橢圓性質(zhì)的研究

1、PAGE PAGE 9數(shù)學(xué)實驗與研究性學(xué)習(xí)整合案例一則內(nèi)容摘要 這篇文章主要是說明在一次研究性學(xué)習(xí)活動中，借助于幾何畫板來進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，使學(xué)生順利的完成了觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、論證這樣幾個步驟。進(jìn)而闡述了中學(xué)的研究性學(xué)習(xí)若借助于多媒體信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，不僅可以使教學(xué)活動變得形象生動，提高教學(xué)質(zhì)量，最重要的是可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正成為富有創(chuàng)新思想，具有創(chuàng)造力的人才。前言 數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生所學(xué)知識和學(xué)生的自主性、探究性學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，采用類似于科學(xué)研究的方法，促進(jìn)學(xué)生主動積極發(fā)展的一種新型學(xué)習(xí)方式。旨在通過學(xué)生親身實踐獲取直接經(jīng)驗，養(yǎng)成科學(xué)精神和科學(xué)態(tài)度，掌握基本的科

2、學(xué)方法，提高綜合運用所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)問題和解決實際問題的能力。 現(xiàn)在的研究性學(xué)習(xí)由于受到學(xué)生認(rèn)知能力的限制，基本采用的是教師羅列一些課題，然后，學(xué)生再根據(jù)自己的實際情況選擇課題，再與選此課題的同學(xué)結(jié)成研究小組，大家一起研究。這樣的研究性學(xué)習(xí)，一般需要的時間也很長，少則幾周，多則一學(xué)期。由于研究性學(xué)習(xí)的目的是讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，培養(yǎng)其自主、創(chuàng)新的精神。而中學(xué)生學(xué)習(xí)較忙，因此，教師可以充分挖掘新教材，去挖掘出“值得研究”的問題，作為研究的課題，指導(dǎo)學(xué)生在課堂上進(jìn)行研究，這樣，在一定意義下，能更好實現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的。 數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，含有觀察、實驗、發(fā)現(xiàn)、猜

3、想等實踐部分，嘗試、假說、度量和分類是數(shù)學(xué)家常用的計巧，這些也應(yīng)是教學(xué)中必須有的。由于傳統(tǒng)教學(xué)模式是粉筆+黑板，因此，學(xué)生應(yīng)有的觀察、實驗、發(fā)現(xiàn)、猜想等實踐部分，就被教師滔滔不絕的講解所替代。學(xué)生呢？猶如進(jìn)電影廳看電影一樣，整個過程很順暢，但沒有機會、沒有認(rèn)真地思考過問題，所以，當(dāng)他們遇到一些雖簡單的問題的時候，就顯得手無舉措，求助與教師。這樣的教學(xué)模式搞研究性學(xué)習(xí)顯然是不行的。要想把數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)開展好，就必須進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，但傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)實驗顯然不能滿足需要。因此，多媒體進(jìn)入課堂就成為必然。目前能夠提供數(shù)學(xué)實驗的軟件比較少，但是“幾何畫板”及“立體幾何畫板”這兩個數(shù)學(xué)實驗教育軟件的介入，

4、將使得傳統(tǒng)教學(xué)發(fā)生很大的變化?！皫缀萎嫲濉笆荳indows環(huán)境下的一個動態(tài)的數(shù)學(xué)工具軟件。它提供了畫點、畫線（線段、射線、直線）、畫圓（正圓）的工具，以及旋轉(zhuǎn)、平移、縮放、反射等圖形變換功能，可以對圖形對象進(jìn)行求坐標(biāo)、算距離等測量與計算，研究諸如運動與變換這樣的非歐幾何問題，能夠繪制各種平面圖形、動畫和運動、立體透視圖形，構(gòu)造動態(tài)數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)圖表。傳統(tǒng)教學(xué)中，特別是在解析幾何、立體幾何的教學(xué)中，由于受到學(xué)生靜態(tài)思想、空間想象力的制約，使課堂教學(xué)變得舉步畏艱，教師難于表達(dá)，學(xué)生更是難于接受，有些幾何圖形中隱含的幾何性質(zhì)，連教師也不一定清楚，傳統(tǒng)教學(xué)的弊病由此可見一斑。若利用幾何畫板強大的圖形變

5、換功能，在課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，將使課堂教學(xué)變得形象生動。教師只需要輕點幾下鼠標(biāo)，一些難于表達(dá)的語言、思想就輕松解決，學(xué)生也能根據(jù)圖形，進(jìn)行觀察、實驗、發(fā)現(xiàn)、猜想，那么，研究問題在學(xué)生眼里就不再是數(shù)學(xué)家的專利，自己也可以。這樣，就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，真正地實現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的。 下面，我就自己在“研究性學(xué)習(xí)”教學(xué)中，利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗輔助教學(xué)的嘗試與實踐，以一個題作為例子，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的一點體會。問題在橢圓上求一點,使到直線的距離最小.過程教師：請同學(xué)們先思考一下解題方法。此時，教師把用幾何畫板做好的圖1展示在投影儀上，如圖1.教師:這是一個求解幾何最值的問題,應(yīng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值的問題

6、,求此類最值的關(guān)鍵是什么？學(xué)生（眾口）:尋求一個適當(dāng)?shù)淖宰兞俊＝處煟簩τ诒绢}來說，這個適當(dāng)?shù)淖宰兞吭鯓舆x取？選取后怎樣正確地建立目標(biāo)函數(shù)？此時，學(xué)生議論紛紛，有的說設(shè)點，有的說設(shè)點，再用點到直線間距離公式寫出目標(biāo)函數(shù)。（此時，教師叫一位同學(xué)解答。）學(xué)生（小王）：設(shè)，則點得到直線距離 其中. 當(dāng) 時,取最小值. 此時,點的坐標(biāo)為.教師:講得好!這是用參數(shù)方程討論最值問題,可借助于三角函數(shù)有界性及其優(yōu)越的變換手段使問題易于解決。這時，教師用幾何畫板把點做出來。如圖1. 教師:請同學(xué)們觀察一下圖1,點具有什么特殊性？這時，學(xué)生從圖1上可以感覺得到，這個點具有特殊性，但不知怎樣表答這種特殊性。（氣氛活

7、躍,大家議論開來）教師:若把這個橢圓換為圓,則點（故意不說下去，讓學(xué)生講出來）學(xué)生（大家一下醒悟，興高采烈）：就是把直線平移與之相切時的切點。這時，教師演示動畫，使直線平移至直線，正好與橢圓相切與點。如圖2.教師:怎樣求出這個切點的坐標(biāo)呢？學(xué)生（小?。喊阎本€平移至直線，直線與橢圓相切，此時的切點就是最短距離時的點.即設(shè) 由 由圖形可知：時點到直線的距離最小,此時.教師:本題是求點到直線的距離，第二種方法是把點到直線的距離轉(zhuǎn)化為平行直線間的距離。這種轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及解題中都發(fā)揮著重要的作用，希望同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中注意總結(jié)、積累。教師:從上面的解題過程知，時點到直線的距離最小，那么，時

8、，這時的直線與橢圓是什么關(guān)系？學(xué)生（眾口）：相切。這時，教師演示動畫，使直線平移至直線，直線與橢圓相切，切點為.如圖3.教師:切點相對于直線具有什么樣的性質(zhì)?學(xué)生（眾口）：切點到直線的距離最大。教師：請同學(xué)們觀察一下點與點有什么關(guān)系？這時，學(xué)生從圖上容易觀察到點與點關(guān)于原點（在此為橢圓的中心，以下一樣）中心對稱，但都不敢肯定，大家小聲地說著，期待教師給以肯定。這時，教師連結(jié)點與點，正好過原點。（如圖4.）教師：同學(xué)們的觀察結(jié)果很合理，但還需要嚴(yán)格的推理論證。那么，怎樣論證呢？學(xué)生（眾口）：求出點的坐標(biāo)。教師：那么，請同學(xué)們求出點的坐標(biāo)。過一會兒，學(xué)生紛紛計算點的坐標(biāo)為。這時，大家異常興奮，因為

9、論證了自己的一個猜想。教師(趁熱打鐵):從這到題,我們知道了橢圓上到直線的距離最小、最大值的點與點關(guān)于原點對稱，也即橢圓的直徑(也就是過圓心作直線的垂線,被橢圓所截的弦)的兩端點。我們知道，圓上到與之相離的直線的距離的最小、最大值的兩點，正好是某直徑的兩個端點。那么，我們能否把剛才從橢圓上得到的這一特殊情況象從圓上得到的性質(zhì)一樣，進(jìn)行推廣？學(xué)生（眾口）：能！教師：這只是我們的一種合理猜想，還需要嚴(yán)格的論證，請同學(xué)們思考一下論證的方法。這時，同學(xué)們大家互相在下面討論，發(fā)表自己的意見，最后，學(xué)生小李發(fā)言。學(xué)生（小李）：我們可以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，并設(shè)直線的一般式方程為：，且直線與橢圓相離，然后，

10、再采用上面平移直線求切點的辦法，求出兩個切點，便可以論證了。教師：小李同學(xué)說得很好，這種辦法可行。但這樣假設(shè)橢圓和直線的方程，系數(shù)過多，且含有分母，這樣以來，計算肯定很繁。我們可不可以在不失一般性的前提下，使方程的形式簡潔一些？（這樣，我們的計算量就會小一些。）這時，由于他們的論證方法受到老師的肯定，所以，大家又積極討論怎樣在不失一般性的前提下，使方程的形式簡潔。這時，小計發(fā)言。學(xué)生（小計）：可以設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為，且直線與橢圓相離。學(xué)生（小馬）：若直線的斜率不存在呢？學(xué)生（小計）（馬上意識到自己的假設(shè)的不完整）：直線斜率不存在的情況很簡單嘛，也就是直線垂直于軸的情況，只需要最后稍作

11、說明即可。教師：既然同學(xué)們有了論證的方法，那么就請同學(xué)們馬上論證，比一比誰論證得更快，誰論證得更嚴(yán)密。此時，同學(xué)們都不甘落后，紛紛論證起來。幾分鐘后，大家的臉上露出了勝利的微笑，還紛紛的左顧右盼，看看別的同學(xué)有沒有論證完。我看大家基本上都停筆以后，我環(huán)顧教室，請了一位平時在學(xué)習(xí)上稍吃力的同學(xué)（小姜）回答。同學(xué)（小姜）：設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為且直線與橢圓相離;并設(shè)直線：。設(shè)兩切點為，。把直線方程代入橢圓的方程， 得 ，即， 即，即 ，所以，.為方便計算，設(shè)（，所以，.所以,切線:,切線:.把,分別代入,得,由(1)式得, 由(2)式得,把,分別代入,得, 所以點，點，），兩點正好關(guān)于原點對

12、稱（也即 兩點正好是橢圓直徑的兩端點）。下面，討論直線的斜率不存在的情況：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線垂直于軸，把直線平移時，肯定先與橢圓長軸的一個端點相切，最后與橢圓長軸的另一端點相切，這兩點正好是到直線距離的最小值點和最大值點（也即 橢圓直徑的兩端點）。教師（給以掌聲，以示贊許和鼓勵）：講得很精彩！到此時，我們就可以說橢圓上到與之相離的直線距離的最小值點和最大值點正好關(guān)于原點對稱，也即 這兩個點正好是橢圓某一直徑的兩端點。這一性質(zhì)與圓類似。這就給我們以后解題帶來方便，最重要的是我們經(jīng)過自己的努力，去發(fā)現(xiàn)了橢圓的這一隱含性質(zhì)。剛才，我們討論的是橢圓與直線相離這一關(guān)系時的性質(zhì)，那么，我們能否把這

13、一性質(zhì)推廣到橢圓與直線相切、相交的情形？此時，由于學(xué)生經(jīng)過自己的努力發(fā)現(xiàn)并論證了這一性質(zhì)，因而，大家又興奮了，議論紛紛，整個課堂氣氛相當(dāng)?shù)幕钴S。學(xué)生（小潘）：可以推廣！教師：為什么？這時，學(xué)生小潘想說肯定是，但又沒有合適的理由，顯得無所有點手無舉措。別的同學(xué)也是和他的想法一樣，但苦于沒有合適的理由，都顯得有點沉默。教師：同學(xué)們，我們得到的性質(zhì)是怎么推導(dǎo)出來的？學(xué)生（眾口）：把直線進(jìn)行平移，然后，求切點。此時，教師再把動畫（直線平移的動畫）演示一遍，學(xué)生都發(fā)出了“哦”的一聲。顯然，同學(xué)們從動畫的過程找到了答案。這是，教師抓住時機發(fā)問。教師：當(dāng)直線與橢圓相切時，最小值點和最大值點分別是什么？學(xué)生（

14、眾口）：最小值點為切點，最大值點為這一切點和原點連線與橢圓的交點。教師：當(dāng)直線與橢圓相交時，最小值點和最大值點分別是什么？學(xué)生（眾口）：最小值點為交點，最大值點為這時，學(xué)生雖知道最大值點為橢圓某一直徑的端點，但不知道怎樣描述這條直徑。教師：請同學(xué)們再觀察一下動畫。當(dāng)直線與橢圓相交時，教師停止動畫（如圖5），并讓學(xué)生仔細(xì)觀察 。學(xué)生（小汪）：直線與橢圓相交時，直徑應(yīng)該是平分直線被橢圓截得的弦。也就是說，當(dāng)直線與橢圓相交時，最大值點為弦的中點和原點連線與橢圓的交點。此時，幾乎所有的同學(xué)都同意她的觀點，但又不敢肯定是否正確。教師：剛才，這位同學(xué)的猜想很好！正確與否，還需論證。那么，現(xiàn)在，我就度量線段

15、與，看它們是否相等。經(jīng)度量（不考慮誤差），發(fā)現(xiàn)線段與正好相等。同學(xué)們由于又一次借助于自己的觀察，作出了合理的猜想，都顯得十分高興。教師：經(jīng)度量線段與正好相等，只能說明我們的猜想是合理的，有一定的正確性。所以，我們?yōu)榱苏撟C這一猜想，還需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明。由于時間關(guān)系，就把這個需要證明的問題作為我們今天的研究性學(xué)習(xí)作業(yè)?？偨Y(jié) 今天這節(jié)課，我們利用幾何畫板進(jìn)行了一些簡單的數(shù)學(xué)實驗，在數(shù)學(xué)實驗的過程中，我們進(jìn)行了一些合理的猜想，最終，經(jīng)過嚴(yán)格的論證，使我們的猜想變成了事實，得到了橢圓上到一定直線距離的最值點的一些性質(zhì)：（1）當(dāng)橢圓與直線相離時,最小值點和最大值點正好關(guān)于原點對稱。(也即 這兩個點正好是

16、橢圓某直徑的兩端點。)（2）當(dāng)直線與橢圓相切時，最小值點為切點，最大值點為這一切點和原點連線與橢圓的交點。（3）當(dāng)直線與橢圓相交時，最小值點為交點，最大值點為直線被橢圓所截弦的中點和原點連線與橢圓的交點。（待證）今天的學(xué)習(xí)，得到的性質(zhì)對我們來說，不是最重要的，最重要的是，同學(xué)們應(yīng)該把今天的在學(xué)習(xí)中所具有的那種敢于猜想的精神，嚴(yán)于論證的精神，對學(xué)習(xí)鍥而不舍的精神，用到自己以后的學(xué)習(xí)中去，用到自己的生活中去，我想，這對于你們的一生來說，都將是受益匪淺的。后記 從以上案例知，在整個研究性學(xué)習(xí)過程中，主要是利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，然后再進(jìn)行合理猜想，最后對猜想給以嚴(yán)格的證明?？梢哉f，正因為在研究性學(xué)

17、習(xí)中有了數(shù)學(xué)實驗，才有了學(xué)生合情合理的猜想，最終把這猜想論證為事實。由此可見，數(shù)學(xué)實驗在研究性學(xué)習(xí)中的重要性。可以說，利用數(shù)學(xué)實驗進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)改革上的飛躍。據(jù)資料反映，年兩個美國初中二年級學(xué)生David Goldeheim和Dan Litchfiled應(yīng)用“幾何畫板”發(fā)現(xiàn)了又一個任意等分線段的方法；我國東北育才學(xué)校的學(xué)生應(yīng)用“幾何畫板”發(fā)現(xiàn)了廣義蝴蝶定理。這些事例足以說明數(shù)學(xué)實驗在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中起著至關(guān)重要的作用。因此，當(dāng)代的數(shù)學(xué)教育就給教育工作者（特別是一線教師）提出了更新、更高的要求。為了能更好的實現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的，教師不僅要掌握現(xiàn)代化信息教育技術(shù)（特別是能進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗的信息教育技術(shù)），還應(yīng)傳授這些技術(shù)給學(xué)生，讓學(xué)生無論是在課堂上，還是在課堂外，無論是一個人，還是一個小組，都能積極、主動、廣泛地進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，真正實現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的目的。江澤民書記指出：“創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是國家興