《正弦定理和余弦定理》整理與復(fù)習(xí)

1、正弦定理、余弦定理目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 使學(xué)生掌握正弦、余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程，能初步運(yùn)用正弦、余弦定理解斜三角形；2.熟記正弦、余弦定理及其變形形式；3. 通過(guò)正弦、余弦定理的推導(dǎo)表達(dá)數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)討論的思想。 重點(diǎn)：正、余弦定理的推導(dǎo)及應(yīng)用。難點(diǎn)：正、余弦定理的向量證明，兩個(gè)定理的綜合運(yùn)用。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：初中的三角知識(shí)1.中1一般約定：中角A、B、C所對(duì)的邊分別為、；2；3大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，即； 等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，即；4兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中，1，23，；，知識(shí)點(diǎn)二：正弦定理正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：一直角

2、三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：， ， ，即：， 二斜三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：法一：構(gòu)造直角三角形1當(dāng)為銳角三角形時(shí)如圖，作邊上的高線交于，那么:在中, ，即，在中, ,即,，即.同理可證2當(dāng)為鈍角三角形時(shí)如圖，作邊上的高線交于，那么:在中, ，即，在中, ,即,，即.同理可證法二：圓轉(zhuǎn)化法1當(dāng)為銳角三角形時(shí)如圖，圓O是的外接圓，直徑為，那么，為的外接圓半徑同理：，故：2當(dāng)為鈍角三角形時(shí)如圖，.法三：面積法任意斜中，如圖作，那么同理：，故，兩邊同除以即得：法四：向量法1當(dāng)為銳角三角形時(shí)過(guò)作單位向量垂直于，那么+= 兩邊同乘以單位向量，得(+)=，即， ，同理：假設(shè)過(guò)作垂直于得： ，2當(dāng)為鈍

3、角三角形時(shí)設(shè)，過(guò)作單位向量垂直于向量，同樣可證得：說(shuō)明：1正弦定理適合于任何三角形；2可以證明為的外接圓半徑；3每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一。 三利用正弦定理可以解決以下兩類(lèi)三角形的問(wèn)題： = 1 * GB3 兩個(gè)角及任意邊，求其他兩邊和另一角； = 2 * GB3 兩邊和其中邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊。知識(shí)點(diǎn)三：余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：一余弦定理的推導(dǎo)：中，及角，求角的對(duì)應(yīng)邊.證明：方法一：幾何法1當(dāng)為銳角三角形時(shí)如圖，作邊上的高根據(jù)勾股定理有：，中， = 即：.2當(dāng)為鈍角三角形且C為鈍角時(shí)如圖，作邊上的高 根據(jù)勾股定

4、理有：，.中， 即：仍然成立。3直角中，時(shí)，,那么，恰好滿足勾股定理。方法二：向量法1銳角中如圖， ，即： (*)同理可得：,注意：1推導(dǎo)*中，與的夾角應(yīng)通過(guò)平移后得到，即向量的起點(diǎn)應(yīng)重合，因此與的夾角應(yīng)為，而不是.2鈍角三角形情況與銳角三角形相同。3對(duì)于直角三角形中時(shí)，,那么，恰好滿足勾股定理。方法三：解析幾何方法利用兩點(diǎn)間距離公式這里我們只討論銳角三角形的情形，對(duì)于直角三角形和鈍角三角形的情形的討論相同。如下圖建立坐標(biāo)系.那么點(diǎn)，由、兩點(diǎn)間的距離可知，即整理得到.二余弦定理的變形公式： 三利用余弦定理可以解決以下兩類(lèi)三角形的問(wèn)題： 三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角； 三角形的三

5、條邊，求其三個(gè)角。知識(shí)點(diǎn)四：解三角形一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。規(guī)律方法指導(dǎo)1.利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：1兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；2兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；2.利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：1三邊，求三個(gè)角；2兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。3.解斜三角形的根本三角問(wèn)題：條件解法解的情況一邊和兩角例如a,B,C)1利用A+B+C=180，求A2應(yīng)用正弦定理求b,c唯一解兩邊和夾角例如a,b,C1應(yīng)用余弦定理求邊c2應(yīng)用正弦定理求a,b中較短的邊所對(duì)的角該角一定是銳角3利用A+B+C=180

6、，求第三個(gè)角.唯一解三邊例如a,b,c)法一:1、應(yīng)用余弦定理先求任意兩個(gè)角2用A+B+C=180，求第三個(gè)角法二:1、應(yīng)用余弦定理求a,b,c中最長(zhǎng)邊所對(duì)的角2、應(yīng)用正弦定理求余下兩個(gè)角中的任意一個(gè)該角一定是銳角3、利用A+B+C=180，求第三個(gè)角唯一解兩邊及其中一邊的對(duì)角例如a,b,A)此類(lèi)問(wèn)題首先要討論解的情況1應(yīng)用正弦定理，求另一邊的對(duì)角即角B2、利用A+B+C=180，求第三個(gè)角3、應(yīng)用正弦或余弦定理求第三邊兩解、一解或無(wú)解特別說(shuō)明：a，b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況；(1)假設(shè)A為銳角時(shí)：如圖：(2)假設(shè)A為直角或鈍角時(shí)：注意：對(duì)于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時(shí)要注意對(duì)解的討論，從而舍掉不合理的解。比方下面例2兩種方法不同，因此