高等數(shù)學(xué)A第1章81函數(shù)及其性質(zhì)修改通用PPT課件

1、高等數(shù)學(xué)A第1章81函數(shù)及其性質(zhì)修改1.1 函數(shù)及其性質(zhì)1.1.5 函數(shù)的概念 1.1.1-1.1.4集合集合的運算 區(qū)間與鄰域 函數(shù)定義函數(shù)定義域和函數(shù)圖形表示函數(shù)關(guān)系式的方法及分段函數(shù)1.1.9初等函數(shù) 1.1.8 函數(shù)的四則運算 復(fù)合函數(shù) 1.1.6 函數(shù)的特性 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的有界性函數(shù)的奇偶性函數(shù)的周期性1.1.7 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 反函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)習(xí)例1-7函數(shù)及其性質(zhì)1.1.1 集合2. 集合的表示法3.數(shù)集分類:1.1.2 集合的基本運算1.集合的概念對偶律：1.1.3 區(qū)間與鄰域區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)

2、間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.記作鄰域鄰域引入的作用:根據(jù)(0)的變化,刻畫去心鄰域1.1.4 映射的概念 映射的定義：設(shè)X, Y是兩非空集, 若存在對應(yīng)規(guī)則f, 使xX, 按照對應(yīng)規(guī)則 f, 都有唯一確定的yY與之對應(yīng), 則稱 f 是從X到Y(jié)的一個映射. 記作 f : XY, 或 f : xy , xX。xyABf稱y為x在f 下的像, 記作f (x),即 y = f (x).集合X 稱為映射 f 的定義域，記作D(f ),即D(f )= X。 X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域，記作R(

3、f )或 f (X)，即R(f ) = f(X) =yy=f(x), xX .而稱x為y在 f 下的一個原像。注1. 映射是一種建立在兩集合間的對應(yīng)規(guī)則, 它滿足X中任一元素x都能且只能對應(yīng)一個y, 但不同的x可以對應(yīng)同一個y, 即可以出現(xiàn)“多對一”的情形.注2. 在定義中并不要求對每一個yY, 都有一個x與這個y對應(yīng). 即，有些y可能并不是某個x的像.單射：設(shè)f : XY, xf (x). 若x1, x2X,當(dāng)x1 x2時, f(x1) f (x2).則稱f 是單射.滿射：設(shè)f : XY, xf (x). 若yY, xX, 使得 f (x) =y.則稱 f 是滿射.一一映射：若映射 f :

4、XY既是單射, 又是滿射. 則稱 f 是一個雙射也稱 f 是一一映射.復(fù)合映射：設(shè) g : XY1, f : Y2 Z, 其中Y1 Y2 ，則xX,經(jīng)過u Y1,有唯一的 yZ與之對應(yīng)，因此得到一個新的映射，記作 f 。g : X Z, 即 (f 。g)(x) = f (g(x), xX .稱f 。g 為 f 與 g 的復(fù)合映射。逆映射：設(shè) f : XY 的單射,若存在另一映射 g: R(f)X, 對每個y R(f) ，經(jīng)過g有唯一的xX與之對應(yīng)，且滿足關(guān)系f(x)=y，則稱g是f的逆映射，記作g =f 1 一一映射（雙射）必有逆映射1. 函數(shù)的定義1.1.5 函數(shù)的概念設(shè)D是實數(shù)集，稱映射

5、為定義在D上的函數(shù), 通常簡記為因變量自變量數(shù)集 D叫做函數(shù) f 的定義域 ,記作 , 即 可見, 函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射, 其值域總在 內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是：定義域與對應(yīng)法則故若兩個函數(shù)的定義域相同, 對應(yīng)法則也相同, 則這兩個函數(shù)就是相同的, 否則就是不同的. 判斷函數(shù) f 與 g 是否是同一函數(shù)？單值函數(shù)與多值函數(shù) 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)；否則叫做多值函數(shù)只有一個自變量的函數(shù)，稱為一元函數(shù). 表示函數(shù)的記號是可以任意選取的, 除了常用的 外, 還可以用其他的英文字母或希臘字母, 比如“ 、 、 ”等，相應(yīng)的函數(shù)可記為f

6、(2)自然定義域. 理論研究中, 對應(yīng)法則是用數(shù)學(xué)公式表示的函數(shù), 這種函數(shù)的定義域是使數(shù)學(xué)公式有意義的自變量的所有值構(gòu)成的實數(shù)集. 即當(dāng)函數(shù)由公式（表達(dá)式）給出時，使公式有意義的自變量的取值范圍就是函數(shù)的定義域. 如：分式的分母不為0；(3)定義域的表示法：不等式法，集合法，區(qū)間法，敘述法與圖示法. 2. 函數(shù)定義域的確定(1)由實際問題決定. 例 求函數(shù)的定義域解：所以函數(shù)的定義域為(1,2.3. 函數(shù)的圖形4. 分段函數(shù)對于自變量的不同值（或在不同區(qū)間上），函數(shù)的表達(dá)式不同，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(1) 絕對值函數(shù)(2) 符號函數(shù)11xyo（piecewise function） (3)

7、 取整函數(shù) y=xx表示不超過x的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(4) Dirichlet(狄利克雷)函數(shù)有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(5) 取最值函數(shù)yxoyxo(6) 整標(biāo)函數(shù)以自然數(shù)為自變量的函數(shù):圖形為一些離散的點構(gòu)成. 1.1.6 函數(shù)的特性1. 函數(shù)的單調(diào)性則稱 f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)上升或嚴(yán)格單調(diào)遞增（嚴(yán)格單調(diào)下降或嚴(yán)格單調(diào)遞減）.則稱 f(x)在I上單調(diào)上升或單調(diào)遞增(單調(diào)下降或單調(diào)遞減).單增和單減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，I 稱為單調(diào)區(qū)間. 由有限個單調(diào)函數(shù)組成的函數(shù)，稱為分段單調(diào)函數(shù). 如 2. 函數(shù)的有界性通常函數(shù)的

8、有界性與區(qū)間有關(guān)，上界與下界。3. 函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對稱yxox-x奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱yxox-x注意：(1) 若f(x)的定義域關(guān)于原點不對稱,則f(x)一定不是奇函數(shù)或偶函數(shù).即f(x)可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和. (3) 奇偶函數(shù)的性質(zhì) 偶函數(shù)的和與差仍是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和與差仍是奇函數(shù)；兩個奇（或偶）函數(shù)的積（或商）是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)；有限個偶函數(shù)的積仍是偶函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的積是偶函數(shù). 4. 函數(shù)的周期性任一周期函數(shù)都有無窮多個周期. 若在無窮多個周期中，存在一個最小的正數(shù)，則這個正數(shù)稱為最小正周期，簡稱周期.并非所有周期函數(shù)都有

9、最小正周期, 如Dirichlet函數(shù) 容易驗證這是一個周期函數(shù), 任何正有理數(shù)都是它的周期, 因為不存在最小的正有理數(shù), 所以Dirichlet函數(shù)沒有最小正周期. 1.1.7 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1. 反函數(shù) 定義：注意：(1)反函數(shù)的定義域和值域恰好是原來函數(shù)的值域和定義域.DWWD設(shè)函數(shù) 是單射，則它存在逆映射 , 稱此映射 為函數(shù) 的反函數(shù). 亦即(2)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于y=x對稱.反函數(shù)的求法：(1)一般先從方程y=f(x)中解出x, 然后再將所得結(jié)果中的 x與y互換位置即可;(2)對分段函數(shù),只要分段求出反函數(shù)便得. (3) 反函數(shù)的對應(yīng)法則是完全由原函數(shù)的對應(yīng)法則所確定 .

10、2. 復(fù)合函數(shù) 定義：注意：(2)復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.即不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的. 復(fù)合函數(shù)的求法：(1)對于非分段函數(shù)常用直接代入的方法；(2)對于分段函數(shù)常用討論的方法. 練習(xí) 1. 由函數(shù)可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)函數(shù)復(fù)合后一般應(yīng)重新驗證它的定義域注：以上例題和結(jié)論是針對復(fù)合函數(shù)定義中條件改為 時才有可能出現(xiàn)的情形。 而按照課件本身所給的復(fù)合函數(shù)定義則復(fù)合后的函數(shù)定義域不會發(fā)生變化。 分解到基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運算為止.1.1.8 函數(shù)的四則運算 函數(shù)的四則運算 這四種運算稱為函數(shù)的四則運算.設(shè)函數(shù) 的定義域分別為 ，則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算

11、:和差積商1.1.9 初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)(1) 常數(shù)函數(shù)(2) 冪函數(shù)(3) 指數(shù)函數(shù)(4) 對數(shù)函數(shù)(5) 三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)(6) 反三角函數(shù)定義域：-1,1值域：單調(diào)增加，有界函數(shù)定義域：-1,1值域：單調(diào)減少，有界函數(shù)定義域:值域：單調(diào)增加，有界函數(shù)定義域:值域：單調(diào)減少，有界函數(shù) 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).基本初等函數(shù)2. 初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).并非所有的函數(shù)都是初等函數(shù),分段函數(shù)一般不是初等函數(shù). 但也有例

12、外!3. 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)-都是初等函數(shù).例如 都是初等函數(shù). 一般說來, 分段函數(shù)不是初等函數(shù). 但有個別分段函數(shù)例外，例如因為它可以改寫為初等函數(shù)的形式.冪指函數(shù)是否為初等函數(shù)？它是由與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),故該冪指函數(shù)是一個初等函數(shù).解附：雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).(1) 雙曲函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)性？雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù),有界函數(shù),單調(diào)增加函數(shù)奇函數(shù)。雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)(2) 反雙曲函數(shù)奇函數(shù),雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)解：令則(舍去“-”)將字母 與 互換,得即例 求函數(shù) 的反函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù),雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(一些分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))三角函數(shù)冪函數(shù)反三角函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)的有限次