guān)系？這時(shí)，學(xué)生從圖上容易觀察到點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)（在此為橢圓的中心，以下一樣）中心對(duì)稱，但都不敢肯定，大家小聲地說(shuō)著，期待教師給以肯定。這時(shí)，教師連結(jié)點(diǎn)與點(diǎn)，正好過(guò)原點(diǎn)。（如圖4.）教師：同學(xué)們的觀察結(jié)果很合理，但還需要嚴(yán)格的推理論證。那么，怎樣論證呢？學(xué)生（眾口）：求出點(diǎn)的坐標(biāo)。教師：那么，請(qǐng)同學(xué)們求出點(diǎn)的坐標(biāo)。過(guò)一會(huì)兒，學(xué)生紛紛計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為。這時(shí)，大家異常興奮，因?yàn)?/p>

9、論證了自己的一個(gè)猜想。教師(趁熱打鐵):從這到題,我們知道了橢圓上到直線的距離最小、最大值的點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也即橢圓的直徑(也就是過(guò)圓心作直線的垂線,被橢圓所截的弦)的兩端點(diǎn)。我們知道，圓上到與之相離的直線的距離的最小、最大值的兩點(diǎn)，正好是某直徑的兩個(gè)端點(diǎn)。那么，我們能否把剛才從橢圓上得到的這一特殊情況象從圓上得到的性質(zhì)一樣，進(jìn)行推廣？學(xué)生（眾口）：能！教師：這只是我們的一種合理猜想，還需要嚴(yán)格的論證，請(qǐng)同學(xué)們思考一下論證的方法。這時(shí)，同學(xué)們大家互相在下面討論，發(fā)表自己的意見(jiàn)，最后，學(xué)生小李發(fā)言。學(xué)生（小李）：我們可以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，并設(shè)直線的一般式方程為：，且直線與橢圓相離，然后，

10、再采用上面平移直線求切點(diǎn)的辦法，求出兩個(gè)切點(diǎn)，便可以論證了。教師：小李同學(xué)說(shuō)得很好，這種辦法可行。但這樣假設(shè)橢圓和直線的方程，系數(shù)過(guò)多，且含有分母，這樣以來(lái)，計(jì)算肯定很繁。我們可不可以在不失一般性的前提下，使方程的形式簡(jiǎn)潔一些？（這樣，我們的計(jì)算量就會(huì)小一些。）這時(shí)，由于他們的論證方法受到老師的肯定，所以，大家又積極討論怎樣在不失一般性的前提下，使方程的形式簡(jiǎn)潔。這時(shí)，小計(jì)發(fā)言。學(xué)生（小計(jì)）：可以設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為，且直線與橢圓相離。學(xué)生（小馬）：若直線的斜率不存在呢？學(xué)生（小計(jì)）（馬上意識(shí)到自己的假設(shè)的不完整）：直線斜率不存在的情況很簡(jiǎn)單嘛，也就是直線垂直于軸的情況，只需要最后稍作

11、說(shuō)明即可。教師：既然同學(xué)們有了論證的方法，那么就請(qǐng)同學(xué)們馬上論證，比一比誰(shuí)論證得更快，誰(shuí)論證得更嚴(yán)密。此時(shí)，同學(xué)們都不甘落后，紛紛論證起來(lái)。幾分鐘后，大家的臉上露出了勝利的微笑，還紛紛的左顧右盼，看看別的同學(xué)有沒(méi)有論證完。我看大家基本上都停筆以后，我環(huán)顧教室，請(qǐng)了一位平時(shí)在學(xué)習(xí)上稍吃力的同學(xué)（小姜）回答。同學(xué)（小姜）：設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為且直線與橢圓相離;并設(shè)直線：。設(shè)兩切點(diǎn)為，。把直線方程代入橢圓的方程， 得 ，即， 即，即 ，所以，.為方便計(jì)算，設(shè)（，所以，.所以,切線:,切線:.把,分別代入,得,由(1)式得, 由(2)式得,把,分別代入,得, 所以點(diǎn)，點(diǎn)，），兩點(diǎn)正好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

12、稱（也即 兩點(diǎn)正好是橢圓直徑的兩端點(diǎn)）。下面，討論直線的斜率不存在的情況：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線垂直于軸，把直線平移時(shí)，肯定先與橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)相切，最后與橢圓長(zhǎng)軸的另一端點(diǎn)相切，這兩點(diǎn)正好是到直線距離的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)（也即 橢圓直徑的兩端點(diǎn)）。教師（給以掌聲，以示贊許和鼓勵(lì)）：講得很精彩！到此時(shí)，我們就可以說(shuō)橢圓上到與之相離的直線距離的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)正好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也即 這兩個(gè)點(diǎn)正好是橢圓某一直徑的兩端點(diǎn)。這一性質(zhì)與圓類似。這就給我們以后解題帶來(lái)方便，最重要的是我們經(jīng)過(guò)自己的努力，去發(fā)現(xiàn)了橢圓的這一隱含性質(zhì)。剛才，我們討論的是橢圓與直線相離這一關(guān)系時(shí)的性質(zhì)，那么，我們能否把這

13、一性質(zhì)推廣到橢圓與直線相切、相交的情形？此時(shí)，由于學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的努力發(fā)現(xiàn)并論證了這一性質(zhì)，因而，大家又興奮了，議論紛紛，整個(gè)課堂氣氛相當(dāng)?shù)幕钴S。學(xué)生（小潘）：可以推廣！教師：為什么？這時(shí)，學(xué)生小潘想說(shuō)肯定是，但又沒(méi)有合適的理由，顯得無(wú)所有點(diǎn)手無(wú)舉措。別的同學(xué)也是和他的想法一樣，但苦于沒(méi)有合適的理由，都顯得有點(diǎn)沉默。教師：同學(xué)們，我們得到的性質(zhì)是怎么推導(dǎo)出來(lái)的？學(xué)生（眾口）：把直線進(jìn)行平移，然后，求切點(diǎn)。此時(shí)，教師再把動(dòng)畫（直線平移的動(dòng)畫）演示一遍，學(xué)生都發(fā)出了“哦”的一聲。顯然，同學(xué)們從動(dòng)畫的過(guò)程找到了答案。這是，教師抓住時(shí)機(jī)發(fā)問(wèn)。教師：當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)分別是什么？學(xué)生（

14、眾口）：最小值點(diǎn)為切點(diǎn)，最大值點(diǎn)為這一切點(diǎn)和原點(diǎn)連線與橢圓的交點(diǎn)。教師：當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)分別是什么？學(xué)生（眾口）：最小值點(diǎn)為交點(diǎn)，最大值點(diǎn)為這時(shí)，學(xué)生雖知道最大值點(diǎn)為橢圓某一直徑的端點(diǎn)，但不知道怎樣描述這條直徑。教師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆^察一下動(dòng)畫。當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，教師停止動(dòng)畫（如圖5），并讓學(xué)生仔細(xì)觀察 。學(xué)生（小汪）：直線與橢圓相交時(shí)，直徑應(yīng)該是平分直線被橢圓截得的弦。也就是說(shuō)，當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，最大值點(diǎn)為弦的中點(diǎn)和原點(diǎn)連線與橢圓的交點(diǎn)。此時(shí)，幾乎所有的同學(xué)都同意她的觀點(diǎn)，但又不敢肯定是否正確。教師：剛才，這位同學(xué)的猜想很好！正確與否，還需論證。那么，現(xiàn)在，我就度量線段

15、與，看它們是否相等。經(jīng)度量（不考慮誤差），發(fā)現(xiàn)線段與正好相等。同學(xué)們由于又一次借助于自己的觀察，作出了合理的猜想，都顯得十分高興。教師：經(jīng)度量線段與正好相等，只能說(shuō)明我們的猜想是合理的，有一定的正確性。所以，我們?yōu)榱苏撟C這一猜想，還需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明。由于時(shí)間關(guān)系，就把這個(gè)需要證明的問(wèn)題作為我們今天的研究性學(xué)習(xí)作業(yè)?？偨Y(jié) 今天這節(jié)課，我們利用幾何畫板進(jìn)行了一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，我們進(jìn)行了一些合理的猜想，最終，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的論證，使我們的猜想變成了事實(shí)，得到了橢圓上到一定直線距離的最值點(diǎn)的一些性質(zhì)：（1）當(dāng)橢圓與直線相離時(shí),最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)正好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。(也即 這兩個(gè)點(diǎn)正好是

16、橢圓某直徑的兩端點(diǎn)。)（2）當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，最小值點(diǎn)為切點(diǎn)，最大值點(diǎn)為這一切點(diǎn)和原點(diǎn)連線與橢圓的交點(diǎn)。（3）當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，最小值點(diǎn)為交點(diǎn)，最大值點(diǎn)為直線被橢圓所截弦的中點(diǎn)和原點(diǎn)連線與橢圓的交點(diǎn)。（待證）今天的學(xué)習(xí)，得到的性質(zhì)對(duì)我們來(lái)說(shuō)，不是最重要的，最重要的是，同學(xué)們應(yīng)該把今天的在學(xué)習(xí)中所具有的那種敢于猜想的精神，嚴(yán)于論證的精神，對(duì)學(xué)習(xí)鍥而不舍的精神，用到自己以后的學(xué)習(xí)中去，用到自己的生活中去，我想，這對(duì)于你們的一生來(lái)說(shuō)，都將是受益匪淺的。后記 從以上案例知，在整個(gè)研究性學(xué)習(xí)過(guò)程中，主要是利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，然后再進(jìn)行合理猜想，最后對(duì)猜想給以嚴(yán)格的證明。可以說(shuō)，正因?yàn)樵谘芯啃詫W(xué)

17、習(xí)中有了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，才有了學(xué)生合情合理的猜想，最終把這猜想論證為事實(shí)。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在研究性學(xué)習(xí)中的重要性?？梢哉f(shuō)，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)改革上的飛躍。據(jù)資料反映，年兩個(gè)美國(guó)初中二年級(jí)學(xué)生David Goldeheim和Dan Litchfiled應(yīng)用“幾何畫板”發(fā)現(xiàn)了又一個(gè)任意等分線段的方法；我國(guó)東北育才學(xué)校的學(xué)生應(yīng)用“幾何畫板”發(fā)現(xiàn)了廣義蝴蝶定理。這些事例足以說(shuō)明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中起著至關(guān)重要的作用。因此，當(dāng)代的數(shù)學(xué)教育就給教育工作者（特別是一線教師）提出了更新、更高的要求。為了能更好的實(shí)現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的，教師不僅要掌握現(xiàn)代化信息教育技術(shù)（特別是能進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的信息教育技術(shù)），還應(yīng)傳授這些技術(shù)給學(xué)生，讓學(xué)生無(wú)論是在課堂上，還是在課堂外，無(wú)論是一個(gè)人，還是一個(gè)小組，都能積極、主動(dòng)、廣泛地進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，真正實(shí)現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的。江澤民書記指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興