矩陣論講義第8章第八章2微分

1、 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院 矩陣論教學(xué)團(tuán)隊(duì) Department of Mathematics, College of Sciences課前預(yù)習(xí)、課中提高效率、課后復(fù)習(xí)書后要求的習(xí)題,主動(dòng)自覺做,抽查和不定時(shí)收取 使用教材 矩陣論教程國防工業(yè)出版社 2012其他輔導(dǎo)類參考書（自選）課 程 要 求作業(yè)要求授課預(yù)計(jì) (10學(xué)時(shí))1234第八章 矩陣分析矩陣的Kronecker積 函數(shù)矩陣的微分 函數(shù)矩陣的積分矩陣微分方程的求解 教 學(xué) 內(nèi) 容 和 基 本 要 求2, 理解函數(shù)矩陣的微分與積分定義； 掌握數(shù)量值函數(shù) 與矩陣值函數(shù)關(guān)于矩陣變量的導(dǎo)數(shù)；4, 了解一階矩陣微分方程的一般形式和性質(zhì)；掌握利用矩

2、陣函數(shù)求解此類微分方程的方法。重點(diǎn): 克羅內(nèi)克積的概念；函數(shù)矩陣的微分；矩陣微分 方程求解。難點(diǎn): 數(shù)量值函數(shù)與矩陣值函數(shù)關(guān)于矩陣變量的導(dǎo)數(shù) 1，理解和掌握矩陣的克羅內(nèi)克積的概念和性質(zhì)； 3，理解和掌握函數(shù)矩陣的極限、連續(xù)性和積分的定義、性 質(zhì)和計(jì)算； 設(shè) 是定義在a, b上的以變量t 的函數(shù)為元 素的矩陣 ，(稱為函數(shù)矩陣)定義1:都是關(guān)于自變量在a,b上連續(xù)可微函數(shù)。m=1，A(t)為函數(shù)行向量；n=1，A(t)為函數(shù)列向量；A(t)也稱為向量值函數(shù)；函數(shù)矩陣的微分8.28.2.1 函數(shù)矩陣對變量的導(dǎo)數(shù)該矩陣稱為函數(shù)矩陣A(t)關(guān)于變量t的導(dǎo)數(shù)，記為定義2 ：設(shè) 為n階函數(shù)矩陣，若存在n階

3、函數(shù)矩陣 ，使得對于任何 ，有則稱A(t)在a,b上可逆，B(t)為A(t)的逆矩陣，記為函數(shù)矩陣的求導(dǎo)法則定理1 設(shè) ， 為 的函數(shù)，且均關(guān)于 可導(dǎo)，則(1) (2) (3) （3）證明：設(shè)則當(dāng) 亦可微時(shí)，有證明：由，則設(shè) 為 的函矩陣，且可逆例2 ：例2 ：設(shè)AATRnn是數(shù)值矩陣，xx(t)是n維向 量值函數(shù)。則 (1) 求Ax的導(dǎo)數(shù)； (2) 求xTAx的導(dǎo)數(shù)；解答 (1) (2)最后一步因?yàn)?為一元函數(shù)，故例3 ：設(shè)ACnn為常數(shù)矩陣，證明 證明：由eAt的定義及級數(shù)理論易知 類似的可以證明例4 設(shè) 為可微矩陣，討論是否一定成立？何時(shí)成立。解 取 ，若設(shè)則， 而故題中所給公式一般不成

4、立。時(shí)，上述公式成立。 但是，當(dāng) 為函數(shù)f(X)對矩陣變量X的導(dǎo)數(shù).8.2.2 數(shù)量值函數(shù)對矩陣變量的導(dǎo)數(shù) , f(X)為關(guān)于矩陣X元素的mn元數(shù)量值函數(shù)，即定義3: 設(shè)若f(X)關(guān)于X的任一元素的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則稱解：由例5為給定的常數(shù)向量為向量變量， 設(shè)n元函數(shù)，求則有故定理2 ：設(shè)ACnn為矩陣型變量，f(A)，g(A)為A的 數(shù)量值函數(shù)，且都關(guān)于A可導(dǎo)，則 例6 設(shè)矩陣變量 ，求微分 。 解： 由，可得則例7 設(shè)為矩陣型變量， 為n維常數(shù)向量函數(shù)，求解答：設(shè)，故有例8 設(shè) 為常數(shù)矩陣，為n維變量，解: 由函數(shù)，求 當(dāng)A是對稱矩陣時(shí)類似的可算得 當(dāng)A是對稱矩陣時(shí) 8.2.3 矩陣值函數(shù)對矩陣變量的導(dǎo)數(shù)為變量 的數(shù)量值函數(shù)，則稱為變量 的矩陣值函數(shù)。若關(guān)于每個(gè) 都可導(dǎo)，即定義4:為矩陣型變量，函數(shù)設(shè)則稱為F(X)關(guān)于矩陣變量X的導(dǎo)數(shù)。為哈米爾頓(Hamilton)算子矩陣則，若定義F(X)關(guān)于矩陣變量X的導(dǎo)數(shù)也可表示為例9 設(shè)矩陣 , 求矩陣函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 。解：由定義而,故有 ，同理，定理3 ：設(shè) 為矩陣型變量， 為矩陣值函數(shù)， 為數(shù)量 值函數(shù)，則(3) 證明：其中例10設(shè) ， 為常值矩陣， 為向