chap03量子力學(xué)導(dǎo)論

1、第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論13.1 玻爾理論的困難3.2 波粒二象性3.3 不確定關(guān)系3.4 波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋3.5 薛定諤方程*3.6 平均值與算符*3.7 氫原子的薛定諤方程解2022/7/11219世紀(jì)末的三大發(fā)現(xiàn)：1895年的x射線，1896年的放射性和1897年的電子；揭開了近代物理發(fā)展的序幕1900年，普朗克提出輻射源能量量子化的概念1905年，愛因斯坦提出光量子的概念1913年，玻爾把普朗克-愛因斯坦的量子化概念用到盧瑟福模型，提出量子態(tài)的觀念，并對氫原子光譜做出了滿意的解釋1925年，泡利提出不相容原理，烏侖貝克和古茲米特提出電子自旋假設(shè)，很好的解釋了塞曼效應(yīng)和元素周期性等實驗事實

2、。至此形成的量子論（舊量子論），但有嚴(yán)重的缺陷和不足2022/7/113邏輯矛盾 一方面，它在解決核外電子的運動時引入了量子化的觀念，但同時又應(yīng)用了“軌道”等經(jīng)典概念和有關(guān)向心力、牛頓第二定律等牛頓力學(xué)的規(guī)律，實際上牛頓力學(xué)在微觀領(lǐng)域是不適用的。實際困難 除了氫光譜之外，玻爾理論在其他問題上遇到了很大的困難：無法解釋氦原子光譜，無法說明原子如何組成分子以及構(gòu)成液體和固體的。 2022/7/1141924年，德布羅意提出微觀粒子具有波粒二象性的假設(shè)，以后的觀察證明，微觀粒子具有波的性質(zhì)。但沒有人知道粒子的波動性意味著什么，也不知道它與原子結(jié)構(gòu)有何聯(lián)系。然而德布羅意的假設(shè)是一個重要的前奏，很多事情

3、就要發(fā)生了。2022/7/115德布羅意假設(shè)提出之后，一系列事件紛至沓來，最后導(dǎo)致一場科學(xué)革命。從1925年1月-1928年1月： 沃爾夫剛泡利（Wolfgang Pauli）提出了不相容原理，為周期表奠定了理論基礎(chǔ)。 韋納海森堡（Werner Heisenberg）、馬克斯玻恩（Max Born）和帕斯庫爾約當(dāng)（Pascual Jordan）提出了量子力學(xué)的第一個版本，矩陣力學(xué)。人們終于放棄了通過系統(tǒng)的方法整理可觀察的光譜線來理解原子中電子的運動這一歷史目標(biāo)。 2022/7/1161926年，埃爾溫薛定諤（Erwin Schrodinger）提出了量子力學(xué)的第二種形式，波動力學(xué)。在波動力學(xué)中

4、，體系的狀態(tài)用薛定諤方程的解波函數(shù)來描述。矩陣力學(xué)和波動力學(xué)貌似矛盾，實質(zhì)上是等價的。電子被證明遵循一種新的統(tǒng)計規(guī)律，費米-狄拉克統(tǒng)計。人們進(jìn)一步認(rèn)識到所有的粒子要么遵循費米-狄拉克統(tǒng)計，要么遵循玻色-愛因斯坦統(tǒng)計，這兩類粒子的基本屬性很不相同。2022/7/1171927年，海森堡提出不確定關(guān)系（測不準(zhǔn)原理）保爾AM狄拉克（Paul A. M. Dirac）提出了相對論性的波動方程用來描述電子，解釋了電子的自旋并且預(yù)測了反物質(zhì)。狄拉克提出電磁場的量子描述，建立了量子場論的基礎(chǔ)。 玻爾提出互補原理（一個哲學(xué)原理），試圖解釋量子理論中一些明顯的矛盾，特別是波粒二象性。 2022/7/118192

5、8年，革命結(jié)束，量子力學(xué)的基礎(chǔ)本質(zhì)上已經(jīng)建立好了。量子理論的主要創(chuàng)立者都是年輕人。1925年，泡利25歲，海森堡和恩里克費米（Enrico Fermi）24歲，狄拉克和約當(dāng)23歲。薛定諤是一個大器晚成者，36歲創(chuàng)立量子力學(xué)需要新一代物理學(xué)家并不令人驚訝，開爾文認(rèn)為基本的新物理學(xué)必將出自無拘無束的頭腦。2022/7/119J. Robert Oppenheimer (1904-1967) Werner Heisenberg (1879-1976) Albert Einstein (1879-1955) Enrico Fermi (1901-1954) Ernest Rutherford (187

6、1-1937) Niels Bohr (1885-1962) 2022/7/1110幾乎可以肯定，世界上沒有第二張照片，能像這張一樣，在一幅畫面內(nèi)集中了如此之多的、水平如此之高的人類精英。 2022/7/1111具有劃時代意義的量子論產(chǎn)生了半導(dǎo)體技術(shù)改變了人類的生活水平擴展了我們這些專業(yè)。引起了科學(xué)界的一場革命量子力學(xué)的內(nèi)容主要包括三個方面：介紹產(chǎn)生新概念的一些重要實驗；提出一系列不同于經(jīng)典物理的新思想；給出解決具體實際問題的方法。量子力學(xué)以全新的觀念闡明了微觀世界的基本規(guī)律，在涉及微觀運動的各個領(lǐng)域都獲得了巨大的成功。在量子力學(xué)中，玻爾理論中的電子軌道只不過是電子出現(xiàn)機會最多的地方。2022

7、/7/11123.1 玻爾理論的困難玻爾理論的成功之處1、量子態(tài)，定態(tài)得到實驗驗證；2、解釋了氫光譜問題；3、理論上得到里德堡常量；4、解釋了類氫離子光譜；5、元素周期律；6、同位素的而發(fā)現(xiàn)玻爾理論的困難1、簡單程度僅次于氫的氦光譜無法解釋；2、對于光譜線的強度無能為力；3、光譜中的精細(xì)結(jié)構(gòu)無能為力；4、原子如何組成分子、液體和固體無法說明2022/7/11132定態(tài)之間躍遷過程中，發(fā)射和吸收輻射的原因不清楚，對過程的描寫十分含糊！玻爾理論中難以解決的內(nèi)在矛盾1氫原子中核與電子之間的靜電作用是有效的，但是定態(tài)的發(fā)射電磁波的能力為何消失了？2022/7/1114盧瑟福的質(zhì)疑當(dāng)電子從一個能態(tài)跳到另

8、一個能態(tài)時，您必須假設(shè)電子事先就知道它要往哪里去！陷入邏輯的惡性循環(huán)！我去過嗎？薛定諤的非難糟糕的躍遷！電子從一個軌道躍遷到另一個軌道時，按照相對論，它的速度不能無限大，不能超過光速！那么躍遷必須經(jīng)歷一定的時間，在這段時間里，電子離開E1未到達(dá)E2，那么電子處于什么狀態(tài)？這是那個糟糕的躍遷無法回答的！2022/7/1115玻爾這一理論是十分初步的，許多問題還沒有解決把微觀粒子看做經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點玻爾理論困難的根源把經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律用于微觀粒子根本解決途徑：用全量子的觀點看世界！2022/7/1116 一、經(jīng)典物理學(xué)中波和粒子波和粒子是兩種僅有的、又完全不同的能量傳播方式，不能同時用波和粒子這兩個

9、概念去描述同一現(xiàn)象。粒子的描述：靜態(tài)屬性（顆粒屬性）質(zhì)量、電荷、大小、自旋等；動態(tài)屬性（軌道屬性）具有確定的位置和速度。波的描述：某種物理量在空間的周期性變化（振動的空間傳遞），描述該變化需要波長、頻率、速度、位相等。波具有相干疊加性，波長和頻率不可以精確確定，要無限精確測定頻率，需花費無限長時間；要無限精確測定波長，需在無限擴展的空間中進(jìn)行。3.2 波粒二象性2022/7/1117波長和頻率或者又因 ，則2022/7/1118二、光的波粒二象性光的本性認(rèn)識16世紀(jì)，笛卡爾提出光的波動說1672年，牛頓提出光的微粒說1678年，惠更斯提出光的波動說19世紀(jì)末，菲涅耳、夫瑯和費與楊氏等人證實光具

10、有干涉和衍射特性，驗證了惠更斯的觀點。后來麥克斯韋理論預(yù)言電磁波的存在，并由赫茲證實。1905年，愛因斯坦提出光量子說，給出光子能量為h1917年，又提出光還有動量，P=h/1922-1923年，康普頓研究了 X 射線在石墨上的散射：康普頓散射是光顯示出其粒子性的又一著名實驗。2022/7/1119光具有波動性，又有粒子性，即波粒二象性。光在傳播過程中表現(xiàn)出波動性，如干涉、衍射、偏振現(xiàn)象。光在與物質(zhì)發(fā)生作用時表現(xiàn)出粒子性，如光電效應(yīng)，康普頓效應(yīng)。光子能量和動量為上兩式左邊是描寫粒子性的 E、P；右邊是描寫波動性的 、。 h 將光的粒子性與波動性聯(lián)系起來。關(guān)于光的本性問題，我們不應(yīng)該在微粒說和波

11、動說之間進(jìn)行取舍，而應(yīng)該把它們看作是光的本性的兩種不同側(cè)面的描述。在任何一個特定事件中，光要么顯出波動性，要么顯出粒子性，兩者決不會同時出現(xiàn)。2022/7/1120光(波)具有粒子性，那么實物粒子也應(yīng)具有波動性。實物粒子具有波動性嗎?L.V. de Broglie （法，1892-1986）從自然界的對稱性出發(fā)，認(rèn)為既然光(波)具有粒子性，1924.11.29.德布洛意把題為“量子理論的研究”的博士論文提交巴黎大學(xué)。三、德布羅意假設(shè)2022/7/1121與粒子相聯(lián)系的波稱為物質(zhì)波，或德布羅意波。一個能量為E，動量為 P 的實物粒子同時具有波動性，且 德布羅意波長。他在論文中指出 他還用物質(zhì)波的

12、概念成功地解釋了玻爾提出的 軌道量子化條件： 2022/7/1122（n=1,2,）？駐波：朗之萬把德布洛意的文章寄給愛因斯坦，愛因斯坦說：“揭開了自然界巨大帷幕的一角”“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳啊”r2022/7/1123若 U=100伏 =1.225()經(jīng)愛因斯坦的推薦，物質(zhì)波理論受到了關(guān)注。答辯會上有人問: “這種波怎樣用實驗來證實呢？”估算電子的波長:設(shè)電子動能由U伏電壓加速產(chǎn)生 X射線波段德布洛意答：“用電子在晶體上的衍射實驗可以做到?！?022/7/1124四、戴維遜革末實驗 德布羅意指出由于實物粒子的波粒二象性，當(dāng)加速后的電子穿過晶體時，將會發(fā)生電子波的衍射現(xiàn)象，1925

13、年戴維孫革末在一次偶然的事故中將鎳單晶化，電子穿過鎳單晶時，觀察到電子的衍射圖象（如圖）2022/7/1125實驗結(jié)果(1)當(dāng)U不變時，I與的關(guān)系如圖不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。(2)當(dāng)不變時，I與U的關(guān)系如圖當(dāng)U改變時，I亦變；而且隨了U周期性的變化2022/7/1126實驗解釋 晶體結(jié)構(gòu)2022/7/11272022/7/1128當(dāng) 時加強布拉格公式。 波程差：2022/7/1129可見，當(dāng)、滿足此式時，測得電流的極大值。當(dāng)U不變時，改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值；當(dāng)不變時，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。 CCCCI實驗結(jié)果:2022/7/1130對通過電壓U加速的非

14、相對論電子，其德布羅意波長：電壓U = 54 V時，鎳單晶，a=0.215 nm,U = 54 V時2022/7/1131G.P.湯姆遜（1927年）電子通過金屬多晶薄膜的衍射實驗1929年 德布洛意獲諾貝爾物理獎。1937年 戴維遜 與 G.P.湯姆遜獲諾貝爾物理獎。2022/7/1132此后，又有人作了電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗。一切實物粒子都有波動性 后來實驗又驗證了：質(zhì)子、中子和原子、 分子等實物粒子都具有波動性，并都滿足 德布洛意關(guān)系。一顆子彈、一個足球有沒有波動性呢？2022/7/1133例：質(zhì)量m=0.01kg，速度v=300m/s的子彈的德布洛意波長為 因普朗克常數(shù)極

15、其微小，子彈的波長小到實驗難以測量的程度(足球的波長也是如此)，它們只表現(xiàn)出粒子性，并不是說沒有波動性。波動光學(xué) 幾何光學(xué) a :h 0 :量子物理 經(jīng)典物理2022/7/1134概率波與概率幅如何對波粒二象性正確理解？ 二象性是單個微觀粒子的屬性1949年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家費格爾曼做了一個非常精確的弱電子流衍射實驗。電子幾乎是一個一個地通過雙縫，底片上出現(xiàn)一個一個的點子。（顯示出電子具有粒子性）開始時底片上的點子“無規(guī)”分布，隨著電子增多，逐漸形成雙縫衍射圖樣。2022/7/1135單電子雙縫衍射實驗：7個電子100個電子30002000070000說明衍射圖樣不是電子相互作用的結(jié)果,它來源于

16、單個電子具有的波動性。2022/7/1136衍射圖樣對一個電子來說，每個電子到達(dá)屏上各點有一定概率，衍射圖樣是一個電子出現(xiàn)概率的統(tǒng)計結(jié)果。德布洛意波（物質(zhì)波）也稱為概率波。 怎樣理解微觀粒子的二象性：（1）粒子性指它與物質(zhì)相互作用時的基本特征是“顆粒性”， 或“整體性”，即可以作為一個整體存在。 但不是經(jīng)典的粒子！因為微觀粒子沒有確定的軌道，應(yīng)拋棄“軌道”的概念！粒子具有能量和質(zhì)量，運動粒子還具有動量。對于光子來說， 2022/7/1137（2）波動性 指它在空間傳播有“可疊加性”， 有“干涉”、“衍射”、“偏振”等現(xiàn)象。 但不是經(jīng)典的波！因為它沒有某種實際 物理量（如質(zhì)點的位移、電場、磁場等

17、） 的波動。 微觀粒子的波動性和粒子性，都只有通過與其他物質(zhì)相互作用才能表現(xiàn)出來。在某些條件下表現(xiàn)出粒子性，在另一些條件下表現(xiàn)出波動性，而兩種性質(zhì)雖寓于同一體中，卻不能同時表現(xiàn)出來。2022/7/1138少女？老婦？兩種圖象不會同時出現(xiàn)在你的視覺中。2022/7/1139五、德布羅意波和量子態(tài)若將德布羅意關(guān)系式應(yīng)用與氫原子上，原子定態(tài)假設(shè)便和駐波聯(lián)系起來，十分自然地給出角動量量子化條件。電子要想作穩(wěn)定運動，電子回轉(zhuǎn)一周的周長應(yīng)為其波長整數(shù)倍，即 于是有這正是玻爾曾用過的角動量量子化條件。2022/7/1140這正是玻爾的量子化的軌道半徑。如果把 代入氫原子總能量表達(dá)式中證明軌道駐波條件：202

18、2/7/1141六、一個在剛性匣子中的粒子 粒子在匣中的動能： mv2 /2運動周期： 2d/v2022/7/1142按照物質(zhì)波的觀點，物質(zhì)波來回反射形成駐波，駐波波長滿足于是粒子的動量 動能2022/7/1143可見匣中的粒子的動量和能量都是量子化的，定域（禁閉）的波必然導(dǎo)致量子化行為。2022/7/1144波的特性之一，在空間上無限延伸波的非定域性從徳布羅意的觀點看，玻爾的原子模型實際上就是一個徳布羅意波被關(guān)閉在一個庫侖勢場中的情況其中的粒子就是核外電子，電子沿軌道運動一周后回到起點軌道的周長為匣子長度的2倍，2r=2d，d=r七、波和非定域性2022/7/1145能量的最小值粒子的動能粒

19、子的勢能粒子的總能量2022/7/1146一、不確定關(guān)系的表述和含義3.3 不確定關(guān)系經(jīng)典粒子：可以同時有確定的位置、速度、動量、能量經(jīng)典波：在空間擴展，沒有確定的位置波粒二象性：不可能同時具有確定的位置和動量。Werner Karl Heisenberg19011976 1925年建立了量子理論第一個數(shù)學(xué)描述矩陣力學(xué)1927年闡述了著名的不確定關(guān)系 2022/7/11471927年，海森堡首先提出不確定關(guān)系：一、不確定關(guān)系的表述和含義（1）（2）2022/7/1148分量形式：海森堡嚴(yán)格推出：粗略的表示：2022/7/1149物理意義(1)也就是說，當(dāng)粒子的位置x完全確定(x0),那么粒子的

20、動量Px，的數(shù)值就完全不確定（Px )；反之，當(dāng)粒子處于一個動量Px完全確定的狀態(tài)時（Px),則粒子的坐標(biāo)x就完全不確定，即不可能把粒子固定住。(2)不確定關(guān)系完全是由于微觀粒子的波粒二象性所決定的，與所用儀器的精密程度無關(guān)；與測量技術(shù)無關(guān)。事實上因為波粒二象性，使得粒子在客觀上不能同時具有確定的坐標(biāo)和動量。(3)測不準(zhǔn)關(guān)系給出了經(jīng)典理論適用的界限。(4)我們無法用軌道的概念來描述微觀粒子的運動。2022/7/1150空間位置與動量的不確定關(guān)系能量與時間的不確定關(guān)系若一粒子在能量狀態(tài)E只能停留t時間，那么，在這段時間內(nèi)粒子的能量狀態(tài)并非完全確定，它有一個彌散 ；只有當(dāng)粒子的停留時間為無限長時（

21、穩(wěn)態(tài)或定態(tài)），它的能量狀態(tài)才完全確定2022/7/1151二、不確定關(guān)系的簡單導(dǎo)出方法一：從經(jīng)典波動理論出發(fā)，利用它表明為得到一個位置確定的孤立波(即波包)(詳見教材中圖示)，須用多個波去疊加，即x越小，就越大。反之，要精確測量其波長(0)，則須在無限擴展的空間觀察(x )，要精確測定頻率(0)，則需無限長的時間(t )。將以上經(jīng)典關(guān)系式用于微觀粒子，并加入德布羅意關(guān)系式2022/7/1152電子的單縫衍射(1961年，約恩遜成功的做出)設(shè)電子沿水平方向穿過寬為d的狹縫，我們希望確定電子在垂直方向上的位置。方法二：電子單縫衍射實驗說明了電子的波粒兩象性，還能說明不確定關(guān)系。2022/7/115

22、3電子以速度沿著y軸射向A屏，其波長為 ，經(jīng)過狹縫時發(fā)生衍射，到達(dá)C屏。第一級暗紋的位置：x方向上，粒子坐標(biāo)的不確定度為又粒子動量的不確定度為 量子力學(xué)的嚴(yán)格證明給出：2022/7/1154狹縫對電子束起了兩種作用：一是將它的坐標(biāo)限制在縫寬d的范圍內(nèi)，一是使電子在坐標(biāo)方向上的動量發(fā)生了變化。這兩種作用是相伴出現(xiàn)的，不可能既限制了電子的坐標(biāo)，又能避免動量發(fā)生變化。如果縫愈窄，即坐標(biāo)愈確定，則在坐標(biāo)方向上的動量就愈不確定。因此，微觀粒子的坐標(biāo)和動量不能同時有確定的值。2022/7/1155討論例.設(shè)電子與m=0.01kg的子彈均沿x方向運動，vx=500m/s，精確度為0.01%，求測定x坐標(biāo)所能

23、達(dá)到的最大準(zhǔn)確度。電子：子彈：因此，射擊運動員大可不必為子彈的波動性而擔(dān)憂。1不確定關(guān)系只適用于微觀粒子，對宏觀粒子無影響2022/7/1156不確定關(guān)系中，一個關(guān)鍵的量是普朗克常量h，它是一個小量，因而，不確定關(guān)系在宏觀世界并不能得到直接的體現(xiàn)不確定關(guān)系在宏觀世界的效果好像在微觀世界里當(dāng)h0是的效果但是h不為零！從而使得不確定關(guān)系在微觀世界成為一個重要規(guī)律例1、玻爾半徑：玻爾第一速度：則動量：如果軌道確定，這p1完全不確定，軌道的概念也就失去了意義如果電子在a1范圍內(nèi)運動即：則例2、10g的小球若小球的瞬時不確定度為：已經(jīng)足夠精確！則2022/7/11572.不確定關(guān)系對自然界的一切實驗?zāi)軌?/p>

24、給出的精度附加了一個限制。不確定關(guān)系給出了任何實驗?zāi)軌蚪o出的最小不確定性的一個估計。一個粒子的位置和動量的同時測量將給出寬度x和px分布，由于各種原因，我們的實驗結(jié)果只能比該關(guān)系估計不確定性更差，而不能更好。3. 從量子力學(xué)角度來看，描述微觀粒子的兩個物理量（算符），如果不能對易，則不能同時被確定。 2022/7/1158海森堡認(rèn)識到如果有更高的準(zhǔn)確度同時測定動量與位置的話，量子力學(xué)大廈將倒塌。但不可能！4. 不確定關(guān)系是微觀世界中的一條基本規(guī)律，它實質(zhì)上是微觀粒子波粒二象性的 必然反映。5.不確定關(guān)系不是運動方程式，它只是定量地反映了微觀粒子波粒二象性，我們不能從它出發(fā)找出一個問題的精確答案

25、，但是對于一些束縛態(tài)問題，它卻能給定性的或半定量的估計。2022/7/1159三、不確定關(guān)系的應(yīng)用舉例例題1 束縛粒子的最小平均動能。假定粒子被束縛在線度為r的范圍內(nèi)2022/7/1160只要粒子被束縛，則粒子的動能不能為零，如動能為零則動量為零x為無窮大以上結(jié)論是從不確定關(guān)系得到的，與具體的束縛形式無關(guān)！最小平均動能2022/7/1161例題2. 試用不確定關(guān)系說明：原子中電子軌道的概念是沒有意義的，但在湯姆孫用陰極射線測電子的核質(zhì)比時，電子的軌道概念是有意義的。（陰極電子束截面的線度10-4m，加速電壓10V）答：（1）原子的線度10-10m，價電子動能10eV量級，2022/7/1162

26、不確定關(guān)系與能級的自然寬度光譜線系能級躍遷對應(yīng)原則上是一條線電子發(fā)生躍遷，說明電子在該初始能級的壽命t不能無窮大由E不能為零電子處于某一個能級，其能量不能為確定值，否則E0則t 不能發(fā)生躍遷原子所發(fā)射的光是由電子在兩個能級之間躍遷產(chǎn)生的。如果兩個能級有確定的值，那么由頻率條件將得到有確定頻率(或波長)的譜線。由于處在激發(fā)態(tài)能級上的電子壽命 (t)有限，按照不確定關(guān)系，這意味著能級存在著一定的能級寬度E，這導(dǎo)致輻射光譜不再是單一頻率，而有一定頻率寬度，稱譜線自然寬度。2022/7/1163躍遷過程能級和譜線的自然寬度不確定關(guān)系已經(jīng)滲透到微觀世界的各個領(lǐng)域注意：不確定關(guān)系并不是給物理學(xué)帶來了不精確

27、性，相反：不確定關(guān)系帶來的正是微觀世界的精確性2022/7/1164例題3 光譜線的自然寬度如果激發(fā)態(tài)的壽命為t=10-8s 那么譜線的自然寬度為總之應(yīng)用不確定關(guān)系的例子不勝枚舉，它是微觀世界中的一條基本規(guī)律。不過能級的壽命常受外界條件影響。2022/7/1165辭海解釋舊稱“并協(xié)原理”，玻爾對量子力學(xué)中不確定關(guān)系的另一種表述，認(rèn)為儀器應(yīng)該分為測定位置和測定動量的兩類，把這兩種儀器的結(jié)果“互補”起來才能得到對粒子的完全認(rèn)識，而同時用這兩種儀器去測準(zhǔn)同一粒子的狀態(tài)是不可能的（雙縫干涉假想實驗）闡述互補原理從哲學(xué)的角度概括了物質(zhì)的波粒兩象性不確定關(guān)系從數(shù)學(xué)的角度概括了物質(zhì)的波粒兩象性四、互補原理1

28、927年Bohr提出互補原理，又被稱為并協(xié)原理2022/7/1166玻爾說：一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免地將排除另一些經(jīng)典概念的應(yīng)用，而這“另一些經(jīng)典概念”在另一些條件下又是描述現(xiàn)象所不可缺少的。必須而且只需將所有這些既互斥又互補的概念匯集在一起，才能而且定能形成現(xiàn)象的詳盡無遺的描述。不確定關(guān)系是波粒二象性的必然結(jié)果不確定關(guān)系是微觀粒子波粒二象性的數(shù)學(xué)表達(dá)玻爾對波粒二象性哲學(xué)上的概括互補原理互補原理1、波與粒子是互斥的波性和粒子性絕不會在同一個測量中出現(xiàn)，波和粒子這兩種經(jīng)典的概念在描述微觀現(xiàn)象時是互斥的2、波與粒子是互補的或稱并協(xié)的波性和粒子性不能同時存在，他們就不會在同一個實驗中直接沖突，但這

29、兩個概念在描述微觀現(xiàn)象和解釋實驗時又都是不可缺少的，企圖拋棄哪一個都不行，在這種意義上他們是互補的！2022/7/1167波粒二象性中波與粒子的互補就如同認(rèn)識硬幣的兩面！不確定關(guān)系和互補原理必然導(dǎo)致“微觀理論是統(tǒng)計性的”的觀念。它與經(jīng)典物理中的決定性觀念截然不同?；パa原理與不確定關(guān)系是量子力學(xué)哥本哈根學(xué)派解釋的兩大理論支柱！哥本哈根學(xué)派20世紀(jì)20年代玻爾發(fā)起成立，成立時的成員有：波恩、海森堡、泡利、狄拉克等學(xué)派的實體機構(gòu)：丹麥哥本哈根大學(xué)哥本哈根理論物理研究所，培養(yǎng)出了十幾為諾貝爾獎獲得者被物理學(xué)家譽為：物理學(xué)界的朝圣地；量子力學(xué)的誕生地該學(xué)派最強勁的對手愛因斯坦2022/7/1168對微觀

30、現(xiàn)象的描述，一些經(jīng)典概念的任何一種確定的應(yīng)用，都會預(yù)先排除另外一些經(jīng)典概念的同時應(yīng)用，而這另外一些概念在其他方面卻是闡明現(xiàn)象所同樣必需的。Bohr的互補板凳 2022/7/1169 德布羅意引入物質(zhì)波，物質(zhì)波需用波函數(shù)(rt)描述。物質(zhì)波的波函數(shù)代表什么物理意義。 1926年玻恩提出波函數(shù)的幾率解釋。他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。 這個假設(shè)得到散射實驗的支持，取得了人們認(rèn)可，玻恩因此獲得1954年諾貝爾物理獎。3.4 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋物質(zhì)波用什么樣的波函數(shù)描述？2022/7/1170經(jīng)典物理中的“決定性觀念”或者“嚴(yán)格的因果律”在宏觀現(xiàn)象中是成功的

31、！玻爾海森堡對于微觀粒子，我們不能同時確定物理的位置和動量，他們的可確定程度不能比海森堡不確定關(guān)系所允許的更準(zhǔn)確！結(jié)果：我們只能預(yù)言這些粒子的可能行為！幾率性的觀點在量子物理學(xué)中是基本的觀點決定論必須拋棄！量子力學(xué)哥本哈根解釋的核心內(nèi)容：粒子的波粒二象性不確定中的確定內(nèi)容幾率！不確定的來源！統(tǒng)計性波粒子一、波粒二象性及概率概念2022/7/1171電磁波的能量流單位時間通過單位面積的能量大小電磁波的能量流正比于波的電場強度的平方，即：從粒子的觀點看：電磁波的能量流等于：N為光子通量：單位時間穿過垂直于傳播方向單位面積的光子數(shù)考慮一束非常弱的紫外光每個光子的能量：光強為：這時N為：既然光子是量子

32、化的，這里出現(xiàn)非整數(shù)只能表明，N是個平均值，其中包含幾率的概念；N在12附件變動，平均值是12.5.N是發(fā)現(xiàn)一個光子在單位時間穿過單位面積的幾率的量度！2022/7/1172N是發(fā)現(xiàn)一個光子在單位時間穿過單位面積的幾率的量度！一定頻率的光的強度光子的數(shù)目該處出現(xiàn)光子的幾率在某處出現(xiàn)光子的幾率與光波的電場強度的平方成正比，即：以上通過電磁波分析的結(jié)論同樣適用于物質(zhì)波電磁波其電場強度可表示為：相應(yīng)的物質(zhì)波在x方向一恒定線動量運動的粒子，其徳布羅意波可相應(yīng)寫為或者更一般地寫為：其中：2022/7/1173波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋 德布羅意引入物質(zhì)波，物質(zhì)波需用波函數(shù)(rt)描述。物質(zhì)波的波函數(shù)代表什么物理意

33、義。1926年玻恩提出波函數(shù)的幾率解釋。他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。這個假設(shè)得到衍射實驗的支持，取得了人們認(rèn)可，玻恩因此獲得1954年諾貝爾物理獎。首先指出，在量子力學(xué)中，引入波函數(shù)是用來描述量子系統(tǒng)狀態(tài)的，所以波函數(shù)就是態(tài)函數(shù)。玻恩又賦予波函數(shù)以統(tǒng)計詮釋，按照玻恩的觀點：波函數(shù)(x)是概率波振幅，簡稱概率幅；波函數(shù)的模方|(x)|2=是幾率密度 (*代表復(fù)共軛)； |(x)|2dx是粒子出現(xiàn)在xx+dx間隔內(nèi)的概率；粒子出現(xiàn)在x1 x2間隔內(nèi)的概率是2022/7/1174波函數(shù)幾率幅的性質(zhì)玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，還賦予波函數(shù)有如下一些基本性質(zhì)：(

34、1)波函數(shù)是單值連續(xù)有限粒子在某處的幾率只能有一個值幾率無突變不能無窮大(2)波函數(shù)滿足歸一化條件即全空間找到粒子的幾率為1對于不歸一的波函數(shù)如總可以乘以一個常數(shù)c使得歸一c稱為歸一化常數(shù)或歸一化等價？2022/7/1175等價因為在空間兩點x1和x2，的相對幾率為就幾率分布而言，重要的是相對幾率分布不難看出 與 (c為常數(shù))所描述的相對幾率分布是完全相同的它們描述的相對概率是一樣的然而對于經(jīng)典的波函數(shù)，這完全對應(yīng)兩種不同的狀態(tài)波函數(shù)仍允許差一個 因子2022/7/1176|(x,y,z,t)|2表示t時刻，(x,y,z)處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，因此又成為幾率密度經(jīng)典波函數(shù)與物質(zhì)波函數(shù)的比

35、較經(jīng)典的波函數(shù)1、可測量有直接的物理意義2、和c是完全不同的兩個波物質(zhì)波波函數(shù)1、不可測量無直接的物理意義2、 | |2才可測量有直接的物理意義3、和c描述相同的概率分布2022/7/1177如果將對光波的這種認(rèn)識移植到德布羅意物質(zhì)波上，那么對玻恩賦予波函數(shù)統(tǒng)計詮釋也就不難理解了。人們用同樣的思想進(jìn)行電子的雙縫干涉實驗，發(fā)現(xiàn)當(dāng)大量電子通過雙縫后，在屏上的電子強度分布圖(c)與光束的兩縫干涉圖樣（）是相同的，與子彈穿過雙孔的分布圖（b）完全不同。 二、雙縫干涉實驗2022/7/1178電子雙縫干涉點x附近的干涉花紋強度分布（等于波幅的平方）正比于點x附近感光點的數(shù)目正比于點x附近出現(xiàn)電子的數(shù)目正

36、比于點x附近電子出現(xiàn)的幾率電子波的強度分布等同于電子的密度分布2022/7/11798028只電子1000只電子1萬只電子幾百萬只電子2022/7/1181干涉的結(jié)果，使有些地方強度增強，有些地方強度減弱強度等于電子數(shù)干涉相長：I=I0+I02I0=4I0，兩個電子干涉后，變?yōu)?個電子干涉相消：I=I0+I02I0=0，兩個電子干涉后，電子消失了，湮滅了這是說不通的！2022/7/1182如果讓入射電子數(shù)減弱，每次僅有一個電子射出，經(jīng)過一段時間后，仍能得到穩(wěn)定的雙縫干涉花樣。而此時電子之間沒有干涉所以干涉不是兩個電子間相互作用的結(jié)果而是大量電子本身所具有的在空間分布的特性，這種特性是由電子與雙

37、縫所決定的這種分布特性可以用幾率描述電子或光子出現(xiàn)幾率大的地方，強度較強；電子或光子出現(xiàn)幾率小的地方，強度較弱2022/7/1183雙縫干涉表明1、干涉現(xiàn)象是所有微觀粒子的共同特征，干涉的形成不是由微觀粒子之間的相互作用產(chǎn)生的，而是個別粒子屬性的集體貢獻(xiàn)！2、就單個粒子而言：通過哪個狹縫打在屏的哪個位置無法預(yù)知但是，對于大量粒子的行為（干涉圖樣）卻是可以完全預(yù)卜的！單電子雙縫干涉的疑問121縫的存在對于電子通過2應(yīng)該沒有影響，反之亦然！這樣就不應(yīng)該有電子干涉的發(fā)生！出現(xiàn)了單電子干涉，只能說明縫1和2同時起作用！似乎電子同時通過了縫1和縫2！電子有分身術(shù)嗎？2022/7/1184窺視電子12p1

38、p2D1D2結(jié)果，當(dāng)單個電子在屏上成像的時候，只有一個計數(shù)器有信號，證明電子沒有分身術(shù)！但是同時干涉現(xiàn)象消失，屏上的感光如同經(jīng)典粒子一樣的結(jié)果撤掉窺視裝置，干涉重新出現(xiàn)最終人們發(fā)現(xiàn)：觀察效應(yīng)使得干涉消失！態(tài)疊加原理為了解釋雙縫干涉實驗，必須借助于量子力學(xué)的另一個基本原理2022/7/1185態(tài)疊加原理的基本表述-四條規(guī)則根據(jù)波恩對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：在微觀世界中，一事件發(fā)生的幾率P等于波函數(shù)的絕對值的平方：所以又稱為幾率幅量子事件發(fā)生某事件可以泛用從初態(tài)i到末態(tài)f的躍遷來表示，則發(fā)生這種躍遷的幾率Wif可以表示為：即表示從初態(tài)i到末態(tài)f躍遷的幾率幅，或幾率振幅，相當(dāng)于這幾率幅 服從以下是個基本規(guī)

39、則！三、態(tài)的疊加原理2022/7/1186規(guī)則一if如果發(fā)生在i與f態(tài)之間的躍遷，存在著幾種物理上可區(qū)分的方式或途徑，那么在if間的躍遷幾率幅應(yīng)是各種可能發(fā)生躍遷幾率幅之和。該規(guī)則是幾率幅疊加規(guī)則，是態(tài)疊加原理的一種表述方式，態(tài)疊加原理是量子力學(xué)概念體系的基礎(chǔ)費曼稱它為量子力學(xué)的第一原理態(tài)疊加原理是量子力學(xué)的一條基本原理，至今無法從更基本的概念導(dǎo)出！2022/7/1187規(guī)則二if1f2fn如果有n個彼此獨立、互不相關(guān)的末態(tài)，我們?nèi)绻儡S遷到任意一個末態(tài)的幾率（要到達(dá)末態(tài)，無論是哪個都可以），那么躍遷幾率等于到達(dá)各個末態(tài)躍遷幾率之和。該規(guī)則又稱幾率相加率2022/7/1188規(guī)則三ivf假

40、如從i態(tài)到f態(tài)的躍遷必須經(jīng)過某一中間態(tài)v，那么總的躍遷幾率幅等于分段幾率幅之乘積規(guī)則四ifIF假如有兩個獨立的微觀粒子組成的體系，并且兩粒子同時發(fā)生了兩個躍遷，那么體系的躍遷幾率幅等于個別粒子的幾率幅的乘積。規(guī)則三和四并稱為獨立事件的幾率相乘率2022/7/1189初態(tài)：s中間態(tài)：1、2末態(tài)：x（屏）四、干涉實驗的解釋sx1、只開縫1，根據(jù)規(guī)則三電子在x處（屏）被記錄的幾率I1（x）為：2022/7/1190sx2、只開縫2，類似有：3、雙縫齊開，應(yīng)用規(guī)則一態(tài)疊加原理有：1、只開縫1，根據(jù)規(guī)則三這時的躍遷幾率為：可見：正是多出的兩項：電子從初態(tài)到末態(tài)的兩種可能的躍遷幾率幅的干涉項引起了干涉圖樣

41、！窺視電子干涉消失！2022/7/1191對于電子：光源P探測器D1探測器D2對于光子：電子從縫1通過到達(dá)x：電子從縫2通過到達(dá)x：2022/7/1192光源P探測器D1探測器D2x處記錄電子，D1同時記錄光子的概率幅x處記錄電子，D2同時記錄光子的概率幅x處記錄電子，不管在哪個探測器記錄光子的概率為第二反映了干涉項，這是在光子不能“檢察”電子走向的情況下得到的結(jié)果。2022/7/1193sx由以上的分析可以清楚地看出，對于出現(xiàn)干涉圖樣的解釋是靠幾率幅的線性疊加當(dāng)雙縫齊開時，即使對于一個電子，也要用兩個幾率幅之和去描寫整個實驗過程，也就是說對以任何一個孤立電子來說，雙縫同時在起所用！物質(zhì)波絕非

42、經(jīng)典的波，電子經(jīng)過狹縫時出現(xiàn)的干涉與經(jīng)典的圖像毫無關(guān)系：它的起因是統(tǒng)計規(guī)律中的幾率幅的相加率！而不是幾率相加！單電子干涉是一個電子的兩個態(tài)的疊加干涉是電子自己與自己的干涉決不是多電子之間的干涉2022/7/1194態(tài)疊加原理與波疊加原理之間的區(qū)別注在數(shù)學(xué)表達(dá)上完全相同！經(jīng)典兩經(jīng)典波的疊加一般導(dǎo)致一個新的波，具有新的特征，如駐波量子兩個量子波或兩個幾率幅1和 2的疊加這種疊加并不形成新的狀態(tài)！的物理意義：不會有任何新的結(jié)果出現(xiàn)！量子力學(xué)中態(tài)的疊加導(dǎo)致疊加態(tài)下測量結(jié)果的不確定性出現(xiàn)幾率確定2022/7/1195雙縫干涉實驗光子通過其中一個狹縫到達(dá)接收屏通過狹縫1的光子在接收屏上有一個分布函數(shù)，即波

43、函數(shù)，記為1；光強分布為I1= |1|1|通過狹縫1的光子的狀態(tài)為1；通過狹縫2的光子的狀態(tài)為2；大量光子，它們的狀態(tài)要么為1 ；要么為22022/7/1196狀態(tài)不確定2022/7/1197大量光子的總狀態(tài)是上述兩種狀態(tài)的疊加 =1+2從幾率分布的角度看，一個光子的狀態(tài)可以表示為 =1+2即在每個光子經(jīng)過狹縫前，無法確定它將通過哪一個狹縫或者說，各有一半的幾率通過其中的一個狹縫2022/7/1198干涉實際上是一個光子的兩個本征態(tài)之間的干涉態(tài)疊加原理干涉項2022/7/1199量子力學(xué)的基本概念量子力學(xué)的基本規(guī)律是統(tǒng)計規(guī)律，而經(jīng)典物理的基本規(guī)律是決定論、嚴(yán)格的因果律?！?i ”的抽象性列寧：

44、一切科學(xué)的抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然要求：認(rèn)清物質(zhì)波的本質(zhì)，掌握波函數(shù)的物理意義及其性質(zhì)。五、評注2022/7/11100量子力學(xué)基本方程的創(chuàng)立海森堡：矩陣力學(xué)創(chuàng)始人（我越是思考薛定諤理論的物理內(nèi)容，就對它越討厭）薛定諤：波動力學(xué)創(chuàng)始人（海森堡的超越代數(shù)的矩陣方法簡直無法想象，它如果不使我拒絕的話，至少也讓我感到氣餒）狄拉克：相對論量子力學(xué)創(chuàng)始人（1930年量子力學(xué)）2022/7/11101海森堡于1925年7月提出了矩陣力學(xué) 薛定諤于1926年1月提出了波動力學(xué) 2022/7/11102一、薛定諤方程的建立描述微觀粒子具有波粒二象性狀態(tài)的波函數(shù)一般是空間和時間的函數(shù)，即 微觀

45、粒子在不同條件下(例如，處于不同的 外力場中)的運動狀態(tài)是不同的，對波函數(shù)所滿足的方程的要求：(1) 線性方程，迭加原理的要求；(2) 方程系數(shù)不含狀態(tài)參量（動量、能量），各種可能的狀態(tài)都要滿足方程。微觀粒子在不同條件下的波函數(shù)，所滿足的方程是什么？3.5 薛定諤方程2022/7/11103 1926年，德拜（師）-薛定諤（生）。薛定諤報告后，德拜提醒薛定諤：“有了波，就應(yīng)該有一個波動方程?！?德拜：“有了波，就應(yīng)該有一個波動方程?！?022/7/11104考察質(zhì)量為m，動量為p，能量為E=p2/2m的自由粒子的一維運動，它對應(yīng)的德布羅意波是波矢為k圓頻率為的平面波，即式中的k=2/，=2r。

46、按照德布羅意關(guān)系式=h/p和關(guān)系式E=h，自由運動的粒子的動量pn和能量E與平波面波矢k和圓頻率有如下關(guān)系于是德布羅意平面波可改寫為建立薛定諤方程的一種直觀方法2022/7/11105 這個德布羅意波函數(shù)就是描述具有確定能量和動量的自由粒子運動的態(tài)函數(shù)。不難看出，若要從這個態(tài)函數(shù)中提取粒子的動能，動量信息，則必須用時間和空間坐標(biāo)的微分算符作用其上方可給出，即對于非相對論自由粒子能量動量關(guān)系式： 可以通過如下算符作用在波函數(shù) 上得到2022/7/11106該式就是自由粒子一維運動的波動方程一維薛定諤方程。相當(dāng)于對經(jīng)典的能量-動量關(guān)系E=px2/2m作如下變換 是拉普拉斯算符.將其推廣到三維情況，

47、E=p2/2m對應(yīng)的波動方程是2022/7/11107相應(yīng)的波方程是該式就是薛定諤方程的一般形式，該方程是線性齊次方程，因而它保證了波函數(shù) (即態(tài)函數(shù))的疊加性。如果粒子在勢場V(r,t)中作三維運動，粒子的總能量是2022/7/11108薛定諤方程： 式中 m粒子的質(zhì)量 V粒子在外力場中的勢能函數(shù)（所處條件） 2拉普拉斯算符 2022/7/11109 （1）由于方程含有虛數(shù)i, 它是一個復(fù)數(shù)偏微分方程； 其解波函數(shù) 是一個復(fù)函數(shù)。說明：（2）薛定諤方程是線性偏微分方程，因此它的解滿足 態(tài)的疊加原理。（3）它是非相對論形式的方程。（4）它并非推導(dǎo)所得，而是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)，是理論“構(gòu)思”

48、出來的，但了它的正確性已被一系列實驗結(jié)果嚴(yán)格地檢驗過，成為描述微觀粒子運動的基本方程，反映了微觀系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律。2022/7/11110薛定諤方程物理意義：薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動力學(xué)方程，它在量子力學(xué)中的地位和作用相當(dāng)于牛頓力學(xué)中的牛頓方程，電磁學(xué)中的麥克斯韋方程，它描述了量子系統(tǒng)狀態(tài)的演化規(guī)律。量子力學(xué)找微觀粒子在不同條件下的波函數(shù)，就是：求不同條件下薛定諤方程的解。奧地利物理學(xué)家 薛定諤 （Schrodinger 1887-1961）提出量子力學(xué)中最基本的方程1933年薛定諤獲諾貝爾物理獎。2022/7/11111二、定態(tài)薛定諤方程常常遇到微觀粒子的勢能函數(shù)V與時間t無關(guān)

49、的穩(wěn)定的勢場問題，這稱為定態(tài)問題。 自由運動粒子V = 0 氫原子中的電子這時波函數(shù) (r,t)可以用分離變量法分離為一個空間坐標(biāo)的函數(shù)和一個時間函數(shù)的乘積。例如：2022/7/11112如果勢場不顯含時間t，即V=V(r)，那么薛定諤方程成為仔細(xì)觀察上式兩邊，不難發(fā)現(xiàn)方程的左邊只含對時間微商的運算，而右邊只涉及對空間微商的運算，故可取分離變量式，即 稱定態(tài)薛定諤方程2022/7/11113如圖，中，勢能為0；、中，勢能為定態(tài)Halmilton方程I區(qū)中（一）、一維無限深勢阱三、應(yīng)用舉例2022/7/11114歸一化2022/7/11115偶宇稱奇宇稱2022/7/11116(x)|(x)|2

50、E1E2E3E4a/2a/2經(jīng)典理論中，處于無限深方勢阱中粒子的能量為連續(xù)值，各處概率相等。隨著能級的升高，幾率密度的峰值增多，當(dāng)n時，粒子在勢阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等，量子力學(xué)的結(jié)果過濾到經(jīng)典力學(xué)的情況。2022/7/11117如圖所示由前面的結(jié)果可得到在勢阱中僅討論EV0，在勢阱外（二）、一維有限深勢阱2022/7/11118在經(jīng)典物理中，如果粒子的總能量小于勢阱的高度，粒子由于無法越過這一能量差而只能在勢阱之內(nèi)運動但按照量子力學(xué)的觀點，勢阱之外的波函數(shù)并不等于零說明粒子可以穿透勢阱壁進(jìn)入勢阱之外的區(qū)域2022/7/11119邊界條件1、波函數(shù)是連續(xù)的2、波函數(shù)的一階微商是連續(xù)的歸一化條件（

51、不是必需的）2022/7/111202022/7/11121方勢壘如圖所示（三）、隧道效應(yīng)2022/7/11122邊界條件粒子從I區(qū)經(jīng)過勢壘進(jìn)入III區(qū)，稱作勢壘貫穿或隧道效應(yīng)可以計算出粒子流量，用幾率流密度表示2022/7/11123粒子從I區(qū)經(jīng)過勢壘進(jìn)入III區(qū)的穿透率可以如下計算僅需計算向右運動的粒子，即入射波或透射波即可2022/7/11124附注：掃描隧道顯微鏡STM 由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長度越為1nm。 只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的

52、距離非常接近時，它們的表面電子云就可能重疊。 若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會穿過電極間的勢壘形成隧道電流。 隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。 Scanning tunneling microscopySTM是觀察固體表面原子情況的超高倍顯微鏡。2022/7/11125 因為隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制針尖高度不變，通過隧道電流的變化可得到表面電子態(tài)密度的分布； 使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測到單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。 利用STM可以分辨表面上原子的臺階、平臺和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象空氣隙STM工作示意圖樣品探針2022/7/111262022/7/11127鑲嵌了48個 Fe 原子的 Cu 表面的掃描隧道顯微鏡照片。48 個 Fe 原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波：2022/7/11128由于這一貢獻(xiàn)，賓尼、羅赫爾和魯斯卡三人分享了 1986年度的諾