理論力學(xué)A課本習(xí)題答案：動(dòng)力學(xué)II第五章習(xí)題解答

1、PAGE 動(dòng)力學(xué)第五章部分習(xí)題解答5-2滑輪組上懸掛有質(zhì)量為10kg的重物和質(zhì)量為8kg的重物，如圖所示。忽略滑輪的質(zhì)量，試求重物的加速度及繩的拉力。解：M1gM2gFI2FI1x2x1取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，不考慮摩擦，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力為重物的重力。假設(shè)重物的加速度的方向豎直向下，則重物的加速度豎直向上，兩個(gè)重物慣性力為：(1)該系統(tǒng)有一個(gè)自由度，假設(shè)重物有一向下的虛位移，則重物的虛位移豎直向上。由動(dòng)力學(xué)普遍方程有：（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：M2gTa2（3）將(1)式和(3)式代入(2)式，可得對(duì)于任意有：方向豎直向下。取重物為研究對(duì)象，受力如圖所示，由牛頓第二定律有

2、：解得繩子的拉力。本題也可以用動(dòng)能定理，動(dòng)靜法，拉格朗日方程求解。5-4如圖所示，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在一線上，線的另一端繞在一半徑為R的固定圓柱體上，構(gòu)成一擺。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂部分長(zhǎng)度為l，且不計(jì)線的質(zhì)量，試求擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有一個(gè)自由度，取為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為：零勢(shì)面取圓柱軸線O所在的水平面為零勢(shì)面，系統(tǒng)的勢(shì)能為：拉格朗日函數(shù)，代入拉格朗日方程有：整理得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為：5-6質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿旋輪線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知旋輪線的方程為，式中是以O(shè)為原點(diǎn)的弧坐標(biāo)，是旋輪線的切線與水平軸的夾角。試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：h零勢(shì)面該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)有一

3、個(gè)自由度，取弧坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為：取軌線最低點(diǎn)O所在的水平面為零勢(shì)面，系統(tǒng)的勢(shì)能為：由題可知，因此有：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為：，解得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：，其中微積分常數(shù)。5-13質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)以勻角速度繞鉛垂直徑AB轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。試建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求維持圓環(huán)勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)所必需的轉(zhuǎn)矩。解：零勢(shì)面1.求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程圓環(huán)（質(zhì)量不計(jì)）以勻角速度繞鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，該系統(tǒng)有一個(gè)自由度，取角度為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為：取圓環(huán)最低點(diǎn)A所在的水平面為零勢(shì)面，系統(tǒng)的勢(shì)能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微

4、分方程為：2.求維持圓環(huán)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶如果求力偶，必須考慮圓環(huán)繞鉛垂軸AB的一般轉(zhuǎn)動(dòng)。因此解除“圓環(huán)繞鉛垂軸AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng)”這一約束，將力偶視為主動(dòng)力。此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，去角度和圓環(huán)繞軸AB的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的勢(shì)能不變，動(dòng)能表達(dá)式中以代替，則拉格朗日函數(shù)為：力偶為非有勢(shì)力，它對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)和的廣義力計(jì)算如下：取，在這組虛位移下力偶所作的虛功為，因此力偶對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；取，在這組虛位移下力偶所作的虛功為，因此力偶對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圓環(huán)繞鉛垂軸AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，即：，代入上式可得：5-14如圖所示，質(zhì)量為m的物體可繞水平軸轉(zhuǎn)

5、動(dòng)，軸又繞鉛垂軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。物體的質(zhì)心G在垂直于的直線上，。設(shè)和是物體過(guò)點(diǎn)的慣量主軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為和，物體對(duì)另一過(guò)點(diǎn)的慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，試求物體的動(dòng)能表達(dá)式并建立物體的運(yùn)動(dòng)微分方程。解： 以該物體為研究對(duì)象，有一個(gè)自由度，取和OC的夾角為廣義坐標(biāo)。若以框架為動(dòng)系，則物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是以角速度繞軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是以角速度繞軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物體的絕對(duì)角速度是和的矢量之和。為了方便起見(jiàn)，以為軸，為軸，如圖建立一個(gè)固連在物體上的坐標(biāo)系，將角速度是和在該坐標(biāo)系上投影有：。坐標(biāo)系xzyzGO3垂直于O1O2的平面y的三個(gè)坐標(biāo)軸為過(guò)點(diǎn)的三個(gè)慣量主軸，則系統(tǒng)的動(dòng)能為：取圓環(huán)最低點(diǎn)A所在的水平面為零勢(shì)面

6、，系統(tǒng)的勢(shì)能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得物體的運(yùn)動(dòng)微分方程為：5-15長(zhǎng)為2 l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB的兩端沿框架的水平及鉛垂邊滑動(dòng)，如圖所示，框架以角速度繞鉛垂邊轉(zhuǎn)動(dòng)。忽略摩擦，試建立桿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程。解：框架（質(zhì)量不計(jì)）以勻角速度繞鉛垂邊轉(zhuǎn)動(dòng)，該系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，有一個(gè)自由度，取AB桿與鉛垂邊的夾角為廣義坐標(biāo)。若以框架為動(dòng)系，AB桿上任意一點(diǎn)的速度是該點(diǎn)相對(duì)于框架的相對(duì)速度和隨框架運(yùn)動(dòng)的牽連速度的矢量和，且相對(duì)速度和牽連速度相互垂直。桿AB的動(dòng)能可表示為相對(duì)于框架運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和隨框架轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。AB桿相對(duì)于框架作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心為O點(diǎn)，設(shè)AB桿的質(zhì)心為C，由幾何關(guān)系

7、可知，則質(zhì)心為C的速度：CO桿AB相對(duì)于框架運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能：桿AB隨框架轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能。取為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：由于角描述的是桿AB相對(duì)于框架的位置變化，因此上式也就是桿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程。5-17重的楔塊可沿水平面滑動(dòng)，重的楔塊沿楔塊A的斜邊滑動(dòng)，在楔塊B上作用一水平力，如圖所示。忽略摩擦，角已知，試求楔塊A的加速度及楔塊B的相對(duì)加速度。xs解：取楔塊A，B構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取楔塊A水平滑動(dòng)的位移，以及楔塊B相對(duì)于A的沿斜面滑動(dòng)的位移為廣義坐標(biāo)。若以楔塊A為動(dòng)系，楔塊A的速度，楔塊B的速度，以及B

8、相對(duì)于A的相對(duì)速度滿足如下的矢量關(guān)系（方向如圖所示）：系統(tǒng)的動(dòng)能為：取過(guò)軸的水平為零勢(shì)面，系統(tǒng)的勢(shì)能為：則拉格朗日函數(shù)：將水平力視為非有勢(shì)力，它對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)和的廣義力計(jì)算如下：取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔塊A的加速度：，方向水平向右。楔塊B的相對(duì)加速度：，方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一質(zhì)量為m的三角形楔塊ABC，質(zhì)量為，半徑為的均質(zhì)圓柱沿楔塊的AB邊滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如圖所示。試求楔塊的

9、加速度及圓柱的角加速度。解：x零勢(shì)面取楔塊ABC和圓柱構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個(gè)自由度，取楔塊水平滑動(dòng)的位移，以及圓柱的轉(zhuǎn)角（A點(diǎn)=0）為廣義坐標(biāo)。若以楔塊為動(dòng)系，楔塊的速度，圓柱軸心O的速度，以及軸心O相對(duì)于A的相對(duì)速度滿足如下的矢量關(guān)系（方向如圖所示）：圓柱在斜面上作純滾動(dòng)有：。系統(tǒng)的動(dòng)能為： 取過(guò)楔塊上A點(diǎn)的水平為零勢(shì)面，系統(tǒng)的勢(shì)能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔塊的加速度：，方向水平向左。圓柱的角加速度：，順時(shí)針?lè)较颉?-21系統(tǒng)由定滑輪A和動(dòng)滑輪B以及三個(gè)重物組成，如圖所示。重

10、物的質(zhì)量分別為，滑輪的質(zhì)量忽略不計(jì)。若初始時(shí)系統(tǒng)靜止，試求欲使下降，質(zhì)量和之間的關(guān)系。解：x1x2以三個(gè)重物和滑輪構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個(gè)自由度。取重物的位移，以及重物相對(duì)于滑輪B的輪心位移為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為：假設(shè)時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能為零，則任意位置系統(tǒng)的勢(shì)能為：拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得重物的加速度：， 初始時(shí)刻系統(tǒng)靜止，若使下降則，即：5-22重的平臺(tái)AB置于水平面上，物體重，彈簧的剛度系數(shù)為k，如圖所示。在平臺(tái)上施加水平力，忽略摩擦。如果系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)彈簧物變形，試求平臺(tái)和物

11、體的加速度。xs解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取平臺(tái)的位移，以及物體相對(duì)于平臺(tái)的位移（彈簧原長(zhǎng)為坐標(biāo)原點(diǎn)）為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為：設(shè)初始時(shí)刻勢(shì)能為零，系統(tǒng)的勢(shì)能為：則拉格朗日函數(shù)：將水平力視為非有勢(shì)力，它對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)和的廣義力計(jì)算如下：取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得： （2）由方程(1)可得：（3）代入方程(2)得：（4）解微分方程（4）得：，其中：。求導(dǎo)得：，代入方程(3)可得：平臺(tái)的加速度：，方向水平向右。物體M的

12、加速度：，方向水平向右。5-27質(zhì)量為的滑塊可沿光滑水平面滑動(dòng)，質(zhì)量為的小球用長(zhǎng)為l的桿AB與滑塊連接，桿可繞軸A轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。若忽略桿的重量，試求系統(tǒng)的首次積分。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取滑塊的位移，以及桿AB與鉛垂方向的夾角為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為：設(shè)時(shí)勢(shì)能為零，系統(tǒng)的勢(shì)能為：拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)和時(shí)間t，存在循環(huán)積分和廣義能量積分，即：常數(shù)常數(shù)C5-28圖示質(zhì)量為的滑塊B沿與水平成傾角的光滑斜面下滑，質(zhì)量為的均質(zhì)細(xì)桿OD借助鉸鏈O和螺旋彈簧與滑塊B相連，桿長(zhǎng)為l，彈簧的剛度系數(shù)為k。試求系統(tǒng)的首次積分。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)有二個(gè)自由度，取滑塊B沿斜面的位移，以及桿OD與鉛垂方向的夾角為廣義坐標(biāo)。桿OD作平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)能為：設(shè)時(shí)勢(shì)能為零，系統(tǒng)的勢(shì)能為：拉格朗日函數(shù)中不顯含時(shí)間t，存在廣義能量積分，即：常數(shù)5-29半徑為、質(zhì)量為的圓柱，沿半徑為、質(zhì)量為的空心圓柱內(nèi)表面滾動(dòng)而不滑動(dòng)，如圖所示?？招膱A柱可繞自身的水