2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章 第1節(jié)　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 講義

1、第1節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)分類按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.按終邊位置不同分為象限角和軸線角.(3)終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S=|=+k360,kZ.2.弧度制(1)定義:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,用符號 rad表示,讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.(2)角的弧度數(shù)公式:在半徑為

2、r的圓中,弧長為l的弧所對的圓心角為 rad,則|=lr.(3)角度制和弧度制的互化:180= rad,1=180 rad0.017 45 rad,1 rad=(180)57.30=5718.(4)扇形的弧長公式:l=|r,扇形的面積公式:S=12lr=12|r2.3.任意角的三角函數(shù)(1)定義設(shè)是一個(gè)任意角,R,它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sin =y,cos =x,tan =yx(x0).(2)三角函數(shù)值的符號規(guī)律三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x,y)是角終邊上異于原點(diǎn)O的任一點(diǎn),其到原點(diǎn)O的距離為r,

3、則sin =yr,cos =xr,tan =yx(x0).1.扇環(huán)的面積公式S=12(l+l)(r-r).其中l(wèi),l是扇環(huán)的兩條弧長,r,r是兩條弧所在圓的半徑,且rr.2.面積(周長)一定的扇形,周長最小(面積最大)時(shí),扇形的弧長l與半徑r滿足l=2r,即扇形圓心角等于2 rad.3.若角(0,2),則sin tan .1.(必修第一冊P171練習(xí)T3改編)角-860的終邊所在的象限是(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:-860=-2360-140,-860和-140的終邊相同,故-860的終邊在第三象限.故選C.2.下列與94的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(C)A

4、.2k-45(kZ)B.k360+94(kZ)C.k360-315(kZ)D.k+54(kZ)解析:與94的終邊相同的角可以寫成2k+94(kZ),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有C正確.故選C.3.若角同時(shí)滿足sin 0且tan 0,則角的終邊一定落在(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:由sin 0,可知的終邊可能位于第三或第四象限,也可能與y軸的非正半軸重合;由tan 0,可知的終邊可能位于第二或第四象限.故的終邊只能位于第四象限.故選D.4.已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M(12,y),則sin 等于(B)A.32B.32C.22D.22解析:由題意知r2=(1

5、2)2+y2=1,所以y=32.由三角函數(shù)的定義知sin =y=32.故選B.5.角-225=弧度,這個(gè)角在第象限.答案:-54二6.已知半徑為120 mm的圓上,有一條弧長是144 mm,則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為 rad.解析:由題意知=lr=144120 rad=1.2 rad.答案:1.2 象限角及終邊相同的角1.若角是第二象限角,則2是(C)A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角解析:因?yàn)槭堑诙笙藿?所以2+2k+2k,kZ,所以4+k22+k,kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),2是第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),2是第三象限角.綜上,2是第一或第三象限角.故選C.2.

6、-2 021角是第象限角,與-2 021角終邊相同的最小正角是,最大負(fù)角是.解析:因?yàn)?2 021=-6360+139,所以-2 021角的終邊與139角的終邊相同.所以-2 021角是第二象限角,與-2 021角終邊相同的最小正角是139.又139-360=-221,故與-2 021角終邊相同的最大負(fù)角是-221.答案:二139-2213.終邊在直線y=3x上,且在-2,2)內(nèi)的角的集合為.解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y=3x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是3,在0,2)內(nèi),終邊在直線y=3x上的角有兩個(gè):3,43;在-2,0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè):-23,-53,故滿足條件的角構(gòu)成的集

7、合為(53,-23,3,43).答案:(-53,-23,3,43)4.已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角的集合用弧度制可表示為.解析:在0,2)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為(4,56),所以所求角的集合為2k+42k+56,kZ.答案:2k+42k+56,kZ1.象限角的判定有兩種方法:(1)圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中,作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.(2)轉(zhuǎn)化法:先將已知角化為k360+(0360,kZ)的形式,即找出與已知角終邊相同的角,再由角終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.2.由所在象限判定2所在象限,應(yīng)先確定2的范圍,并對整數(shù)k的

8、奇、偶情況進(jìn)行討論.3.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟:(1)先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360360范圍內(nèi)的角和,寫出最簡區(qū)間.(3)起始、終止邊界對應(yīng)角,再加上360的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合. 弧長公式與扇形的弧長和面積公式 已知一扇形的圓心角為,半徑為R,弧長為l.若=3,R=10 cm,求扇形的面積.解:由已知得=3,R=10,所以S扇形=12R2=123102=503(cm2).典例遷移1 若本例條件不變,求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.解:l=R=310=103(cm),S弓形=S扇形-S三角形=12lR-12R2sin 3=

9、1210310-1210232=50-7533(cm2).典例遷移2 若本例條件改為:“若扇形周長為20 cm”,當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?解:由已知得,l+2R=20,即l=20-2R(0R0,所以4m264m2+9=125,即m=12.故選B.利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解.三角函數(shù)值的符號判定 (2021山西四校聯(lián)考)已知sin 20,且|cos |=-cos ,則點(diǎn)P

10、(tan ,sin )在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:由|cos |=-cos 可知cos 0,由sin 2=2sin cos 0可知cos 0,所以tan 0,cos =-10.針對訓(xùn)練 1.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸正半軸重合,若A(x,3)是角終邊上一點(diǎn)且cos =-1010,則x等于()A.-33B.33 C.1 D.-1解析:cos =-10100及A(x,3)是角終邊上一點(diǎn)x0,由三角函數(shù)的定義,得xx2+9=-1010,解得x=-1.故選D.2.若sin tan 0,且costan0,則角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四

11、象限角解析:由sin tan 0可知sin ,tan 異號,則為第二或第三象限角;由costan0可知cos ,tan 異號,則為第三或第四象限角.綜上可知,為第三象限角.故選C. 若=k180+45(kZ),則在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限解析:當(dāng)k=2n(nZ)時(shí),=2n180+45=n360+45,為第一象限角.當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí),=(2n+1)180+45=n360+225,為第三象限角.所以為第一或第三象限角.故選A. 已知扇形的周長是4 cm,則扇形面積最大時(shí),扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A.2B.1C.12D.3解析:設(shè)此扇形的

12、半徑為r,弧長為l,圓心角為,則2r+l=4,即l=4-2r(0rcos x成立的x的取值范圍為(D)A.( 4,2)(,54)B.( 4,)C.( 4,)(54,32)D.( 4,54)解析:如圖所示,找出在(0,2)內(nèi),使sin x=cos x成立的x的值,sin 4=cos 4=22,sin 54=cos 54=-22.滿足題中條件的角x(4,54).故選D.6.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角以O(shè)x為始邊,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,m)(m0),則下列各式的值一定為負(fù)的是(CD)A.sin +cos B.sin -cos C.sin cos D.sintan解析:由已知得r=|OP|=

13、m2+1,則sin =mm2+10,cos =-1m2+10,tan =-m0,sin cos 0,sintan=cos 0.故選CD.7.已知扇形的圓心角為6,面積為3,則扇形的弧長等于.解析:設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則lr=6,12lr=3,解得l=3,r=2.答案:38.若=1 560,角與角終邊相同,且-3602,即A2-B,又A,B(0,2),所以sin Acos B,所以sin A-cos B0,同理cos A-sin C0,所以為第四象限角,所以sin 0,tan 0,所以sin|sin|+cos|cos|+tan|tan|=-1+1-1=-1.故選B.10.頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊

14、在x軸的正半軸上的角,的終邊與單位圓交于A,B兩點(diǎn),若=30,=60,則弦AB的長為.解析:由三角函數(shù)的定義得A(cos 30,sin 30),B(cos 60,sin 60),即A(32,12),B(12,32).所以|AB|=(12-32)2+(32-12)2=2(32-12)=6-22.答案:6-2211.若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為14,則這兩個(gè)扇形的周長之比為.解析:設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為,半徑分別為r,R(其中rR),則12r212R2=14,所以rR=12,兩個(gè)扇形的周長之比為2r+r2R+R=12.答案:1212.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們

15、的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin =13,則sin =.解析:由已知可得,sin =sin(2k+-)=sin(-)=sin =13(kZ).答案:1313.分別以邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B,C為圓心,1為半徑作圓弧AC,BD交于點(diǎn)E,則曲邊三角形ABE的周長為.解析:如圖,連接BE,EC.因?yàn)閮蓤A半徑都是1,正方形邊長也是1,所以BCE為正三角形,圓心角EBC,ECB都是3,lBE=31=3,EBA=2-3=6,lAE=61=6,所以曲邊三角形ABE的周長是1+3+6=1+2.答案:1+214.已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),P沿著直線l向右,Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動,當(dāng)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P也停止運(yùn)動,連接OQ,OP(如圖),則陰影部分面積S1,S2的大小關(guān)系是.解析:因?yàn)橹本€l與圓O相切,所以O(shè)AAP,設(shè)AQ的長為l,所以S扇形AOQ=12lr=12lOA,SAOP=12OAAP,因?yàn)閘=AP,所以S扇形AOQ=SAOP,即S扇形AOQ-S扇形AOB=SAOP-S扇形AOB,所以S1=S2.答案:S1=S215.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動,若兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動,若紅螞蟻每秒爬過角,黑螞蟻每秒爬過角(其中0180), 如果兩只螞蟻都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn),并且