離散數(shù)學(xué)：6-5 環(huán)

1、第六章 群 、環(huán)、域123代數(shù)系統(tǒng)環(huán)子群及其陪集567群的同態(tài)及同構(gòu)群的定義域的特征 素域4多項(xiàng)式有限域86.5.1 環(huán) 的 定 義設(shè)R是一個(gè)非空集合, 其中有加“+”、乘“”兩種二元代數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)(R, +, )為一個(gè)環(huán)，如果1)a+b=b+a，2)a+(b+c)=(a+b)+c，3) R中有一個(gè)元素0，適合a+0=a，4) 對(duì)于R中任意a，有-a， 適合a+(-a)=0，5)a (b c)=(a b) c，6) a (b+c)=(a b)+(a c)， (a+b) c=(a c)+(b c)。 環(huán)的例所有整數(shù)在整數(shù)的加法與乘法下作成一個(gè)環(huán)(Z,+,)，叫做整數(shù)環(huán)。域上的所有n階矩陣在矩陣的加

2、法與乘法下作成一個(gè)環(huán)，叫做n階矩陣環(huán)。域上的所有多項(xiàng)式在多項(xiàng)式加法與乘法下作成一個(gè)環(huán)，叫做多項(xiàng)式環(huán)。整數(shù)模n的所有剩余類(lèi)集合在剩余類(lèi)加法與乘法下作成一個(gè)環(huán)。所有有理數(shù)、所有實(shí)數(shù)、所有復(fù)數(shù)在數(shù)的加法與乘法下都分別作成環(huán)，常稱(chēng)為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域。 性質(zhì)1 用數(shù)學(xué)歸納法，分配律可以推廣如下： a（b1+bn）=(ab1) +(abn) ， （a1+am）b= (a1b)+(amb)， 6.5.2 環(huán) 的 性 質(zhì)環(huán) 的 性 質(zhì)性質(zhì)2 a(c-b)=ac-ab，(c-b)a=ca-ba。證明：由a(c-b)+ab=a(c-b+b)=ac，得a(c-b)=ac-ab。同理，(c-b)a=ca-ba

3、。性質(zhì)3 a0=0，0a=0。證明：由性質(zhì)2，令b=c=0，得a(0-0)=(a0)-(a0)=0，(0-0)a=(0a)-(0a)=0， 即, a0=0，0a=0。 性質(zhì)4 a(-b)= -(ab)，(-a)b = -(ab)，(-a)(-b)=ab。證明：由性質(zhì)2，得 a(-b)=a(0-b)=a0 -ab = -(ab) ， (-a)b =(0-a)b=0b ab=-(ab)。因此， (-a)(-b) =-(-a)b)= -(-(ab)=ab。環(huán) 的 性 質(zhì)性質(zhì)5 對(duì)任意整數(shù)m，都有 a(mb) = (ma)b = m(ab)。 性質(zhì)6 am+n=aman，（am）n=amn。性質(zhì)7 在

4、交換環(huán)中，有第三指數(shù)律： (ab)n=anbn。環(huán) 的 性 質(zhì)性質(zhì)8 在交換環(huán)中二項(xiàng)式定理成立： (a+b)n = an + nan-1b + an-2b2 + + bn。用數(shù)學(xué)歸納法證明. 如果環(huán)R不只有一個(gè)元素而且有一個(gè)元素1適合對(duì)任意a R， 1a = a1 = a 則稱(chēng)R為含單位元環(huán)。例. 整數(shù)環(huán)為含單位元環(huán)，所有偶數(shù)在數(shù)的加法和乘法下作成的環(huán)不是含單位元環(huán)。 含單位元環(huán)性質(zhì)9 含單位元環(huán)R的單位元是唯一確定的。證明：若1、1為R的兩個(gè)單位元，則1=11=1。 性質(zhì)10 設(shè)環(huán)R有1，則10。證明：取aR, 且a0, 則a0=0, 而a1=a, 故10。 性質(zhì)11 任意環(huán)R均可擴(kuò)充成一個(gè)

5、含單位元環(huán)R+。證明：令R+=a+m| aR，mZ。規(guī)定：(a+m)+(b+n)=(a+b)+(m+n);(a+m)(b+n)=(ab+na+mb)+mn。則R+為環(huán)，其單位元為0+1。 含單位元環(huán)性質(zhì)若R是環(huán), S是R的非空子集, 若S在R的加法和乘法下仍是環(huán), 則稱(chēng)S是R的子環(huán)。結(jié)論：R本身以及0是R的兩個(gè)平凡子環(huán)。定理6.5.1 環(huán)R的子集S作成子環(huán)必要而且只要 （1）S非空； （2）若aS，bS，則a-bS; （3） 若aS，bS，則abS。 子環(huán)對(duì)于環(huán)來(lái)說(shuō)，若大環(huán)有單位元，子環(huán)未必有單位元.即使子環(huán)有單位元，其單位元未必與大環(huán)的單位元一致.若R是環(huán)，a,bR，如果a0，b0，但ab=

6、0，則稱(chēng)a，b為零因子。如果R沒(méi)有這樣的元素，則說(shuō)R無(wú)零因子。無(wú)零因子的環(huán)稱(chēng)為消去環(huán)。例. 整數(shù)環(huán)是消去環(huán)，矩陣環(huán)不是消去環(huán)，有零因子。比如，消去環(huán)性質(zhì)12 環(huán)R是消去環(huán) 當(dāng)且僅當(dāng)R中非零元消去律成立。證明：必要性。如果a0，且ab = ac，那么ab-ac = 0，即 a(b-c)= 0。因環(huán)R中無(wú)零因子，而a0，故必有 b-c= 0，即b = c，因此，左消去律成立，同理可證右消去律也成立。充分性。設(shè)消去律成立，即由a0，ab = ac可推出b = c。若 ab=0，而a0，則ab = a0，因而由消去律可得 b = 0。故R無(wú)零因子，R是消去環(huán)。 消去環(huán)的性質(zhì)性質(zhì)13 在消去環(huán)R中，不為

7、0的元素在加法下的周期相同。證明：(1) 若不為0的元素在加法下的周期都為0，則得證。(2) 否則，R中存在非零元素a，a的周期不是0，設(shè)為m，即ma = 0。 任取R中非零元b，則 a(mb) = (ma)b = 0b = 0，又由a0，且R無(wú)零因子知，mb=0，所以b的周期不是0，設(shè)為n，則n|m。消去環(huán)的性質(zhì)另一方面，(na)b=a(nb)=a0=0，又由b0，且R無(wú)零因子知，na=0。而a的周期為m，故m|n。因此，m=n。由b的任意性知，在消去環(huán)R中，不為0的元素在加法下的周期都與a的周期相同。 消去環(huán)的性質(zhì)性質(zhì)14 在消去環(huán)R中，不為0的元素在加法下的周期或?yàn)?或?yàn)橘|(zhì)數(shù)。證明：任取

8、元素aR，a0，且a的周期為n，故 na = 0。 (1) 若n=0，則得證。(2) 否則，只需證n是質(zhì)數(shù)。消去環(huán)的性質(zhì)用反證法。設(shè)n不是質(zhì)數(shù)，則n = n1n2， 且n11， n21。故1n1 n，1n2n。 顯然， n1a， n2a R，由a的周期為n知， n1 a0，n2a0。而 (n1 a)(n2a) =(n1 n2)(a a) = (na)a = 0 a = 0，故n1 a，n2a為零因子，與R無(wú)零因子矛盾。因此，原假設(shè)不對(duì)，n是質(zhì)數(shù)。 消去環(huán)的性質(zhì)整區(qū) 有單位元無(wú)零因子的交換環(huán)。理解整區(qū)定義 是含單位元環(huán)（至少兩個(gè)元素）、消去環(huán)、交換環(huán)。 想證明(R, +, ）是整區(qū)，需要證明：（

9、R,+）是Abel群;（R,）是半群，有單位元， 且交換律、消去律成立（無(wú)零因子）; 對(duì)+有分配律。 整區(qū)例. 整數(shù)環(huán)、有理數(shù)環(huán)、實(shí)數(shù)環(huán)、復(fù)數(shù)環(huán)都是整區(qū)。 例. 實(shí)數(shù)域上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下作成的n階矩陣環(huán)不是整區(qū)：不是交換環(huán)，不是消去環(huán)。 例. 整數(shù)模4的所有剩余類(lèi)集合Z4在剩余類(lèi)加法與乘法下作成一個(gè)有單位元的交換環(huán)，但不是整區(qū)：不是消去環(huán)。體如果環(huán)R的非零元素作成一個(gè)乘法群，則稱(chēng)環(huán)R為體。理解體的定義： 是含單位元環(huán)（至少兩個(gè)元素） 、消去環(huán)，任意非零元素在乘法下有逆，未必是交換環(huán)，因此未必是整區(qū)。想證明(R, +, ）是體，需要證明： （R,+）是Abel群;（R*,）是群

10、; 對(duì)+有左右分配律。例. 整數(shù)環(huán)不是體。有理數(shù)環(huán)、實(shí)數(shù)環(huán)、復(fù)數(shù)環(huán)都是體。 可見(jiàn)，整區(qū)未必是體。結(jié)論：假定R是無(wú)零因子的有限環(huán)，且不只有一個(gè)元素，則R必是一個(gè)體。證明：只需證明環(huán)R中所有非零元做成乘法群。由R中不只有一個(gè)元素，知R*非空。任取a,bR*，即a0，b0，由R無(wú)零因子，知ab0，即abR*。 由環(huán)R對(duì)乘法適合結(jié)合律知，R*對(duì)乘法亦適合結(jié)合律。由R無(wú)零因子知，R*中消去律成立。由R有限，知R*有限。 所以環(huán)R中所有非零元做成乘法群，因而是體。 域域 交換體理解域的定義：是含單位元環(huán)（至少兩個(gè)元素）、消去環(huán)、交換環(huán)想證明(R,+,）是域，需要證明： （R,+）是Abel群；（R*,）是

11、Abel群； 對(duì)+有分配律。 在域中每一個(gè)非零元素都具有兩個(gè)與之相聯(lián)系的周期，一個(gè)是在加法群中的加法周期，一個(gè)是在乘法群中的乘法周期。例. 有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域都是域。其中每一非零元素的加法周期是0（無(wú)窮），1的乘法周期是1，-1的乘法周期是2，此外，其它非零元的乘法周期為0。在域中，ab-1可以寫(xiě)成 。結(jié)論1 域中所有非零元素都有相同的加法周期，且或?yàn)?，或?yàn)橘|(zhì)數(shù)。結(jié)論2 域是整區(qū)。結(jié)論3 有限整區(qū)是域。證法一：因?yàn)橛邢拚麉^(qū)是無(wú)零因子的有限環(huán)，且不只有一個(gè)元素，所以有限整區(qū)是體。再由整區(qū)是交換環(huán)，知，有限整區(qū)是交換體，因此是域。證法二：只需證明整區(qū)R中非零元做成乘法群。由R是整區(qū)，知R*

12、非空：1R* 。任取a,bR*，即a0，b0，由R無(wú)零因子，知ab0，即abR*。 由環(huán)R對(duì)乘法適合結(jié)合律知，R*對(duì)乘法亦適合結(jié)合律。 R*有乘法單位元1。任取aR*，由R無(wú)零因子知，R*中消去律成立，再由R*有限，知aR*=R*。由1R*，知1aR*，即有ak R*，使得aak=1，即每個(gè)非零元在乘法下有逆。所以有限整區(qū)中非零元做成乘法群，因而是體，再由整區(qū)是交換環(huán)，知，有限整區(qū)是域。 有限域的例設(shè)R=0,1,2,3,4，定義R上的運(yùn)算如下： ab=a+b(mod 5) ab=ab(mod 5)則可以證明（R，）是域。證明作為練習(xí)1，2，3，4的加法周期是？1，2，3，4的乘法周期分別是？

13、例. 設(shè)Zp是模p的剩余類(lèi)環(huán)， 則Zp是域 iff p是質(zhì)數(shù)。證明： 必要性。用反證法。假設(shè)p不是質(zhì)數(shù)，則p=a b，0ap ,0bp，于是ab=ab=p=0但 a 0， b 0，因此， a，b 為Zp的零因子，與Zp是域矛盾。充分性。顯然，Zp是交換環(huán)且有壹：1。故只需證Zp不含零因子，則Zp是有限整區(qū)，因此就是域。 用反證法。假設(shè)Zp含零因子，即其中存在元素a 0， b 0， 但ab=0， 由a 0， 知 p不整除 a；由b 0，知 p不整除 b；再由p是質(zhì)數(shù)，知p不整除ab。而由ab=ab=0， 知，p|ab，產(chǎn)生矛盾，因此， Zp不含零因子。還可以用域的定義來(lái)證。Zp中非零元的加法周期

14、是？四元數(shù) 取三個(gè)符號(hào)i，j，k，以實(shí)數(shù)a，b，c，d為系數(shù)而作形式的線性組合 a + bi + cj + dk。四元數(shù)間運(yùn)算的規(guī)定：（1）加法運(yùn)算 (a1 + b1i + c1j + d1k)+(a2 + b2i + c2j + d2k) =(a1 + a2)+(b1 + b2)i+(c1 + c2)j+(d1+d2)k。四元數(shù)體-是體但不是域的例（2）乘法運(yùn)算：先規(guī)定i，j，k之間的乘法： i2 = j2 = k2 = -1,ij = k,jk = i,ki = j；ji = -k,ik = -j,kj = -i。 四元數(shù)相乘-按組合律展開(kāi)再化去i，j，k的乘積而且并項(xiàng) （a1+b1i+c

15、1j+d1k）（a2+b2i+c2j+d2k）= a1a2 + a1b2i + a1c2j + a1d2k+ b1a2i - b1b2 + b1c2k - b1d2j + c1a2j - c1b2k - c1c2 + c1d2i+ d1a2k + d1b2j - d1c2i - d1d2= a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 +（a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2）i+（a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2）j+（a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2）k 在上面加法和乘法之下，所有四元數(shù)作成一個(gè)環(huán)： 加法Abel群，乘法半群，乘對(duì)加有

16、分配律。有壹： 1+0i+0j+0k任意非0四元數(shù)有逆。設(shè)四元數(shù)u = a +bi + cj + dk，定義其共軛四元數(shù)為 = a bi cj - dk則u = a2+b2+c2+d2。若u0（即若u0+0i+0j+0k），則u0，u-1 = 因此，此環(huán)是體，但不是域：ij=-ji ji。子體、子域定義. 體K的一個(gè)子環(huán)，若仍為體，則叫子體；若又為域，則叫K的子域。同樣，對(duì)于域F，也可以有F的子環(huán)和子域。例. 整數(shù)環(huán)是實(shí)數(shù)域的子環(huán)，實(shí)數(shù)域是復(fù)數(shù)域的子域。6.5.2 環(huán) 同 態(tài) 1 理想 2 環(huán) 中 合 同 關(guān) 系 3 環(huán) 同 態(tài) 與 同 構(gòu) 4 單純環(huán)與極大理想 1 理 想 定義. 設(shè)R是一個(gè)

17、環(huán)，R的一個(gè)子集N說(shuō)是R的一個(gè)理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱(chēng)理想，如果 （1）N非空； （2）若aN，bN，則a-bN; （3） 若aN，xR，則axN，xaN。平凡理想：0，R結(jié)論. 理想一定是子環(huán)，但子環(huán)未必是理想。理想的例例. 設(shè)I為整數(shù)環(huán)，mI是I的子環(huán)，且是I的理想。因?yàn)椋海?）mI非空；（2）若amI，bmI，則a-bmI; （3）若amI，xI， 則axmI，xamI。 理想的例例.設(shè)R為實(shí)數(shù)域上的二階正方矩陣環(huán)，形如 的所有元素組成的子集為N，則N為R的子環(huán)，但不是R的理想。比如，取x= R，a= N，則 xa = N。 結(jié)論6.5.1 任意體R只有平凡理想。證明： 任取R的理想N，若N=0，

18、則得證。否則，往證N=R。因N 0，故存在aN，且a 0。 于是有a的逆元素a-1R。由N為理想知，有a-1 aN，即R中的1N。從而對(duì)R中任意元素x，都有x = 1xN。 因此，R N。故N=R。 結(jié)論: 兩個(gè)理想的交集仍是理想。證明：設(shè)A和B是環(huán)R的兩個(gè)理想。(1)AB非空：因?yàn)?A且0B，故0AB。(2)對(duì)任意的x，y AB，有x，yA，而A是R的理想，故x-yA，同理有x-y B。于是x-yAB。(3)對(duì)任意的xAB，rR，有xA，rR，而A是R的理想，故xrA，rxA。同理又有xrB，rxB，于是xrAB，rxAB。 結(jié)論6.5.2 設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，aR，則aR=ar | r

19、R是R的理想，而且包含a。證明：(1) aR非空，因?yàn)?=a0aR，a=a1aR。(2) 若xaR，yaR，則存在r1，r2R， 使得x=ar1，y=ar2，故x-y = a(r1-r2)aR(3) 若zaR，rR，則存在r3R，使得 z = ar3， 故 zr = ar3r = a(r3r)aR，rz = rar3 =a(r r3)aR。因此，aR是含a的理想。 定義. 設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，aR，則 aR稱(chēng)為由a生成的主理想，記為(a)。顯然，(0)=0，(1)=R。 結(jié)論6.5.3 環(huán)R的主理想(a)是R中包含a的理想中最?。ㄔ诩习P(guān)系下）的理想。證明：設(shè)N是R中包含a的任一理想，

20、往證(a) N。任取x(a)，即xaR，則存在rR，使得x=ar。由aN， rR，N是理想知，arN，即xN。所以，（a） N。 主理想2 環(huán)中合同關(guān)系 定義. 設(shè)R是一個(gè)環(huán)，N是一理想。對(duì)于a，bR，如果有nN，使得 a=b+n，則稱(chēng)a和b模N合同，記為 ab (mod N)。 環(huán)中合同關(guān)系是等價(jià)關(guān)系：不過(guò)是加法群R模加法子群N的關(guān)系。N的一個(gè)剩余類(lèi): N在R中的一個(gè)陪集。 含a的剩余類(lèi):a+N. 例. 設(shè)R為整數(shù)環(huán)I，N=（m）=mI，則ab（mod N） iff a=b+n, nN iff a=b+mk iff ma-b iff ab（mod m）。I的關(guān)于N的陪集即是模m的剩余類(lèi)。定理

21、6.5.2 在環(huán)R中，對(duì)于模N，有(1)反身性：aa;(2)對(duì)稱(chēng)性：若ab，則ba;(3)傳遞性：若ab，bc，則ac;(4)加法同態(tài)性：若ab，cd，則acbd。(5)乘法同態(tài)性：若ab，cd，則acbd。 環(huán)中合同關(guān)系的性質(zhì) (1)至(3)在群中已證。（4）因?yàn)閍b，cd，故 a = b+n1，c = d+n2，n1N，n2N。于是 ac= b+n1 (d+n2)= bd +(n1 n2)又n1 n2 N，故acbd。（5）因?yàn)閍 b，cd，故a = b+n1，c = d+n2，n1N，n2N。于是 ac =bd+(bn2 + n1d + n1n2)。但N是一個(gè)理想，故bn2N，n1dN，

22、n1n2N，因而bn2 + n1d + n1n2N，故acbd.證明定義6.5.13 設(shè)R是一個(gè)環(huán), S是有加、乘兩種運(yùn)算的系統(tǒng)，稱(chēng)R到S中的映射是環(huán)R到S中的同態(tài)映射，如果 (a+b)=(a)+(b)，(ab)=(a)(b)。若R到R上有一個(gè)同態(tài)映射，則稱(chēng)R與R同態(tài)，記為RR。定義6.5.14 若是環(huán)R到R上的一對(duì)一的同態(tài)映射，則稱(chēng)是R到R上的同構(gòu)映射或同構(gòu)對(duì)應(yīng)。若R到R上有一個(gè)同構(gòu)映射，則稱(chēng)R與R同構(gòu)，記為R R。 3 環(huán)同態(tài)與同構(gòu) 定理6.5.3 設(shè)R是一個(gè)環(huán)，S是一個(gè)有加法和乘法的運(yùn)算系統(tǒng)。若是R到S中的一個(gè)同態(tài)映射，則R的映象R=(R)也是一個(gè)環(huán)， (0)就是R的零0， (-a)=-

23、(a)。若R有單位元而R不只有一個(gè)元素，則R有單位元而且(1)就是R的壹1； 若aR有逆，則(a)在R中有逆，而且(a-1)就是(a)-1。 設(shè)是環(huán)R到R上的同態(tài)映射，R的零0的逆映象-1(0)叫的核。-1(0)=x x R ,(x)=0 環(huán)的同態(tài)核定理6.5.4 設(shè)是環(huán)R到R上的同態(tài)映射，則的核N是R的一個(gè)理想。設(shè)a是R的任意元素，則 -1(a)=aR(a)=a是N的一個(gè)剩余類(lèi)。證明：因?yàn)槭荝的加法群到R的加法群上的同態(tài)映射，所以的核N=-1(0)是R的子群，且-1(a)是模N的一個(gè)剩余類(lèi)。再證N做成理想，若aN，xR，則 (ax)=(a)(x)=0(x)=0，故axN，同樣可證xaN。 環(huán)

24、的第一同態(tài)定理設(shè)R是環(huán)，N是R的理想，對(duì)R的關(guān)于N的剩余類(lèi)引進(jìn)運(yùn)算，規(guī)定： (a+N)+(b+N)=(a+b)+ N (a+N)(b+N )= ab + N剩余類(lèi)的加、乘 例.設(shè)R是整數(shù)環(huán)，N=5R= ,-10,-5,0,5,10, ，則N是R的理想。令R/N為R的關(guān)于N的所有剩余類(lèi)作成的集合： R/N=N，1+N，2+N，3+N，4+N，其中 N=0+N =,-10, -5, 0, 5, 10, ， 1+N =,-9, -4, 1, 6, 11, ， 2+N =,-8, -3, 2, 7, 12, ， 3+N =,-7, -2, 3, 8, 13, ， 4+N =,-6, -1, 4, 9,

25、 14, ，剩余類(lèi)間的加法運(yùn)算表：+ N1+N2+N3+N4+NNN1+N2+N3+N4+N1+N1+N2+N3+N4+NN2+N2+N3+N4+NN1+N3+N3+N4+NN1+N2+N4+N4+NN1+N2+N3+N剩余類(lèi)間的乘法運(yùn)算表： N1+N2+N3+N4+NNNNNNN1+NN1+N2+N3+N4+N2+NN2+N4+N1+N3+N3+NN3+N1+N4+N2+N4+NN4+N3+N2+N1+N若規(guī)定(a)= a+N， 則是環(huán)R到R/N上的同態(tài)映射，因?yàn)椋?a+b)=(a)+(b)，(a b)=(a) (b)。因此， (R/N，+ ，)是環(huán)。 的核為-1(0)= -1(N) =x

26、x R ,(x)=N = xx R ,x+N=N = xx R , x N =N 定理6.5.5 按照剩余類(lèi)的加法和乘法，R對(duì)于理想N的所有剩余類(lèi)的集合RN是一個(gè)環(huán)，若規(guī)定(a)= a+N，則是R到RN上的一個(gè)同態(tài)映射，其核為N。RN叫做R對(duì)于N的剩余環(huán) 環(huán)的第二同態(tài)定理定理6.5.6 若是環(huán)R到R上的一個(gè)同態(tài)映射，其核為N，則R與RN同構(gòu)：R RN。 證明：設(shè)a是R的任意元素，則-1(a)是N的一個(gè)剩余類(lèi)。規(guī)定R到RN上的映射 ：a -1(a) 。則是R到RN上的對(duì)應(yīng)的加群同態(tài)映射。環(huán)的第三同態(tài)定理只需證明乘同態(tài)，即若a，bR，往證（ab）=（a）（b）由a,bR,有a,b R,使得(a)=

27、a, (b)=b,于是，(ab)= -1(ab） = -1(a) (b) = -1(ab)=ab+N(a)(b)= -1(a) -1(b) = -1(a) ) -1( (b) =(a+N)(b+N)= ab+N故是R到RN上的一個(gè)同構(gòu)對(duì)應(yīng)。 證明設(shè)環(huán)R同態(tài)于R: RR, 同態(tài)核為N, 于是R與N之間的子環(huán)與R的子環(huán)一一對(duì)應(yīng)，大環(huán)對(duì)應(yīng)大環(huán)，小環(huán)對(duì)應(yīng)小環(huán)，理想對(duì)應(yīng)理想。 R與（0）間無(wú)理想 iff R與N間無(wú)理想。定理6.5.7定義.如果環(huán)R除自己和（0）外沒(méi)有別的理想，則稱(chēng)R為單純環(huán)。例. 設(shè)R是模5的整數(shù)環(huán):0，1，2，3，4。任取R的理想N,則從加法角度看，N是R的子群，故由Lagrange

28、定理，|N|R|。而|R|=5,所以|N|只能為1或5，亦即，N 或?yàn)?0)，或?yàn)镽，因此，R是單純環(huán)。 4 單純環(huán)與極大理想 定義. 環(huán)R的一個(gè)理想N說(shuō)是一個(gè)極大理想，如果NR，而R與N之間沒(méi)有別的理想。例. 設(shè)R是模12的整數(shù)環(huán)：0,1,2,11。設(shè)N1=6R=0，6,則N1是主理想,但非極大理想:有R的理想N2=2R=0,2,4,6,8,10,且N1 N2 R。N2是R的極大理想（因?yàn)镽的理想的元數(shù)整除R的元數(shù)，只可能為1，2，3，4，6，12，而N2的元數(shù)是6，故在R與N2之間不會(huì)有別的理想）。若取N3=3R=0,3,6,9,則N3也是R的極大理想?？梢?jiàn)，極大理想不唯一。 極大理想定理

29、6.5.8 若N是環(huán)R的理想，N R，則N是R的極大理想必 要而且只要RN是單純環(huán)。證明：因RRN，所以， N是R的極大理想 iff R與N之間沒(méi)有別的理想 iff RN與（0）間無(wú)理想 iff RN是單純環(huán)。極大理想與單純環(huán)的關(guān)系例 由上例，N2是R的極大理想，故由定理6.5.8，R/N2= N2 ,1+N2為單純環(huán)（驗(yàn)證：任取R/N2的理想S，則|S| R/N2 |。而|R/N2|=2,所以|S|只能為1或2，亦即，S 或?yàn)?0)，或?yàn)镽/N2，故 R/N2是單純環(huán)。 N1不是極大理想，則由定理6.5.8，R/N1=N1,1+N1,2+N1,3+N1,4+N1,5+N1不是單純環(huán)。(驗(yàn)證：

30、 S=N1, 3+N1為R/N1的在(0)與R/N1之間的理想)定理6.5.9 任意有單位元的交換的單純環(huán)R是一個(gè)域。證明： 只需證明R中任意非零元素有逆。任取aR，a0?？紤]aR=（a），因?yàn)閍0，又aaR。故aR（0）。但R為單純環(huán)，故aR=R。今R有壹，故1aR，即必有bR適合ab=1，即a在R中有逆b。單純環(huán)與域的關(guān)系定理6.5.10 任意域R是有單位元的交換的單純環(huán)。證明： R是域知，它是有單位元的交換環(huán)，且是體，而體只有平凡理想，故R是單純環(huán)。 R是域 iff R是有單位元的交換的單純環(huán)。單純環(huán)與域的關(guān)系定理6.5.11 設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，N是R的理想。于是，R/N是域 iff N是R的極大理想。極大理想與單純環(huán)、域的關(guān)系充分性：若N是R的極大理想，則由定理6.5.8， R/N是單