信號與系統(tǒng)課件第2章1

1、第 2 章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析 2.0 引 言2.1 連續(xù)時間基本信號 2.2 卷積積分 2.3 系統(tǒng)的微分算子方程 2.4 連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2.5 連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2.6 系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法 7/13/202212.0 引 言 信號與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)是在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析是指信號與系統(tǒng)的整個分析過程都在連續(xù)時間域進行，即所涉及的函數(shù)自變量均為連續(xù)時間t的一種分析方法。自20世紀60年代以來，隨著狀態(tài)變量概念的引入， 現(xiàn)代系統(tǒng)理論的確立以及計算技術(shù)的不斷進步，時域分析法正在許多領(lǐng)域獲得越來越廣泛的應(yīng)用。 7/13/202

2、222.1 連續(xù)時間基本信號 2.1.1 奇異信號 證明(t)的n次積分為 7/13/20223 它是由(t)及其各次積分和各階導(dǎo)數(shù)組成的。自左至右，每一項都是前一項的導(dǎo)數(shù)，或者每一項都是后一項的積分。 這樣得到的函數(shù)族統(tǒng)稱為奇異函數(shù)。 在連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析中，(t)和(-1)(t)=(t)是經(jīng)常使用的兩種基本信號。 7/13/202242.1.2 正弦信號 隨連續(xù)時間t按正弦規(guī)律變化的信號稱為連續(xù)時間正弦信號， 簡稱正弦信號。數(shù)學(xué)上，正弦信號可用時間的sin函數(shù)或cos函數(shù)表示，本書統(tǒng)一采用cos函數(shù)。 正弦信號的一般形式表示為 式中，A、和分別為正弦信號的振幅、角頻率和初相。 (2.

3、1-1)7/13/20225圖 2.1 1 正弦信號 7/13/20226 正弦信號是周期信號，其周期T、頻率f和角頻率之間的關(guān)系為 根據(jù)歐拉公式，式(2.1 - 1)可寫成 7/13/202272.1.3 指數(shù)信號 連續(xù)時間指數(shù)信號，簡稱指數(shù)信號， 其一般形式為 根據(jù)式中A和s的不同取值，具體有下面三種情況。 (1) 若A=a1和s=均為實常數(shù)，則f(t)為實指數(shù)信號， 即 7/13/20228圖 2.1 2 實指數(shù)信號 7/13/20229(2) 若A=1，s=j，則f(t)為虛指數(shù)信號，即 根據(jù)歐拉公式， 虛指數(shù)信號可以表示為 表明ejt的實部和虛部都是角頻率為的正弦振蕩。顯然，ejt也

4、是周期信號，其周期T=2/|。 7/13/202210 (3) 當(dāng)A和s均為復(fù)數(shù)時， f(t)為復(fù)指數(shù)信號。 若設(shè)A=|A|ej，s=+j則f(t)可表示為 7/13/202211圖 2.1 3 復(fù)指數(shù)信號實部和虛部的波形 7/13/2022122.2 卷積積分 2.2.1 卷積的定義 設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(-，)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分 定義為f1(t)和f2(t)的卷積 (Convolution)， 簡記為 7/13/202213即 式中，為虛設(shè)積分變量， 積分的結(jié)果為另一個新的時間信號。 7/13/2022142.2.2 卷積的圖解機理 信號f1(t)與f2(t)

5、的卷積運算可通過以下幾個步驟來完成： 第一步，畫出f1(t)與f2(t)波形，將波形圖中的t軸改換成軸，分別得到f1()和f2()的波形。 第二步，將f2()波形以縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)180，得到f2(-)波形。 第三步，給定一個t值，將f2(-)波形沿軸平移|t|。在t0時，波形往右移。這樣就得到了f2(t-)的波形。 7/13/202215 第四步，將f1()和f2(t-)相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)f1()f2(t-)。 第五步，計算乘積信號f1()f2(t-)波形與軸之間包含的凈面積，便是式(2.2 - 1)卷積在t時刻的值。 第六步，令變量t在(-，)范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操

6、作，最終得到卷積信號f1(t)*f2(t)。 7/13/202216例 2.2 1 給定信號 求y(t)=f1(t)*f2(t)。 圖 2.2 1 f1(t)和f2(t)波形 7/13/202217圖 2.2 2 卷積的圖解表示 7/13/202218 當(dāng)t0時，f2(t-)波形如圖2.2-2(c)所示，對任一，乘積f1()f2(t-)恒為零，故y(t)=0。 當(dāng)0t3時，f2(t-)波形如圖2.2-2(e)所示，此時，僅在03范圍內(nèi)，乘積f1()f2(t-) 不為零，故有 7/13/2022202.2.3 卷積性質(zhì) 性質(zhì)1 卷積代數(shù) 卷積運算滿足三個基本代數(shù)運算律，即交換律 結(jié)合律 分配律

7、7/13/202221性質(zhì)2 f(t)與奇異信號的卷積(1) 信號f(t)與沖激信號(t)的卷積等于f(t)本身，即 (2.2-5)7/13/202222(2) 信號f(t)與沖激偶(t)的卷積等于f(t)的導(dǎo)函數(shù)， 即 7/13/202223(3) 信號f(t)與階躍信號(t)的卷積等于信號f(t)的積分， 即 證 因為所以，式（ 2.2-8）成立（ 2.2-8）7/13/202224性質(zhì)3 卷積的微分和積分 證 7/13/202225(2) 應(yīng)用式(2.2 - 8)及卷積運算的結(jié)合律， 可得 7/13/202226(3) 因為 7/13/202227同理，可將f2(t)表示為 并進一步得到

8、 當(dāng)f1(t)和f2(t)滿足 7/13/202228對另一個函數(shù)進行k次積分的情況，即 7/13/202229性質(zhì)4 卷積時移 7/13/202230由卷積時移性質(zhì)還可進一步得到如下推論： 若f1(t)*f2(t)=y(t)， 則 式中，t1和t2為實常數(shù)。 (2.2-21)7/13/202231例 2.2 2 計算常數(shù)K與信號f(t)的卷積積分。 解 直接按卷積定義， 可得 常數(shù)K與任意信號f(t)的卷積值等于該信號波形凈面積值的K倍。 如果應(yīng)用卷積運算的微積分性質(zhì)來求解，將導(dǎo)致 7/13/202232例 2.2 3 計算下列卷積積分： 7/13/202233 解 (1) 先計算(t)*(

9、t)。因為(-)=0，故可應(yīng)用卷積運算的微積分性質(zhì)求得 7/13/202234 (2) 利用卷積運算的分配律和時移性質(zhì)， 可將給定的卷積計算式表示為 7/13/2022357/13/202236(3) 由于 因此，可直接利用卷積時移性質(zhì)得到 7/13/202237圖 2.2 3 例2.2 - 3圖 7/13/202238圖 2.2 4 應(yīng)用T(t)產(chǎn)生周期信號 7/13/2022397/13/202240 例 2.2 4 圖2.2 - 5(a)所示為門函數(shù)，在電子技術(shù)中常稱矩形脈沖，用符號g(t)表示，其幅度為1，寬度為，求卷積積分g(t)*g(t)。 解 方法一 圖解法。由于門函數(shù)是偶函數(shù)，

10、故其波形繞縱軸翻轉(zhuǎn)180后與原波形重疊，圖中用虛線表示。注意，t=0時，門函數(shù)左邊沿位于x=-/2位置，右邊沿位于x=/2位置，如圖2.2 - 5(b)所示。在任一t時刻，移動門函數(shù)左邊沿位于x=t-/2位置， 右邊沿則位于x=t+/2位置，如圖2.2 - 5(c)所示。按照圖2.2- 5中卷積過程的圖解表示，可計算求得： 7/13/202241圖 2.2 5 例2.2 - 4方法一圖 7/13/2022427/13/202243方法二 應(yīng)用卷積運算的微積分和時移性質(zhì)， 可得 7/13/202244圖 2.2 6 例2.2 - 4方法二圖 7/13/2022452.2.4 常用信號的卷積公式

11、表 2.1 常用信號的卷積公式 7/13/202246一、微分、積分算子1.定義2.運算規(guī)則(1)某些代數(shù)運算（交換）（相乘、因式分解）2.3 系統(tǒng)的算子方程7/13/202247(2)方程兩邊P的公因子不能隨意消去 (3)分式中分子、分母中P的因子不能隨意消去即微、積分運算次序不能隨意顛倒。顯然，對于零初始條件信號，則不受規(guī)則(2)、(3)的限制。一般而言7/13/202248 二、算子方程與傳輸算子算子方程簡記為形式上改變?yōu)?/13/202249其中采用算子方程、傳輸算子描述系統(tǒng)，形式有所不同，其本質(zhì)仍是微分方程。7/13/202250例2：已知連續(xù)系統(tǒng)框圖，求H(P). 設(shè)輔助變量X(t

12、), 則有7/13/2022512.3.3 電路系統(tǒng)算子方程的建立 表 2.2 電路元件的算子模型 7/13/202252 例 2.3 3 電路如圖2.3 - 3(a)所示，試寫出u1(t)對f(t)的傳輸算子。 圖 2.3 3 例2.3 - 3圖 7/13/202253 解 畫出算子模型電路如圖2.3-3(b)所示。由節(jié)點電壓法列出u1(t)的方程為 所以u1(t)對f(t)的傳輸算子為 它代表的實際含義是 7/13/2022542.4 連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2.4.1 系統(tǒng)初始條件 根據(jù)線性系統(tǒng)的分解性，LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)可分解為零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，即 分

13、別令t=0-和t=0+，可得 7/13/202255對于因果系統(tǒng)，由于激勵在t=0時接入，故有yf(0-)=0；對于時不變系統(tǒng)，內(nèi)部參數(shù)不隨時間變化，故有yx(0+)=yx(0-)。因此，式(2.4 - 2)和式(2.4 - 3)可改寫為 同理，可推得y(t)的各階導(dǎo)數(shù)滿足 7/13/202256注意：7/13/202257二、零輸入響應(yīng)算子方程7/13/202258故有三、簡單系統(tǒng)的7/13/202259可見同理7/13/202260四、一般系統(tǒng)的7/13/202261例 2.4 1 某系統(tǒng)輸入輸出微分算子方程為 已知系統(tǒng)的初始條件y(0-)=3, y(0-)=-6，y(0-)=13, 求系

14、統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。 解 由題意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以（2.4-16）7/13/202262其一階和二階導(dǎo)函數(shù)為 (2.4-18)7/13/202263代入初始條件值并整理得在式（2.4-16）(2.4-18)中，令t=0-,并考慮到聯(lián)立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。將各系數(shù)值代入式(2.4 - 16)，最后求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 7/13/2022647/13/2022652.5 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、 的 分解7/13/202266圖形理解：7/13/202267二、基本信號 激勵下的1.沖激響應(yīng)h(t)2.h(t)的計算7/13/2022687/13/2

15、022697/13/2022707/13/2022717/13/2022727/13/202273例 2（例2.5-1） 描述系統(tǒng)的微分方程為 求其沖激響應(yīng)h(t)。 解 由系統(tǒng)微分方程得到相應(yīng)的輸入輸出算子方程為 7/13/202274其H(p)可表示為 7/13/2022757/13/202276三、一般信號 激勵下的7/13/2022777/13/202278(5)顯然，系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。7/13/202279四、 的另一計算公式2.階躍響應(yīng)7/13/2022807/13/202281例1：如圖系統(tǒng)，已知解：或者7/13/202282 例 2.5-6 已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t

16、)=(t)-(t-1)，輸入f(t)=(t+2)-(t-2)。 若以t=0為初始觀察時刻，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，并畫出波形。 解 以初始觀察時刻t=0為時間分界點，將輸入?yún)^(qū)分為歷史輸入f1(t)和當(dāng)前輸入f2(t)，即 7/13/202283 所謂零輸入響應(yīng)，是指歷史輸入f(t)作用于系統(tǒng)，在t0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)， 即 7/13/202284 當(dāng)輸入f2(t)作用于系統(tǒng)，在t0區(qū)間上產(chǎn)生的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)，即 7/13/202285課堂練習(xí)1：7/13/202286課堂練習(xí)2：7/13/2022872.6 系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法 2.6.1 齊次解和特解 按照微

17、分方程的經(jīng)典解法，其完全解y(t)由齊次解yh(t)和特解yp(t)兩部分組成， 即 7/13/202288 1. 齊次解 齊次解yh(t)是下面齊次微分算子方程 滿足0+初始條件y(j)(0+)(j=0, 1, , n-1)的解。 首先，將A(p)因式分解為 式中，i為特征方程A(p)=0的第i個根，ri是重根的階數(shù)。 7/13/202289然后，分別求解算子方程 得到齊次解的第i個分量， 即 最后，將各分量相加，求得齊次解 7/13/202290表 2.3 特征根及其相應(yīng)的齊次解 7/13/2022912. 特解表 2.4 幾種典型自由項函數(shù)相應(yīng)的特解 7/13/2022922.6.2 響

18、應(yīng)的完全解 將微分方程的齊次解和特解相加就得到系統(tǒng)響應(yīng)的完全解，即 對于n階系統(tǒng)，需要通過n個初始條件來確定完全解中的待定系數(shù)。 7/13/202293例 2.6-1 給定某LTI系統(tǒng)的微分方程為 7/13/202294(1) 當(dāng)輸入f(t)=e-t時，由表2.4可設(shè)微分方程特解為 7/13/202295在上面兩式中，令t=0，并考慮已知初始條件，得 7/13/202296(2) 當(dāng)輸入f(t)=10 sin t，t0時，由表2.4知，其特解可表示為 7/13/202297相應(yīng)一階導(dǎo)數(shù) 7/13/202298 一個連續(xù)系統(tǒng)的完全響應(yīng)，可以根據(jù)引起響應(yīng)的不同原因，將它分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分。也可以按照數(shù)學(xué)上對系統(tǒng)微分方程的求解過程， 將完全響應(yīng)分解為齊次解和特解兩部分。其中，齊次解的