學生用講義可靠性數(shù)學基礎(chǔ)

1、2012/9/1912.1隨機事件與概率隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象確定性現(xiàn)象每天早晨從東方升起;水在標準大氣壓下加溫到100oC沸騰;隨機現(xiàn)象擲一枚硬幣，正面朝上？朝上？一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù);某種型號電視機的;第2章 可靠性數(shù)學基礎(chǔ)2.1隨機事件與概率2.2隨量2.3常用的概率分布2.4數(shù)理統(tǒng)計可靠性概述第1章 可靠性設(shè)計概論第2章 可靠性數(shù)學基礎(chǔ)第3章 機械可靠性設(shè)計基本原理第4章 系統(tǒng)可靠性設(shè)計第5章 機械零部件可靠性設(shè)計第6章 可靠性優(yōu)化設(shè)計與可靠性提高第8章 可靠性試驗可靠性概述華東理工大學機械與動力主講：劉長虹2012/9/1922. 隨機事件隨機事件 某些樣本點組成的集合,

2、 的子集，常用A、B、C表示.基本事件 的單點集.必然事件 ()不可能事件 () 空集.隨量 表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量.常用大寫字母 X、Y、Z 表示.2.1隨機事件與概率2、隨機事件在單次試驗中不能確定是否發(fā)生，而在大量重復試驗中具有某種規(guī)律性的事件。事件的分類：（1）基本事件：實驗的最基本結(jié)果，不能再分解。（2）復合事件：由若干基本事件符合而成的事件。（3）必然事件：在每次事件中必定發(fā)生的事件。（）（4）不可能事件：每次試驗中一定不會發(fā)生的事件。（）2.1隨機事件與概率2.1.1 隨機事件及其運算隨機事件：隨機試驗的可能結(jié)果。1.隨機試驗：對隨機現(xiàn)象進行的實驗與觀察。它具有兩個特點：隨機性、

3、重復性。試驗在相同條件下可以重復進行；每次試驗至少有兩個可能結(jié)果，且在試驗結(jié)束前可以明確知道所有可能結(jié)果；每次試驗結(jié)束前不能確定將會出現(xiàn)哪一種結(jié)果。隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.特點：1. 結(jié)果不止一個;2. 事先不知道哪一個會出現(xiàn).隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性：隨機現(xiàn)象的各種結(jié)果會 定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為統(tǒng)計規(guī)律性.2012/9/1932.2 隨量2.2.1 隨量的定義和分類定義: 對于隨機試驗的每一個基本可能結(jié)果,都對應著一個實數(shù)X()，則稱X為定義在樣本空間的隨量。表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量。常用大寫字母 X、Y、 Z 表示。種類：（1）離散型隨量：若隨量 X

4、 可能取值的個數(shù)為有限個或可列個。（2）連續(xù)型隨量：若隨量 X 的可能取值充滿某個區(qū)間 a, b 。2.1.2 - 2.概率的基本特點(1) 0 P( A) 1;對于必然事件，有P()=1。對于不可能事件，有P()=0。2.1.2 概率及其特點1. 概率：在試驗中發(fā)生事件A的概率為P( A) A包含的基本事件= m（2-1）基本事件總數(shù)n在一可測空間S上，事件 A發(fā)生的概率為（2-2）S3、事件的表示樣本點（）：每一個基本事件所對應的一個元素。樣本空間（）：全體樣本點的集合。兩類樣本空間：離散樣本空間 樣本點的個數(shù)為有限個或可列個。連續(xù)樣本空間 樣本點的個數(shù)為無限不可列個。2012/9/194

5、(1)求離散隨量的分布列應注意：確定隨量的所有可能取值;計算每個取值點的概率.分布列的基本性質(zhì)pi 0， (非負性) pi 1 (正則性)i離散隨量的分布列設(shè)離散隨量 X 的可能取值為：x1，x2，xn，稱 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 為 X的分布列.分布列也可用表格形式表示：Xx1x2 xn Pp1p2 pn 隨量的分布函數(shù)定義2.1.2 設(shè)X為一個隨量，對任意實數(shù) x，稱 F(x)=P( X x) 為 X 的分布函數(shù).基本性質(zhì)：(1) F(x) 單調(diào)不降；(2) 有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+)=1；(3) 右連續(xù).2012/9/195定義設(shè)隨量X 的分布函數(shù)為F(x

6、),若存在非負可積函數(shù) p(x) ，滿足：F (x) x p(t)dt則稱 X 為連續(xù)隨量，稱 p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).連續(xù)隨量的密度函數(shù)連續(xù)隨量X的可能取值充滿某個區(qū)間 (a,b).因為對連續(xù)隨量X，有P(X=x)=0，所以無法仿離散隨量用 P(X=x) 來描述連續(xù)隨量X的分布.注意離散隨量與連續(xù)隨量的差別.算例已知 X 的分布列如下：X012P1/3 1/61/2求 X 的分布函數(shù).解：0,x01/3,0 x1 F (x) 1/ 2,1 x21,2 x(2)對離散隨量的分布函數(shù)應注意：F(x)是遞增的階梯函數(shù);其間斷點均為右連續(xù)的;其間斷點即為X的可能取值點;其間斷點的跳躍高

7、度是對應的概率值.2012/9/196離散型連續(xù)型1. 分布列: pn = P(X=xn)1. 密度函數(shù) X p(x)( 唯一)( 不唯一)2. F(x) = P(X x )2. F(x) p(t)dtxixi x 3.F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).點點計較4. P(X=a) = 0F(x)為階梯函數(shù)。5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。 F(a0) F(a).F(a0) = F(a).(2)(4) PaXb = PaXb= PaX0, 令 Y X E(X)Var(X)則有 E(Y)=0, Var(Y)=1.稱 Y 為 X 的標準化.2012/9/1911常用離散分布

8、的方差0-1 分布的方差 = p(1p)二項分布 b(n, p)的方差= np(1p)幾何分布Ge(p) 的方差= (1p)/p2泊松分布 P() 的方差= 常用離散分布的數(shù)學期望0-1 分布的數(shù)學期望 = p二項分布 b(n, p)的數(shù)學期望 = np幾何分布Ge(p) 的數(shù)學期望 = 1/p泊松分布 P() 的數(shù)學期望 = 離散型隨量分布2. 泊松分布其概率密度函數(shù)為： k P (k ) P( X k) k ! e , k 1, n2.3.1 離散型隨量分布1. 二項分布若事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為p，則A在n次重復獨立試驗中恰好發(fā)生k次的概率為：記為，XB(n,P)P (k )Ck

9、q 1 p,n當n=1時，稱 B(1, p) 為 0-1分布.2012/9/19122.3.2 連續(xù)型隨量的分布2. 指數(shù)分布指數(shù)分布在可靠性領(lǐng)域里應用最多，由于它的特殊性，以及在數(shù)學上易處理成較直觀的曲線，故在許多領(lǐng)域中首先把指數(shù)分布 清楚。若產(chǎn)品的或某一特征值t的故障密度為f (t) e t(0，t0)則稱t 服從參數(shù) 的指數(shù)分布。均勻分布 U(a, b)的均值:E(X) = (a+b)/2均勻分布 U(a, b) 的方差= (b a)2/121. 均勻分布 1 0,x ap(x) ,axb x abaF (x) b a , a x b 0,其它 1,b x記為X U(a, b)2.3.2

10、 連續(xù)型隨量的分布1. 均勻分布若隨量X的概率密度函數(shù)為 (x) , a x b, 00,其他則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布。E( X ) 1 ,D( X ) 1 22012/9/1913指數(shù)分布則有：不可靠度F (t) 1 e t(t0)可靠度R(t) 1 F (t) e t(t0)故障率(t) f (t) / R(t) 平均故障間隔時間 MTBF 1 f(t)tR(t)t(t)t指數(shù)分布 Exp() 的均值:E(X) = 1/指數(shù)分布 Exp() 的方差= 1/22.指數(shù)分布 x ,x0 xe1 e ,x0p(x) F(x) 0,x0 0,x0記為 X Exp(),其中 0.特別：指數(shù)分

11、布具有無憶性，即：P( X s+t | X s )=P( X t )2012/9/1914正態(tài)分布 ( t ) 2則有： 不可靠度 F (t ) t 1 e 2 2 dt0 2 (t )2可靠度 R(t) 1 t 1 e 2 2 dt0 2故障率(t) f (t)R(t)正態(tài)分布計算可用數(shù)學代換把上式變換成標準正態(tài)分布，查表簡單計算,得出各參數(shù)值。常用分布函數(shù)3. 正態(tài)分布正態(tài)分布在機械可靠性設(shè)計中大量應用，如材料強度、磨損 、齒輪輪齒彎曲、疲勞強度以及難以判斷其分布的場合。若產(chǎn)品 或某特征值有故障密度1 (t )f (t) e 2 22(t0，0，0)則稱t服從正態(tài)分布。指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布

12、的一個重要性質(zhì)是無 性。無性是產(chǎn)品在經(jīng)過一段時間t0工作之后的剩余 仍然具有原來工作 相同的分布，而與t無關(guān)( 夫性)。這個性質(zhì)說明， 分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過去工作了多久對現(xiàn)在和將來的 分布不發(fā)生影響。實際意義?在“浴盆曲線”中，它是屬于偶發(fā)期這一時段的。指數(shù)分布例題例7-1：一元件服從指數(shù)分布，其平均()為2000小時，求故障率及求可靠度R (100)=? R(1000)=?解： 1 1 5 10 4(小時)2000R(100) e5104100 e0.05 0.95R(1000) e 510 1000 e 0.5 0.60此元件在100小時時的可靠度為0.95，而在1000小時時的可靠度

13、為0.60。2012/9/1915小例題： 設(shè) X N(0, 1),求P(X1.96) ,P(|X|1.96) = 1 (1.96)= 1(1 (1.96) = (1.96)= 0.975 (查表得)P(|X|1.96) = 2 (1.96)1= 2 0.9751 = 0.95(x) 的計算(1) x 0 時, 查標準正態(tài)分布函數(shù)表.(2) x a) =1(a);(3) P(aXb) = (b)(a);(4) 若a 0, 則P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a)= (a) 1 (a) = 2(a)1標準正態(tài)分布N(0, 1)p(x)密度函數(shù)記為 (x),(x)1(x)分布函數(shù)記為(

14、x).x 0 xx(1) (0) 1,2(2) ( x) 1(x)正態(tài)分布的性質(zhì)p(x)p(x) 關(guān)于 是對稱的.在 點 p(x) 取得最大值.若 固定, 改變,0p(x)左右移動,大x形狀保持不變.若 固定, 改變, 越大曲線越平坦; 越小曲線越陡峭.2012/9/1916例題：設(shè) X N(10, 4),求 P(10X13), P(|X10|2).解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5 = 0.4332P(|X 10|2) = P(8X12)= 2(1)1 = 0.6826若 X N(, 2), 則P(Xa) = 1 a 一般正態(tài)分布的標準化定理： 設(shè) X N(

15、, 2),則 Y N(0, 1).推論: 若 X N(, 2), 則 F(x) x 例題：設(shè) X N(0, 1), P(X b) = 0.9515,P(X a) = 0.04947,求 a, b.解: (b) = 0.9515 1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66) = 0.9515,故 b = 1.66而(a) = 0.0495 1/2,所以 a 0,(a) = 0.9505, 反查表得:(1.65) = 0.9505,故 a = 1.652012/9/1917常用分布函數(shù)4. 威 分布威 分布應用比較廣泛，常材料疲勞失效、軸承失效等 分布的。威 分布是用三個參數(shù)來描述，這三個參數(shù)分別

16、是尺度參數(shù)，形狀參數(shù)、位置參數(shù)，其概率密度函數(shù)為：f (t) (t ) 1 e (t ) (t，0，0)正態(tài)變量的線性不變性 定理設(shè) X N (, 2)，則當a 0 時，Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)，則 Y = (X )/ N(0, 1).正態(tài)分布的 3 原則設(shè) X N(, 2), 則P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 ) = 0.9973.例題設(shè) X N(, 2), P(X 5) = 0.045,P(X 3) = 0.618, 求 及 .解: 51.69 = 1.763

17、 =4 0.32012/9/1918威分布則有： 不可靠度 F (t) 1 e (t )可靠度 R(t ) e (t ) 故障率 (t) (t ) 1f(t) =0.5 = - 0 5 =0 =1t不同 值的威分布 （ =1， =2）f(t) =3 =2 =1 =1/2t不同 值的威分布 （ =1，=0）f(t) =2 =1/3 =1/2 =1t不同值的威分布 （=2，=0）2012/9/1919數(shù)理統(tǒng)計分布參數(shù)估計假設(shè)檢驗2.3.3 概率分布的應用在對于產(chǎn)品進行可靠性分析和設(shè)計中，需要通過實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷明確其分布特征，但是在具體應用時究竟采用哪種分布更能夠精確反映工程實際情況是一件的工作

18、。在本書P28表2-1列出各種分布的應用范圍，可供大家參考。5、對數(shù)正態(tài)分布定理 設(shè) X N (, 2)，則 Y = e X 的服從 1 (ln y)2 p(x) exp2,y 0.2y24 威分布特點當和不變，威分布曲線的形狀不變。隨著的減小，曲線由同一原點向右擴展，最大值減小。當和不變，變化時，曲線形狀隨而變化。當值約為3.5時，威分布接近正態(tài)分布。當和不變時，威分布曲線的形狀和尺度都不變，它的位置隨的增加而向右移動。威 分布其它一些特點，1時，表示磨損失效； =1時，表示恒定的隨機失效，這時為常數(shù)； 1時，表示早期失效。當=1，=0時，f (t) et ，為指數(shù)分布，式中 1 為平均 。

19、2012/9/1920例6.1.1 對某型號的20輛汽車其每加侖的行駛里程(km)，觀測數(shù)據(jù)如下：29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.027.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.029.1 29.8 29.6 26.9經(jīng)計算有x 28.695,s2 0.9185,m 28.6n0.5由此給出總體均值、方差和中位數(shù)的估計分別為:28.695, 0.9185 和 28.6。矩法估計的實質(zhì)是用經(jīng)驗分布函數(shù)去替換總體分布，其理論基礎(chǔ)是紋科定理。1 點估計的幾種方法替換原理和矩法估計 一、矩法估計替換原理是指用樣本矩及其函數(shù)去替換

20、相應的總體矩及其函數(shù)，譬如：用樣本均值估計總體均值E(X)，即；用樣本方差估計總體方差Var(X)，即用樣本的 p 分位數(shù)估計總體的 p 分位數(shù)，用樣本中位數(shù)估計總體中位數(shù)。設(shè) x1, x2, xn 是來自總體 X 的一個樣本，用一個統(tǒng)計量 ( x1 , , xn ) 的取值作為 的估計值， 稱為 的點估計（量），簡稱估計。在這里如何構(gòu)造統(tǒng)計量 并沒有明確的規(guī)定，只要它滿足一定的合理性即可。這就涉及到兩個問題：其一 是如何給出估計，即估計的方法問題；其二 是如何對不同的估計進行評價，即估計的好壞判斷標準。一般常用 表示參數(shù)，參數(shù) 所有可能取值組成的集合稱為參數(shù)空間，常用表示。參數(shù)估計問題就是根

21、據(jù)樣本對上述各種未知參數(shù)作出估計。參數(shù)估計的形式有兩種：點估計與區(qū)間估計。2012/9/1921無偏性定義： 設(shè) (x1, xn ) 是 的一個估計， 的參數(shù)空間為，若對任意的，有E() 則稱 是 的無偏估計，否則稱為有偏 估計。1、參數(shù)的點估計用一組樣本去估計總體的某一未知參數(shù)?？傮w期望值估計用樣本的平均值來估計總體的平均值是可行的，樣本容量n越大，估計值精度越高?？傮w方差估計S n 1 n (x x)2n 1n 1 i1離差：樣本中每個觀測值xi平均值xm之差。 的極大似然估計為n 1 x x nii1 2的極大似然估計 2 1 n22(x x ) s *nii1概率函數(shù)P(x,)已知時未

22、知參數(shù)的矩法估計設(shè)總體具有已知的概率函數(shù) P(x, 1, , k)， x1, x2 , , xn 是樣本，假定總體的k階原點矩k存在，若1, , k 能夠表示成 1, , k 的函數(shù)j = j(1, ,k)，則可給出諸j 的矩法估計為j j (a1, ak ),j 1, k ,其中a 1 n x j j n ii12012/9/19223、參數(shù)的區(qū)間估計區(qū)間估計：在給定概率100（1-）%的條件下，對未知參數(shù)的范圍估計。 ：風險度（顯著水平）；1-：置信水平；具有百分數(shù)100（1-）%：置信度；l: 置信下限；u：置信上限。則稱隨機區(qū)間 , 為 的置信水平為1- 的 L U置信區(qū)間，或簡稱 ,

23、 U 是 的1-置信區(qū)間. L L和U 分別稱為 的（雙側(cè)）置信下限和置信上限.這里置信水平1- 的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時，至少有100(1-)%的區(qū)間含有 。3.參數(shù)的區(qū)間估計區(qū)間估計的概念定義： 設(shè) 是總體的一個參數(shù)，其參數(shù)空間為， x1, x2 , , xn是來自該總體的樣本，對給定的一個 (0 2.776，故原假設(shè)，認為該廠生產(chǎn)的鋁材的長度不滿足設(shè)定要求。例7.2.2 某廠生產(chǎn)的某種鋁材的長度服從正態(tài)分布，其均值設(shè)定為240厘米?，F(xiàn)從該廠抽取5件產(chǎn)品，測得其長度為（ ：厘米）239.7 239.6 239 240 239.2試判斷該廠此類鋁材的長度是否滿足設(shè)定要求？解：這是一個

24、關(guān)于正態(tài)均值的雙側(cè)假設(shè)檢驗問題。采用t 檢驗，域為: t t1 2 (n 1)2. t檢驗-未知方差2值的均值檢驗 x P 0 t (N 1) N2解：這是一個假設(shè)檢驗的問題，總體X N(, 0.22),檢驗假設(shè): H : 8 v.s. H : 801這個雙側(cè)檢驗問題的域為| u | u1 /2取置信水平 =0.05，則查表知 u0 975=1.96。用觀測值可計算得x 8015, u 5 8.15 8 0.2 1.6771u 值未落入域內(nèi)，故不能原假設(shè)，即接受原假設(shè)，可認為猜測成立。2012/9/1929無偏估計量的定義：設(shè)g是未知參數(shù)的估計量，若E( g ) (1)則稱g為的無偏估計量?，F(xiàn)

25、計算 2 n 1 s 24 0.025 37.5 36.4152 20.0160由此，在顯著性水平0.05下，原假設(shè)，認為該天生產(chǎn)的鋼板重量不符合要求。例題： 某類鋼板每塊的重量X 服從正態(tài)分布，其一項質(zhì)量指標是鋼板重量的方差不得超過0.016 (kg2)。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的鋼板中隨機抽取25塊，得其樣本方差S2=0.025(kg2)，問該天生產(chǎn)的鋼板重量的方差是否滿足要求。解：原假設(shè)為 H0 : 0.016,2備擇假設(shè)為 H : 2 0.016,1此處n=25，若取=0.05，則查表知 2 24 36.4150.953. 2檢驗-未知的方差2的檢驗(N 1)S 22P 2 (1 2 , N 1) 20(N 1)S 2 P 2 ( , N 1) 22202012/9/1930證明題求證平均值Xm是