第十三講從勾股定理談起

1、智浪教育-普惠英才文庫(kù)第十三講 從勾股定理談起 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，大約在公元前1100多年前，商高已經(jīng)證明了普通意義下的勾股定理，在國(guó)外把勾股定理稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理” 勾股定理是平面幾何中一個(gè)重要定理，其廣泛的應(yīng)用體現(xiàn)在：勾股定理是現(xiàn)階段線段計(jì)算、證明線段平方關(guān)系的主要方法，運(yùn)用勾股定理的逆定理，通過(guò)計(jì)算也是證明兩直線垂直位置關(guān)系的一種有效手段 直角三角形是一類(lèi)特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余(角的關(guān)系)、勾股定理(邊的關(guān)系)，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半(邊角關(guān)系)，這些性質(zhì)在求線段的長(zhǎng)度、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用 例題求解 【例

2、1】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊ABD，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊DCE，B、E在CD的同側(cè)，若AB=，則BE= (重慶市中考題) 思路點(diǎn)撥 因BE不是直角三角形的邊，故不能用勾股定理直接計(jì)算，需找出與BE相等的線段轉(zhuǎn)化問(wèn)題 注 千百年來(lái)，勾股定理的證明吸引著數(shù)學(xué)愛(ài)好者，目前有400多種證法，許多證法的共同特點(diǎn)是通過(guò)弦圖的割補(bǔ)、借助面積加以證明，美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德(18311881)曾給出一個(gè)簡(jiǎn)單證法 勾股定理的發(fā)現(xiàn)是各族人民早期文明的特征，有人建議，將來(lái)與“外星人”交往，可以把勾股定理轉(zhuǎn)化為光電訊號(hào)，傳向異域，他們一定懂得勾股定理現(xiàn)已確定的2002年8月在北京舉

3、行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)來(lái)源于弦圖的圖案 【例2】 2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示)如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么(a+b)2的值為( ) A13 B 19 C25 D169 (山東省中考題)思路點(diǎn)撥 利用勾股定理、面積關(guān)系建立a、b的方程組 【例3】 如圖，P為ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC2PB， 已知ABC45，APC60，求ACB的度數(shù) (“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥 不可能簡(jiǎn)單地由角的關(guān)系推出ACB

4、的度數(shù)，解本例的關(guān)鍵是由條件構(gòu)造出含30角的直角三角形 【例4】如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，設(shè)ACb，BCa，AB=c，CD=h求證：（1）；(2) ；(3) 以、為邊的三角形，是直角三角形 思路點(diǎn)撥 (1)只需證明，從左邊推導(dǎo)到右邊；（2）證明(；(3)證明在證明過(guò)程中，注意面積關(guān)系式的應(yīng)用 【例5】 一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在?若存在，確定它三邊的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由 (北京市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其中c為斜邊，則，于是將存在性問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解 注

5、當(dāng)勾股定理不能直接運(yùn)用時(shí)，常需要通過(guò)等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運(yùn)用創(chuàng)造必要的條件，有時(shí)又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系，這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組 從代數(shù)角度，考察方程的正整數(shù)解，古代中國(guó)人發(fā)現(xiàn)了“勾三股，四弦五”，古希臘人找到了這個(gè)方程的全部整數(shù)解（用代數(shù)式表示的勾股數(shù)組） 17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬提出猜想：當(dāng)3時(shí)，方程無(wú)正整數(shù)解 1994年，曼國(guó)普林斯頓大學(xué)維爾斯教授歷盡艱辛證明了這個(gè)猜想，被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的成果一般地，在有等邊三角形、正方形的條件下，可將圖形旋轉(zhuǎn)60或90，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角度、線段的長(zhǎng)度保持不變，在新的位置上分散的條件相對(duì)集中，以便挖掘隱

6、含條件，探求解題思路學(xué)力訓(xùn)練1如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ACD沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，則BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是 (山西省中考題) 2如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP3，則PP的長(zhǎng)等于 3如圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，則AD= (武漢市選拔賽試題)4如圖，四邊形ABCD中，AB3cm，BC=4cm，CD=12，DA=13cm，且ABC=90，則四邊形ABCD的面積是 cm25如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子，斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底

7、端的滑動(dòng)距離( ) A等于1米 B大于l米 C小于l米 D不確定(寧波市中考題)6如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個(gè)角是30，那么這個(gè)三角形的形狀是( ) A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D不能確定 7在四邊形ABCD中，A=60，B=D90，BC=2，CD=3，則AB=( ) A4 B5 C2 D8在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是( ) ACD，EF，GH BAB，CD，EF CAB，CD，GH DAB，EF，GH (北京市競(jìng)賽題)9如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格

8、點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形：(1)使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，2，；(2)使三角形為鈍角三角形且面積為4 (吉林省中考題)10如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，MN垂直平分AB，求證：CM=2BM(南道市中考題)11如圖，在RtABC中，A=90，D為斜邊BC中點(diǎn)，DEDF，求證：12如圖，在ABC中，AB=5，AC=13，邊BC上的中線AD=6，則BC的長(zhǎng)為 (湖北省預(yù)賽試題)13如圖，設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是 14如圖，一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長(zhǎng)恰是1997，那么另一條直角邊的長(zhǎng)為 15若ABC

9、的三邊a、b、c滿足條件：，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為 16在銳角ABC中，已知某兩邊a=1，b=3，那么第三邊的變化范圍是( )A2c4 B2 c3 C 2 c GB B CFGB CGFGB D無(wú)法確定20如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DFDF，若BE=12，CF=5，求DEF的面積21如圖，在ABC中，AB=AC，(1)若P是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證：BPCP=AB2一AP2；(2)若P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎?若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若P是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論22如圖，在ABC中，BAC90，AB=AC，E、F分別是BC上兩點(diǎn)，若EAF=45，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由23如圖，ACB=90，AD是CAB的平分線，BC=4，CD=，求AC的長(zhǎng) (河南省競(jìng)賽題)24(1)四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開(kāi)大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖甲它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形 若大正方形的面積為13，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是