自考高數(shù)一電子書(shū)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)教學(xué)過(guò)程1-1 初等函數(shù)一、 基本初等函數(shù)我們把冪函數(shù)y=x(R)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a0且a1)、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)、三角函數(shù)y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx和反三角函數(shù)y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)很多時(shí)候也把多項(xiàng)式函數(shù)y=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0看作基本初等函數(shù)二、 復(fù)合函

2、數(shù)定義1 如果y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=(x)，且(x)的值域與y=f(u)的定義域的交非空，那么，y通過(guò)中間變量u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為是由函數(shù)y=f(u)與u=(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(x)學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)有兩方面要求：一方面，會(huì)把幾個(gè)作為中間變量的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，這個(gè)復(fù)合過(guò)程實(shí)際上是把中間變量依次代入的過(guò)程；另一方面，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)，這些較簡(jiǎn)單的函數(shù)往往是基本初等函數(shù)或是基本初等函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)例1 已知y=lnu, u=x2，試把y表示為x的函數(shù)解 y=lnu=lnx2, x(-,0)(0,+)例2

3、 設(shè)y=u2, u=tanv, v=，試把y表示為x的函數(shù)解 y=u2=tan2v=tan2復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不限于一個(gè)例3 函數(shù)y=esinx是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的？解 令u=sinx，則y=eu，故y=esinx是由y=eu, u=sinx復(fù)合而成的例4 函數(shù)y=tan3（2lnx+1）是由哪些初等函數(shù)復(fù)合而成的？解 令u=tan（2lnx+1），則y=u3；再令v=2lnx+1，則u=tanv.故y=tan3（2lnx+1）是由y=u3, u=tanv, v=2lnx+1復(fù)合而成的三、 初等函數(shù)定義2 由常數(shù)和基本初等函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合而成的，并且能用一個(gè)式子表

4、示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)例如：等都是初等函數(shù)例5 分解解 令u=sin(1+3x2)，得y=eu；再令v=1+3x2，得u=sinv故是由y=eu, u=sinv, v=1+3x2復(fù)合而成的定義3 設(shè)a, 0,數(shù)集 x| |x-a|,x R,即實(shí)數(shù)軸上和a點(diǎn)的距離小于的點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)a的鄰域，記作U（a,）,點(diǎn)a與數(shù)分別稱(chēng)為這鄰域的中心和半徑有時(shí)用U（a）表示點(diǎn)a的一個(gè)泛指的鄰域數(shù)集x|0|x-a|0時(shí)，f(x)=1；當(dāng)xn；0， 當(dāng)m0, sin(-x)0于是綜上所述，得 的特點(diǎn)：(1)它是“”型，即若形式地應(yīng)用商求極限的法則，得到的結(jié)果是；(2)在分式中同時(shí)出現(xiàn)三角函數(shù)和x的冪推廣 如果(

5、x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 或)，則 =1例1 求解=例2 求解=例3 求解=例4 求解令arcsinx=t，則x=sint且x0時(shí)t0所以=例5 求解=二、觀察當(dāng)x+時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)：x1210100010000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當(dāng)x取正值并無(wú)限增大時(shí)，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會(huì)超過(guò)3實(shí)際上如果繼續(xù)增大x即當(dāng)x+時(shí)，可以驗(yàn)證是趨近于一個(gè)確定的無(wú)理數(shù)e2.當(dāng)x-時(shí)，函數(shù)有類(lèi)似的變化趨勢(shì)，只是它是逐漸減小而趨向于e綜上所述，得 =e=e的特點(diǎn)：（）lim(1+無(wú)窮小)；（）“無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù) 推廣（）

6、若(x)= ,(a可以是有限數(shù)x0, 或)，則=e；（）若(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 或)，則=e變形令=t，則x時(shí)t0，代入后得到 如果在形式上分別對(duì)底和冪求極限，得到的是不確定的結(jié)果1，因此通常稱(chēng)之為1不定型例6 求解令=t，則x=當(dāng)x時(shí)t0，于是 =e 2例7 求解令=1+u，則x=2當(dāng)x時(shí)u0，于是 =e -1例8 求解設(shè)t=tanx，則cotx當(dāng)x0時(shí)t0，于是 =e1-6 函數(shù)的連續(xù)性一、 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)所謂“函數(shù)連續(xù)變化”， 在直觀上來(lái)看，它的圖象是連續(xù)不斷的，或者說(shuō)“可以筆尖不離紙面地一筆畫(huà)成”；從數(shù)量上分析，當(dāng)自變量的變化微小時(shí)，函數(shù)值的變化也是很微小的例如，函數(shù)（

7、）g(x)=x+1，（）f1(x)=，（）f2(x)=，作出它們的圖像3y=x-1（）函數(shù)g(x)=x+1在x=1處有定義，圖象在對(duì)應(yīng)于自變量x=1的點(diǎn)處是不間斷的或者說(shuō)是連續(xù)的表現(xiàn)在數(shù)量上，g(x)在x=1處的極限與函數(shù)值相等，即成立g(x)=g(1)（）函數(shù)f1(x)=在x=1處有定義，圖象在對(duì)應(yīng)于自變量x=1的點(diǎn)處是間斷的或者說(shuō)是不連續(xù)的表現(xiàn)在數(shù)量上，f1(x)在x=1處的極限與函數(shù)值不等進(jìn)一步還可以看出：f1(x), f1(x)存在卻不相等，因此f1(x)不存在（）函數(shù)f2(x)=在x=1處無(wú)定義，圖象在對(duì)應(yīng)于自變量x=1的點(diǎn)處是間斷的或者說(shuō)是不連續(xù)的表現(xiàn)在數(shù)量上，f2(x)在x=1處

8、的極限與函數(shù)值不等進(jìn)一步還可以看出： f2(x)=2雖然存在，但f2(1)卻無(wú)意義，所以兩者都沒(méi)有極限與函數(shù)值之間的相等關(guān)系定義1 如果函數(shù)f(x)在x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，且f(x)=f(x0)，就稱(chēng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)例1 研究函數(shù)f(x)=x2+1在x=2處的連續(xù)性解（）函數(shù)f(x)=x2+1在x=2的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義f(2)=5，（）f(x)= (x2+1)=5，（）f(x)=f(2)因此，函數(shù)f(x)=x2+1在x=2處連續(xù)注意從定義1可以看出，函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：(1)函數(shù)f(x)在x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義；(2)極限f

9、(x)存在；(3)極限值等于函數(shù)值，即f(x)=f(x0)如果函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0變到x，我們稱(chēng)差值x-x0為自變量x在x0處的改變量或增量，通常用符號(hào)x表示，即x=x-x0此時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值由f(x0)變到f(x)，我們稱(chēng)差值f(x)-f(x0)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的改變量或增量，記作y，即y = f(x)-f(x0)由于x=x-x0，所以x=x0+x，因而y = f(x)-f(x0)=f(x0+x )-f(x0)利用增量記號(hào)，xx0等價(jià)于x=x-x00，f(x)=f(x0)等價(jià)于f(x)-f(x0)=0，上式又等價(jià)于=0定義 設(shè)函數(shù)f(x)在x0及其附近有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量x趨于零時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量y=f(x0+x )-f(x0)也趨于零，即=0，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，稱(chēng)x0為函數(shù)f