平行四邊形--《梯形》講義教案

1、國子學(xué)輔學(xué)科教師輔導(dǎo)教案組長審核：學(xué)員編號： 年 級： 課時數(shù)： 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 學(xué)科教師：授課主題平行四邊形-梯形教學(xué)目的1.探索并掌握梯形的有關(guān)概念和基本性質(zhì)，探索、了解并掌握等腰梯形的性質(zhì)2.能夠運用梯形的有關(guān)概念和性質(zhì)進行有關(guān)問題的論證和計算，進一步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力和計算能力3.通過添加輔助線，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問題，使學(xué)生體會圖形變換的方法和轉(zhuǎn)化的思想教學(xué)重難點重點：等腰梯形的性質(zhì)及其應(yīng)用難點：解決梯形問題的基本方法（將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形及正確運用輔助線），及梯形有關(guān)知識的應(yīng)用授課日期及時段年 月 日教學(xué)內(nèi)容一、教學(xué)目標(biāo)1：1.探索并掌握梯形

2、的有關(guān)概念和基本性質(zhì)，探索、了解并掌握等腰梯形的性質(zhì)2.能夠運用梯形的有關(guān)概念和性質(zhì)進行有關(guān)問題的論證和計算，進一步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力和計算能力3.通過添加輔助線，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問題，使學(xué)生體會圖形變換的方法和轉(zhuǎn)化的思想教學(xué)目標(biāo)2：1通過探究教學(xué)，使學(xué)生掌握“同一底上兩底角相等的梯形是等腰梯形”這個判定方法，及其此判定方法的證明 2能夠運用等腰梯形的性質(zhì)和判定方法進行有關(guān)的論證和計算，體會轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)學(xué)建模的思想，會用分析法尋求證明題思路，從而進一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和計算能力 3通過添加輔助線，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問題，使學(xué)生體會圖形變換的方法和轉(zhuǎn)

3、化的思想二、重點、難點11重點：等腰梯形的性質(zhì)及其應(yīng)用2難點：解決梯形問題的基本方法（將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形及正確運用輔助線），及梯形有關(guān)知識的應(yīng)用3難點的突破方法：對于梯形的概念要注意以下幾點：（1）梯形和平行四邊形的共同點：都是凸四邊形；（2）它們的區(qū)別：平行四邊形是有兩組對邊平行；梯形只有一組對邊平行，而另一組對邊不平行，即平行四邊形平行的邊是相等的，而梯形平行的邊是不能相等的；（3）對于上、下底（這是習(xí)慣叫法，不是定義）是以長短來區(qū)分的，而不是指位置關(guān)系在研究梯形時，常用的輔助線是平行移動梯形的一腰或一條對角線，或者從梯形上底的兩個端點作梯形的高，把梯形的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于平行四邊

4、形或三角形的問題，應(yīng)用三角形或平行四邊形的知識來解決梯形問題所以學(xué)好本大節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生會添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把未知轉(zhuǎn)化為已知，用已掌握的知識來研究新問題，教學(xué)中要使學(xué)生熟悉本大節(jié)中常用的輔助線，并明確這些輔助線對于問題轉(zhuǎn)化的作用教學(xué)中要提醒學(xué)生，當(dāng)證得新命題之后，要注意直接引用它們，不要再添加輔助線重復(fù)命題的證明過程解決梯形問題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（圖1）；（2）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中（圖2）；（3）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中（圖3）；（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形（圖4）；（5）“等積變形”，連

5、結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)成三角形（圖5） 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5綜上所述：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決在教學(xué)時讓學(xué)生注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助 要注意的是：本教材為了降低難度，所有需要的輔助線在題目中都給出來了，因此我們在教學(xué)中要適當(dāng)?shù)剡x講有關(guān)輔助線添加的題目，沒必要讓學(xué)生去做一些比較復(fù)雜的題等腰梯形的性質(zhì)與等腰三角形相仿，因此在推導(dǎo)其性質(zhì)或需要添加輔助線時，可以借助等腰三角形來研究尤其是根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形，可得到等腰梯形是軸對稱圖

6、形這條性質(zhì)，在總結(jié)等腰梯形的性質(zhì)時，不要漏掉教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生證明等腰梯形的性質(zhì)，尤其在證明“等腰梯形同一底上的兩個角相等”這條性質(zhì)時，“平移腰”和“作高”這兩種常見的輔助線，在教學(xué)中頭一次出現(xiàn)，可以借此機會，給學(xué)生介紹這兩種輔助線的添加方法重點、難點21重點：掌握等腰梯形的判定方法并能運用2難點：等腰梯形判定方法的運用3難點的突破方法：教科書通過用P119的思考引導(dǎo)學(xué)生得到“同一底上兩底角相等的梯形是等腰梯形”這個判定方法，教材雖直接給出了等腰梯形的判定方法并未將其進行證明，但是在P119的思考中，提出了“你能證明嗎？”這個問題，因此我們應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生將其判定方法進行證明另外教學(xué)中要注意，

7、新教材中并未提出 “對角線相等的梯形是等腰梯形”這個命題因此我們不能將其作為判定方法直接引用，故判定一梯形是否為等腰梯形的方法有兩種（1）定義（兩腰相等的梯形是等腰梯形）；（2）在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定方法一般是先判定一個四邊形是梯形，然后再用“兩腰相等”或“同一底上的兩個角相等”來判定它是等腰梯形判定一個四邊形是梯形時，根據(jù)梯形定義，判定另兩邊不平行比較困難，可以通過判定平行的兩邊不相等來說明梯形的畫圖：一般先畫出有關(guān)的三角形，在此基礎(chǔ)上再畫出有關(guān)的平行四邊形，最后得到所求圖形（三角形奠基法）三、例題的意圖分析本節(jié)課安排了三個例題，例1是教材P118中的例1它是等

8、腰梯形性質(zhì)的直接運用題目比較簡單，在教學(xué)中，最好讓學(xué)生分析、講解、解答同時也要注意引導(dǎo)學(xué)生，在證明EAD是等腰三角形時，要用到梯形的定義“上下底互相平行（ADBC）”這一點 例2與例3都是補充的題目，例2是一道計算題，例3是一道證明題，其用意一是為了鞏固其概念，二是輔助線添加方法的練習(xí)，這兩個題目的輔助線均是“平移一腰”，老師們在教學(xué)或練習(xí)中也可以再補充一些其它輔助線添加方法的題目，讓學(xué)生多了解多見識（但由于本教材在梯形這一部分知識中，并沒有添加輔助線的要求，因此所選的題目不要太難）通過題目的練習(xí)與講解應(yīng)讓學(xué)生知道：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉

9、的平行四邊形和三角形問題來解決在教學(xué)時應(yīng)讓學(xué)生注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助四、課堂引入11創(chuàng)設(shè)問題情境引出梯形概念【觀察】（教材P117中的觀察）右圖中，有你熟悉的圖形嗎？它們有什么共同的特點？2畫一畫：在下列所給圖中的每個三角形中畫一條線段，【思考】（1）怎樣畫才能得到一個梯形？（2）在哪些三角形中，能夠得到一個等腰梯形？梯形一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形（強調(diào)：梯形與平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系；上、下底的概念是由底的長短來定義的，而并不是指位置來說的）（1）一些基本概念（如圖）：底、腰、高（2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形（3）直角梯形：

10、有一個角是直角的梯形叫做直角梯形3做做探索等腰梯形的性質(zhì)（引入用軸對稱解決問題的思想）在一張方格紙上作一個等腰梯形，連接兩條對角線【問題一】圖中有哪些相等的線段？有哪些相等的角？這個圖形是軸對稱圖形嗎？學(xué)生畫圖并通過觀察猜想；【問題二】這個等腰梯形的兩條對角線的長度有什么關(guān)系？結(jié)論：等腰梯形是軸對稱圖形，上下底的中點連線是對稱軸等腰梯形同一底上的兩個角相等等腰梯形的兩條對角線相等、課堂引入21復(fù)習(xí)提問：（1）什么樣的四邊形叫梯形，什么樣的梯形是直角梯形、等腰梯形？（2）等腰梯形有哪些性質(zhì)？它的性質(zhì)定理是怎樣證明的？（3）在研究解決梯形問題時的基本思想和方法是什么？常用的輔助線有哪幾種？我們已經(jīng)

11、掌握了等腰梯形的性質(zhì)，那么又如何來判定一個梯形是否是等腰梯形呢？今天我們就共同來研究這個問題 2【提出問題】：前面所學(xué)的特殊四邊形的判定基本上是性質(zhì)的逆命題等腰梯形同一底上兩個角相等的逆命題是什么？ 命題：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形問：這個命題是否成立？能否加以證明，引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證啟發(fā)：能否轉(zhuǎn)化為特殊四邊形或三角形，鼓勵學(xué)生大膽猜想，和求證已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=C求證：AB=CD分析：我們學(xué)過“如果一個三角形中有兩個角相等，那么它們所對的邊相等”因此，我們只要能將等腰梯形同一底上的兩個角轉(zhuǎn)化為等腰三角形的兩個底角，命題就容易證明了證明方法1：過點D作DE

12、AB交BC于點F，得到DECABDE， B=1，B=C， 1=CDEDC又ADBC，DEAB=DC證明時，可以仿照性質(zhì)證明時的分析，來啟發(fā)學(xué)生添加輔助線DE證明方法二：用常見的梯形輔助線方法：過點A作AEBC， 過D作DFBC，垂足分別為E、F（見圖一）證明方法三： 延長BA、CD相交于點E（見圖二） 圖一 圖二 通過證明：驗證了命題的正確性，從而得到：等腰梯形判定方法 等腰梯形判定方法 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形幾何表達式：梯形ABCD中，若B=C，則AB=DC【注意】等腰梯形的判定方法：先判定它是梯形，再用“兩腰相等”“或同一底上的兩個角相等”來判定它是等腰梯形五、例習(xí)題分析1

13、例1（教材P118的例1）略（延長兩腰 梯形輔助線添加方法三）例2（補充）如圖，梯形ABCD中，ADBC，B=70，C=40，AD=6cm，BC=15cm求CD的長分析：設(shè)法把已知中所給的條件都移到一個三角形中，便可以解決問題其方法是：平移一腰，過點A作AEDC交BC于E，因此四邊形AECD是平行四邊形，由已知又可以得到ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BCEC=BCAD=9cm 解（略） 例3（補充）已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，D90，CABABC， BEAC于E求證：BECD分析：要證BE=CD，需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形，其方法是：平移一腰，過點

14、D作DFAB交BC于F，因此四邊形ABFD是平行四邊形，則DF=AB，由已知可導(dǎo)出DFC=BAE，因此RtABERtFDC（AAS），故可得出BE=CD證明（略）另證：如圖，根據(jù)題意可構(gòu)造等腰梯形ABFD，證明ABEFDC即可五、例、習(xí)題分析2例1（教材P119的例2）例2（補充） 證明：對角線相等的梯形是等腰梯形已知：如圖，梯形ABCD中，對角線AC=BD求證：梯形ABCD是等腰梯形分析：證明本題的關(guān)鍵是如何利用對角線相等的條件來構(gòu)造等腰三角形在ABC和DCB中，已有兩邊對應(yīng)相等，要能證1=2，就可通過證ABC DCB得到AB=DC證明：過點D作DEAC，交BC的延長線于點E，又 ADBC，

15、 四邊形ACED為平行四邊形， DE=AC AC=BD ， DE=BD 1=E 2=E ， 1=2 又 AC=DB，BC=CE， ABCDCB AB=CD 梯形ABCD是等腰梯形說明：如果AC、BD交于點O，那么由1=2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形對角線相交，可以得到以交點為頂點的兩個等腰三角形，這個結(jié)論雖不能直接引用，但可以為以后解題提供思路問：能否有其他證法，引導(dǎo)學(xué)生作出常見輔助線，如圖，作AEBC，DFBC，可證 RtABCRtCAE，得1=2例3（補充） 已知：如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，CFBE交BD于G，F(xiàn)是垂足求證：四邊形ABGE是等腰梯形分析：先證明O

16、EOG，從而說明OEG45，得出EGAB，由AE，BG延長交于O，顯然EGAB得出四邊形ABGE是梯形，再利用同底上的兩角相等得出它為等腰梯形例4 （補充）畫一等腰梯形，使它上、下底長分別4cm、12cm，高為3cm，并計算這個等腰梯形的周長和面積分析：梯形的畫圖題常常通過分析，找出需添加的輔助線，歸結(jié)為三角形或平行四邊形的作圖，然后，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系，畫出所要求的梯形如圖，先算出AB長，可畫等腰三角形ABE，然后完成AECD的畫圖畫法：畫ABE，使BE=124=8cm. 延長BE到C使EC=4cm. 分別過A、C作ADBC ，CDAE，AD、CD交于點D四邊形ABCD就是所求的等腰梯形解

17、：梯形ABCD周長4125226cm 答：梯形周長為26cm，面積為24六、隨堂練習(xí)11填空（1）在梯形ABCD中，已知ADBC，B=50，C=80，AD=a，BC=b，,則DC=（2）直角梯形的高為6cm，有一個角是30，則這個梯形的兩腰分別是和（3）等腰梯形 ABCD中，ABDC，A C平分DAB，DAB=60，若梯形周長為8cm，則AD=2已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD，AD=BC，BD平分ABC，A=60，梯形周長是20cm，求梯形的各邊的長 （AD=DC=BC=4，AB=8）3求證：等腰梯形兩腰上的高相等六、隨堂練習(xí)21下列說法中正確的是（ ）（A）等腰梯形兩底

18、角相等 （B）等腰梯形的一組對邊相等且平行（C）等腰梯形同一底上的兩個角都等于90度（D）等腰梯形的四個內(nèi)角中不可能有直角2已知等腰梯形的周長25cm,上、下底分別為7cm、8cm，則腰長為cm3已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一條對角線和一腰垂直，求這個梯形的各個角的度數(shù)4已知，如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，1=2，AC=BD，求證：四邊形ABCD是等腰梯形（略證，AD=BC， ABDC）5已知，如圖，E、F分別是梯形ABCD的兩底AD、BC的中點，且EFBC，求證：梯形ABCD是等腰梯形七、課后練習(xí)11填空：已知直角梯形的兩腰之比是12，那么該梯形的最大角為，最小角為2已知等腰梯形的銳角等于60它的兩底分別為15cm和4