北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第八單元《平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)》教學(xué)建議

1、平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)（進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)及其實(shí)際意義）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合解決問題的過程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)，體會(huì)平均數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。2.在運(yùn)用平均數(shù)的知識(shí)解釋簡(jiǎn)單生活現(xiàn)象、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步積累分析和處理數(shù)據(jù)的方法，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。編寫說明本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生認(rèn)識(shí)平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實(shí)際意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。平均數(shù)是一個(gè)重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，在日常生活中，特別是在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常用到，它既可以反映出一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，也可以用來進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)比較，看出組與組之間的差別。為此，教科書安排了三個(gè)問題。其中，第一個(gè)問題是利用北京市6歲男童、女童的平均身高，解釋1.2m免費(fèi)乘車的合理性：

2、第二個(gè)問題是體會(huì)極端數(shù)據(jù)（個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏?。?duì)平均數(shù)的影響：第三個(gè)問題是談對(duì)平均數(shù)的新認(rèn)識(shí)。目的是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)，體會(huì)平均數(shù)不是一個(gè)孤立的數(shù)據(jù)，而是代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，及一些實(shí)際問題的解決需要應(yīng)用平均數(shù)的知識(shí)。根據(jù)有關(guān)規(guī)定，我國(guó)對(duì)學(xué)齡前兒童實(shí)行免票乘車，即一名成年人可以攜帶一名身高不足1.2m的兒童免費(fèi)乘車。這是平均數(shù)在生活中的實(shí)際應(yīng)用。教科書描述了問題情境，提出了兩個(gè)問題，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)對(duì)1.2m這個(gè)數(shù)據(jù)的看法，說說這個(gè)數(shù)據(jù)是如何得到的。根據(jù)提供的北京市6歲男童、女童的平均身高的數(shù)據(jù)，解釋1.2m免費(fèi)乘車規(guī)定的合理性。目的是進(jìn)一步體會(huì)平均數(shù)的意義，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。下表是“新苗杯

3、”少兒歌手大獎(jiǎng)賽的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表。教科書呈現(xiàn)了“新苗杯”少兒歌手大獎(jiǎng)賽的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表，提出三個(gè)問題。第（1）題是計(jì)算3位選手的平均分，排出名次；第（2）題討論為何在比賽中要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分；第（3）題是去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，再計(jì)算每位選手的得分，并排出名次。在問題解決的過程中，讓學(xué)生體會(huì)極端數(shù)據(jù)（個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏?。?duì)平均數(shù)的影響，從而理解比賽中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分的合理性。說一說，你對(duì)平均數(shù)有了哪些新的認(rèn)識(shí)？教科書呈現(xiàn)了學(xué)生可能的兩種想法，即淘氣、笑笑討論的想法，啟發(fā)學(xué)生從多角度來認(rèn)識(shí)平均數(shù)。例如，淘氣認(rèn)為平均數(shù)具有代表性，說明了平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量；笑笑認(rèn)

4、為一組數(shù)據(jù)中任何一個(gè)數(shù)有變化，平均數(shù)都會(huì)隨著變化。目的是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)平均數(shù)的意義，并能用自己的語言解釋其實(shí)際意義，體驗(yàn)運(yùn)用已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決問題的樂趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)建議根據(jù)有關(guān)規(guī)定，我國(guó)對(duì)學(xué)齡前兒童實(shí)行免票乘車，即一名成年人可以攜帶一名身高不足1.2m的兒童免費(fèi)乘車。教學(xué)時(shí)，建議參考以下教學(xué)環(huán)節(jié)。首先，建議教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)學(xué)過的關(guān)于平均數(shù)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生舉例說明自己對(duì)平均數(shù)的理解，方便教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行教學(xué)。其次，建議教師出示此問題，鼓勵(lì)學(xué)生自己讀題，理解題意，在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生分小組展開對(duì)兩個(gè)問題的討論與交流。最后，組織全班交流。交流時(shí)，要關(guān)注學(xué)生對(duì)問題的思考過程。

5、對(duì)第（1）題的理解，學(xué)生可能是多方面的，如通過調(diào)查得到的，這個(gè)數(shù)是個(gè)平均數(shù)等。在教學(xué)中，學(xué)生對(duì)規(guī)定的身高不足1.2m的兒童免費(fèi)乘車的這個(gè)數(shù)據(jù)可能有不同的看法，借此，可出示第（2）題中的調(diào)查數(shù)據(jù)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說話，理解1.2m這個(gè)數(shù)據(jù)（免票線）確定的合理性，從而體會(huì)平均數(shù)在生活中的實(shí)際意義。下表是“新苗杯”少兒歌手大獎(jiǎng)賽的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表。教學(xué)時(shí)，建議參考以下教學(xué)環(huán)節(jié)。首先，建議教師出示教科書中的統(tǒng)計(jì)表，讓學(xué)生把統(tǒng)計(jì)表填寫完整，并排出名次。其中，選手1的平均分為96分，選手2的平均分為95分，選手3的平均分為90分，從高到低名次依次是：選手1，選手2，選手3。其次，建議教師提出問題：“在實(shí)際的比賽

6、中，通常都采取去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分、然后再計(jì)算平均數(shù)的計(jì)分方法。你能說出其中的道理嗎？”提出問題后，組織學(xué)生進(jìn)行討論與交流。在教學(xué)中，大部分學(xué)生能想到這樣比較公平，因?yàn)橛械脑u(píng)委打分太高，有的評(píng)委打分太低，會(huì)影響選手的最終名次。雖然學(xué)生不能準(zhǔn)確描述平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響，但只要學(xué)生能理解把最高分和最低分去掉后，再求平均分就更具有代表性即可。學(xué)生表達(dá)得合理，教師就應(yīng)給予肯定。再次，讓學(xué)生去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再算一算3位選手的最終成績(jī)，并排出名次。此時(shí)，選手1的平均分為96分，選手2的平均分為97分，選手3的平均分為89分，從高到低名次依次是：選手2，選手1，選手3。最后，組織學(xué)生

7、討論為何兩次計(jì)算的結(jié)果不同，名次也不同，讓學(xué)生體會(huì)到極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響。需要說明的是，教師要清楚平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)（個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏?。r(shí)，平均數(shù)會(huì)受其影響，不能很好地代表這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。因此，會(huì)出現(xiàn)兩次計(jì)算平均分、名次有變化的情況。這些不需要讓學(xué)生去記憶和背誦，只要學(xué)生結(jié)合舉例了解即可。說一說，你對(duì)平均數(shù)有了哪些新的認(rèn)識(shí)？教學(xué)時(shí)，建議直接出示問題“你對(duì)平均數(shù)有了哪些新的認(rèn)識(shí)”，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言舉例進(jìn)行描述，然后組織學(xué)生交流。一般來說，學(xué)生能想到平均數(shù)有代表性，能表示一組數(shù)據(jù)的平均水平。通過對(duì)上一個(gè)問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生也能體會(huì)到平均數(shù)容易受極

8、端數(shù)據(jù)的影響，有時(shí)候不能很好地代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。只要學(xué)生描述得合理即可。對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，鼓勵(lì)其查閱更多的資料，進(jìn)一步了解平均數(shù)，感受平均數(shù)與生活的聯(lián)系，體會(huì)平均數(shù)在日常生活中的作用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。練一練“練一練”一共3道題。第1題是配合著問題串，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)平均分去作出判斷，加深學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解。第2題則鼓勵(lì)學(xué)生在新的情境中，計(jì)算出平均年齡，進(jìn)一步加深對(duì)平均數(shù)的理解。第3題是一道拓展題，側(cè)重對(duì)數(shù)據(jù)的整理、分析過程。第1題理解該如何去計(jì)算數(shù)學(xué)和英語喜歡程度的平均分，根據(jù)平均分如何去作出判斷。同時(shí)，注重學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解。交流時(shí)，要關(guān)注對(duì)學(xué)習(xí)困難學(xué)生的指導(dǎo)。答案：（1）數(shù)學(xué)喜歡

9、程度的平均分是3分，英語喜歡程度的平均分是2.4分；（2）對(duì)于這個(gè)組的學(xué)生，數(shù)學(xué)更受歡迎。第2題交流時(shí)，關(guān)注學(xué)生對(duì)第（2）題的描述和分析，先讓其估計(jì)平均年齡是變大了還是變小了，并讓其說說理解，從中讓學(xué)生體會(huì)到相對(duì)于這一組數(shù)據(jù)而言，45是個(gè)極端數(shù)據(jù)，對(duì)平均年齡會(huì)有影響的。答案：（1）這些小朋友的平均年齡為7.875歲；（2）老師加入后，做游戲的人的平均年齡為12歲。第3題本題是一道拓展題，不作全班統(tǒng)一要求。在交流時(shí)，要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的整理、分析過程，學(xué)生整理和分析數(shù)據(jù)的方法可能有所不同，但只要學(xué)生分析的結(jié)論清楚，能反映實(shí)際背景即可。這道題目要讓學(xué)生明白分?jǐn)?shù)越低，喜好程度越高。答案：按照喜好程度從

10、高到低排列如下：蘋果得分是6，香蕉得分是9，西瓜得分是12，橘子得分是17，葡萄得分是19，梨得分是25，桃得分是28，菠蘿得分是28?！叭サ糇罡叻趾妥畹头帧钡膯⑹窘鼛啄陙?，電視屏幕上不斷出現(xiàn)各種競(jìng)賽的實(shí)況。當(dāng)一個(gè)演員表演完畢后，先由10個(gè)（或若干個(gè)）評(píng)委亮分，裁判長(zhǎng)用這10個(gè)數(shù)據(jù)判分時(shí)，總要去掉最高分和最低分，再用其余的8個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為該演員的最后得分?，F(xiàn)在這已是人們的常識(shí)了。這一常識(shí)背后的數(shù)學(xué)，就是數(shù)據(jù)處理中的代表數(shù)問題。算術(shù)平均數(shù)是最常用的技巧，在我國(guó)也是最普及的數(shù)學(xué)知識(shí)之一。任何一個(gè)干部和工人，至少都懂得平均數(shù)和百分比這兩個(gè)概念?！拔覐S工人平均工資是多少，這次有百分之幾的人可以加工

11、資”這類話人人都能懂。學(xué)生的成績(jī)用總分來衡量，也會(huì)用總平均來衡量。比較兩班學(xué)生的某科成績(jī)，也用各班該科得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。至此，人們將平均值奉為至寶，似乎是金科玉律、無可更改的科學(xué)定則。實(shí)際上不盡然，用算術(shù)平均數(shù)來作為代表數(shù)，有兩個(gè)缺點(diǎn)：一是容易受異常值的影響；二是計(jì)算比較復(fù)雜，不能一眼看出。前面所說的去掉最高分和最低分就是為了避免第一個(gè)缺點(diǎn)。讓我們看一個(gè)極端的例子。如果一個(gè)班級(jí)有30個(gè)學(xué)生，其中兩個(gè)學(xué)生逃學(xué)曠課，數(shù)學(xué)考試只得2分和10分。此外，有5個(gè)學(xué)生得90分，22個(gè)得80分，1個(gè)得78分。此時(shí)，該班數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分是：（2+10+590+2280+78）=230076.67（分）

12、確實(shí)，如以76.67分作為該班平均分，太受那兩個(gè)得2分和10分的同學(xué)牽連了。結(jié)果不能反映大多數(shù)人的真實(shí)狀況。從直觀上看，應(yīng)在80分或80分以上才對(duì)。于是我們就去掉一個(gè)最低分，總平均約是229879.2分；如果去掉兩個(gè)最低分，總平均則是228881.7分。這似乎比較符合實(shí)際了。但是這種去掉最高分或最低分的方法，在計(jì)算全班總成績(jī)時(shí)未免有“弄虛作假”之嫌。明明是本班的學(xué)生，為何不計(jì)入總分呢？所以去掉最高分和去掉最低分的方法，不見得都合適。上述的以平均數(shù)作為代表數(shù)，由于異常值的影響往往不能反映中等水平，一般以為的平均數(shù)就是中等水平，乃是誤解。上述30個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中，總平均數(shù)是76.67分。某同學(xué)得

13、78分，超過平均數(shù)，似乎該是“中上”水平了，其實(shí)他是倒數(shù)第三名！那么我們用什么辦法來刻畫“中等水平”呢？這就是數(shù)據(jù)的中位數(shù)。其定義為：設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)，將它們從小到大依次排列為x1，x2，xk，xn。如果n是奇數(shù)，則第項(xiàng)是中位數(shù)；若n是偶數(shù)，則取第項(xiàng)和第項(xiàng)的平均值作為中位數(shù)。中位數(shù)的特征是比它大的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)和比它小的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)一樣多，它恰在中間位置。例1 在體操比賽中，規(guī)定有四個(gè)裁判給一個(gè)運(yùn)動(dòng)員打分。例如：9.30，9.35，9.45，9.90。其中位數(shù)是當(dāng)中兩項(xiàng)的平均值：（9.35+9.45）=9.40（分）。這相當(dāng)于去掉最低分9.30分和最高分9.90分而得出的平均分。體操比賽規(guī)定這樣給分，就避免

14、了過高分?jǐn)?shù)9.90分的影響，同時(shí)9.40分處于裁判分的中間數(shù)，不偏不倚，十分公正。例2 上面的30個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中，若依大小排列后，第15位和第16位都是80分，所以中位數(shù)就是80分。那么78分低于此數(shù)，當(dāng)然是中下水平無疑了。例3 若一個(gè)生產(chǎn)小組有15個(gè)人工作，每人每天生產(chǎn)某零件的數(shù)目是6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，12，12，17，18。如此平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)日產(chǎn)量則是15110.07。若取中位數(shù)則是第8個(gè)數(shù)字9。比9大的有7個(gè)人，比9小的也有7個(gè)人。以9為標(biāo)準(zhǔn)日產(chǎn)量，則有半數(shù)人可超產(chǎn)。管理者若希望多數(shù)人超產(chǎn)，則應(yīng)定得比中位數(shù)低；若希望少數(shù)人超產(chǎn)，則應(yīng)定得比中位數(shù)大一些。這

15、些數(shù)都是中位數(shù)提供的信息。眾數(shù)也是常常使用的代表數(shù)，即數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。例如，全班30人所穿鞋子尺寸為：33號(hào)的5人，34號(hào)的6人，35號(hào)的15人，36號(hào)3人和37號(hào)1人。如取平均數(shù)得34.63，此數(shù)沒有多大意義，鞋廠不生產(chǎn)34.63號(hào)碼的鞋。如取眾數(shù)，則為35號(hào)。該班穿35號(hào)鞋的人最多。通常評(píng)“最佳”“最受歡迎”“最暢銷”等往往都和眾數(shù)有關(guān)系。比如，美國(guó)某廠職工的月工資數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：月工資數(shù)/美元得此工資的人數(shù)100001（總經(jīng)理）80001（副總經(jīng)理）50002（助理）20005100012900188002370055002如何來選取該廠的月工資代表數(shù)呢？經(jīng)計(jì)算，平均值為1387美元，中位數(shù)為900美元，眾數(shù)為800美元。工廠主為了顯示本廠職工的收入高，用少數(shù)人的高工資來提高平均數(shù)，故采用1387美元。工會(huì)領(lǐng)導(dǎo)人則不同意，主張用眾數(shù)800美元（職工中以拿每月800美元的人最多）。而稅務(wù)官則希望取中位數(shù)，以便知道目前的所得稅率會(huì)對(duì)該廠的多數(shù)職工有利還是不利，以便尋求對(duì)策。我們常說“胸中有數(shù)”，但是究竟有些什