2022屆北京市西城區(qū)西城高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若兩個(gè)非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（ ）ABCD2等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）ABCD3黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)

2、濟(jì)是公眾將閑置資源通過社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（ ）ABCD4已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的通項(xiàng)公式（ ）ABCD5定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，已知是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD以上情況均有可能6函數(shù)f(x)sin(wx)(w0，)的最小正周期是，若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的解析式為（ ）Af(x)sin

3、(2x)Bf(x)sin(2x)Cf(x)sin(2x)Df(x)sin(2x)7如圖，在中，且，則（ ）A1BCD8設(shè)雙曲線（a0，b0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c,0）（c0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y22cx0截得的弦長為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）ABCD9已知，且，則（ ）ABCD10從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為ABCD11已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的取值為（ ）A-2B-1C1D212九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有

4、如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（ ）A10000立方尺 B11000立方尺C12000立方尺 D13000立方尺二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為 14如果橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在x軸上，且=, 那么橢圓的方程是 15已知復(fù)數(shù)z

5、是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a_，|z|_16若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.當(dāng)直線，的斜率之和為定值時(shí)，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理.18（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；比較與的大小; （2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)時(shí)，且有唯一零點(diǎn)，證明：19（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍

6、；（2）若為真命題且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20（12分）若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與

7、月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計(jì)：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.21（12分）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.22（10分）已知函數(shù)()求函數(shù)的極值；()若,且,求證：參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】設(shè)平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)平面向

8、量與的夾角為，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因?yàn)椋杂校菏欠匠痰亩?shí)根，又，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D考點(diǎn)：等比數(shù)列3D【解析】 根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知， 圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大， 它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D4C【解析】利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C

9、【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識(shí).5B【解析】由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對(duì)稱性可求在上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以且即，所以即，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵6D【解析】由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，得到 ，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數(shù)的周期求得，再由

10、平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，得到圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數(shù)的解析式為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.7C【解析】由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關(guān)系，再由三點(diǎn)共線，又得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C【點(diǎn)睛】此

11、題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.8C【解析】由題得，又，聯(lián)立解方程組即可得，進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得 又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y22cx0截得的弦長為2，所以 又 由可得：，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計(jì)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.9B【解析】分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)同角

12、三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要對(duì)已知真切求余弦的方法要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.10C【解析】由題可得，解得，則，所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為，故選C11B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f（0），求解即可；【詳解】f （x）的定義域?yàn)椋?，+），因?yàn)閒（x）a，曲線yf（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程為y2x，可得1a2，解得a1，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計(jì)算能力12A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：沿上棱兩端

13、向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱，則三棱柱的體積V1=12322=6， 四棱錐的體積V2=13132=2， 由三視圖可知兩個(gè)四棱錐大小相等，V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺故選A【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計(jì)算是解題的關(guān)鍵二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由已知，即，取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線，則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.14【解析】由題意可設(shè)橢圓方程為：短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在軸上又，橢圓的方程為，故答案為考點(diǎn)：橢

14、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解三角形以及解方程組的相關(guān)知識(shí)151 1 【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長公式計(jì)算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，解得a1，zi，|z|1，故答案為：1，1【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計(jì)算模長，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.16【解析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出得答案【詳解】，則，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17

15、（1）（2）直線過定點(diǎn)【解析】（1），再由，解方程組即可；（2）設(shè)，由，得，由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知：，又，且解得，橢圓方程為，（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，由，得.則，（*）由，得，整理可得（*）代入得，整理可得，又，即，直線過點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中，由，得，所以當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過定點(diǎn)綜上所述，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題，在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時(shí)，一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解，本題是一道中檔題.18（1）見解析，見解析；（

16、2）見解析【解析】（1）把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到，再求出，利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）由題意，在上有唯一零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增，得到由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即令，則，再由在上恒成立，得在上單調(diào)遞減，進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增，由此可得【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，又，切線方程為，即；令，則，在上單調(diào)遞減又，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即證明：（2）由題意，而，令，解得，在上有唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增在恒成立，且有唯一解，即，消去，得，即令，則，

17、在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又， ，在上單調(diào)遞增，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題19（1） （2）或【解析】（1）根據(jù)為真命題列出不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.【詳解】（1），且，解得所以當(dāng)為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由，可得，又當(dāng)時(shí)，.當(dāng)為真命題，且為假命題時(shí)，與的真假性相同，當(dāng)假假時(shí)，有，解得；當(dāng)真真時(shí)，有，解得；故當(dāng)為真命題且為假命題時(shí)，可得或.【點(diǎn)睛】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問

18、題，存在性問題，考查復(fù)合命題的真假判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.20（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有，共計(jì)10個(gè)，故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為；（2），故；（3）當(dāng)千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎(chǔ)題.21（1）見解析；（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由，進(jìn)而，由，得. 進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點(diǎn)，上的點(diǎn)，使，連接，得，得二面角