選修4-22變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法

1、第 二 節(jié)變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法及逆變換與逆矩陣1.二階矩陣的乘法及其性質(zhì)(1)二階矩陣的乘法(2)二階矩陣乘法的性質(zhì)設(shè)A,B,C是任意的三個(gè)二階矩陣,結(jié)合律(AB)C= _;特別地：AkAl=_,(Ak)l=_;矩陣的乘法不滿足_;矩陣的乘法不滿足消去律.Ak+lAkl交換律A(BC)2.逆矩陣的定義、性質(zhì)及其求法(1)定義：設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得_,則稱矩陣A可逆，并稱B是A的逆矩陣.(2)性質(zhì)：性質(zhì)1:設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,如果A是可逆的,則A的逆矩陣是_.性質(zhì)2:設(shè)A,B是二階矩陣,如果A,B都可逆,則AB也可逆,且(AB)-1=_.BA=AB=E2唯一的B-1

2、A-1(3)求法:二階行列式：矩陣 表達(dá)式_稱為二階行列式，記作 _， 也稱為二階矩陣A的行列式，記為|A|或det A;求法：二階矩陣 可逆，當(dāng)且僅當(dāng)|A|=ad-bc0.當(dāng)矩陣 可逆時(shí)，A-1= .ad-bcad-bc3.逆矩陣與二元一次方程組(1)定理:如果關(guān)于變量x,y的二元一次方程組(線性方程組) 的系數(shù)矩陣 可逆,那么該方程組有唯一解 _(2)推論:關(guān)于變量x,y的二元一次方程組 其中a,b,c,d是不全為零的常數(shù),有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的行列式_.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”).(1)設(shè) 則 ( )(2)對(duì)于矩陣A,B,AB=BA.( )(3)對(duì)于矩陣A

3、,B,C,若AC=BC,則A=B. ( )(4)每一個(gè)二階矩陣都可逆.( )(5)如果A,B都可逆，則AB也可逆.( )【解析】(1)錯(cuò)誤.由矩陣乘法的運(yùn)算法則可知.(2)錯(cuò)誤.矩陣的乘法運(yùn)算不滿足交換律.(3)錯(cuò)誤.矩陣的乘法運(yùn)算不滿足消去律.(4)錯(cuò)誤.當(dāng)|A|=0時(shí)矩陣不可逆.(5)正確.由可逆矩陣的性質(zhì)知正確.答案:(1) (2) (3) (4) (5)考向1 二階矩陣的乘法及其應(yīng)用【典例1】在直角坐標(biāo)系中，OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)，A(2,0)， 求OAB在矩陣MN的作用下變換所得到的圖形的面積，其中矩陣【思路點(diǎn)撥】由矩陣M,N先計(jì)算出MN；再分別計(jì)算出點(diǎn)O，A，B在MN的作用下

4、點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合圖形求三角形的面積.【規(guī)范解答】可知O，A，B三點(diǎn)在矩陣MN作用下變換所得的點(diǎn)分別為O(0,0),A(2,0),B(2,-1).可知OAB的面積為1.【互動(dòng)探究】在本題中，試求在矩陣NM的作用下變換所得的圖形的面積.【解析】可知O,A,B三點(diǎn)在矩陣NM的作用下變換所得的點(diǎn)分別為O(0,0),A(2,0),B(0,-1)，可知OAB的面積為1.【拓展提升】 矩陣的乘法運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)熟練掌握二階矩陣的乘法運(yùn)算法則,注意其用前矩陣的“行”元素,與后矩陣的“列”元素相乘相加的特點(diǎn).(2)二階矩陣的乘法運(yùn)算與二階矩陣和平面向量的乘法在實(shí)質(zhì)上是一致的.可以類比理解.(3)二階矩陣的乘法

5、常與矩陣的其他運(yùn)算,如矩陣的相等、逆矩陣等相結(jié)合.(4)變換的復(fù)合等價(jià)于相應(yīng)矩陣的乘法運(yùn)算，采用矩陣的乘法運(yùn)算可以簡化變換的過程，起到化繁為簡的作用.【變式備選】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣 點(diǎn)A，B，C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為A1，B1，C1，A1B1C1的面積是ABC的面積的2倍，求k的值【解析】由題設(shè)得可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).計(jì)算得ABC的面積是1,A1B1C1的面積是|k|,由題設(shè)知|k|=21=2,所以k的值為-2或2.考向2 逆矩陣的求法【典例2】(2012福建高考)設(shè)曲線2

6、x2+2xy+y2=1在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1(1)求實(shí)數(shù)a，b的值.(2)求A2的逆矩陣.【思路點(diǎn)撥】首先由變換前后的曲線方程、變換公式建立關(guān)于a,b的關(guān)系式，從而求出a,b，即得矩陣A，再計(jì)算A2及其逆矩陣.【規(guī)范解答】(1)設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P(x,y)在矩陣A對(duì)應(yīng)變換下的像是P(x,y)，又點(diǎn)P(x,y)在x2+y2=1上，所以x2+y2=1，即a2x2+(bx+y)2=1,整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.依題意得因?yàn)閍0，所以(2)由(1)知，【拓展提升】 求逆矩陣的兩個(gè)方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出矩陣A-1，再利用AA-1=

7、E2,列出方程組求相應(yīng)的元素.(2)公式法：先求出|A|，再代入公式A-1= 【提醒】逆矩陣求解公式的特點(diǎn)將矩陣A的所有元素均除以|A|后，a11與a22互換，a12與a21變號(hào).【變式訓(xùn)練】已知在矩陣 的作用下將直線2x-y=3變?yōu)槠渥陨?(1)求矩陣A.(2)求矩陣A的逆矩陣.【解析】(1)方法一：設(shè)P(x,y)為直線2x-y=3上任意一點(diǎn),其在矩陣A的作用下變?yōu)?x,y)，則代入2x-y=3得：-(b+2)x+(2a-3)y=3.其與2x-y=3完全一樣，方法二：在直線2x-y=3上任取兩點(diǎn)(2，1)和(3，3)，即得點(diǎn)(a-2,2b+3),將(a-2,2b+3)和(3a-3,3b+9)

8、分別代入2x-y=3得則矩陣 (2)因?yàn)?所以矩陣A的逆矩陣為考向3 二階矩陣的運(yùn)算在圖形變換中的綜合應(yīng)用【典例3】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圓C：(x-1)2+(y-2)2=1在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線F所圍成的面積為4.(1)求k的值.(2)求矩陣A的逆矩陣.【思路點(diǎn)撥】 (1)表示出曲線F的方程,根據(jù)所圍成圖形的面積列關(guān)于k的方程求解.(2)利用矩陣A的行列式可求出A-1.【規(guī)范解答】(1)設(shè)P(x,y)是圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x,y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x,y), 點(diǎn)P在圓C上，曲線F的方程為(x-k)2+(y-2k)2=k2,曲線F是以k為半徑的圓，k2=4.又k0,k=2.(2)由(1)知【拓展提升】矩陣的基本運(yùn)算與解題常規(guī)思路的應(yīng)用(1)利用變換求矩陣，已知矩陣求其逆矩陣是矩陣中的基本運(yùn)算.(2)此類題目往往涉及矩陣的乘法、逆矩陣的求法、圖形的變換等知識(shí)，綜合考查矩陣的運(yùn)算及矩陣在圖形變換中的應(yīng)用，因此要熟悉相關(guān)的解題、運(yùn)算思路，即常規(guī)思路，這些方法、思路的熟練運(yùn)用是解決此類題目的保證.【變式訓(xùn)練】(2012德化模擬)已知變換T1是繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 的旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對(duì)應(yīng)的變換矩陣是 (1)求點(diǎn)P(2,1)在變換T1作用下的點(diǎn)P的坐標(biāo).(