概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布

1、第2章 隨機(jī)變量及其分布問題一：為什么引入隨機(jī)變量?問題二：隨機(jī)事件與隨機(jī)變量的區(qū)別是什么？問題三：隨機(jī)變量的一些例子？1 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)的方法來研究，因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí)，就建立起了隨機(jī)變量的概念。 引入隨機(jī)變量后我們就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其規(guī)律的研究。問題一：為什么引入隨機(jī)變量？2問題二：隨機(jī)事件與隨機(jī)變量的聯(lián)系與區(qū)別是什么？隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情為隨機(jī)事件，比如，對(duì)1、2、3的數(shù)集抽取，A是抽中1，B是抽中

2、2，C是抽中3，那么A、B、C就是隨機(jī)事件。隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的變量，比如我們?cè)O(shè)抽中的是X，那么X可能是1，也可能是2，或是3。X完整的描述了該樣本空間，即X可能值的全部是樣本空間。隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)。3問題三 隨機(jī)變量的一些例子在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果很多本身就由數(shù)量表示（1）每天進(jìn)入教室的人數(shù)X（2）某個(gè)時(shí)間段吃飯排隊(duì)的人數(shù)X（3）電燈泡使用的壽命T而在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中，比如檢查一個(gè)產(chǎn)品是否合格，此時(shí)樣本空間S=合格品，不合格品，若用1對(duì)應(yīng)合格品，-1對(duì)應(yīng)不合格品，這樣就都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。41.隨機(jī)變量的引入從上面的例子可以看

3、出隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可用一個(gè)實(shí)數(shù)來表示，這個(gè)數(shù)隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而變化，它是樣本點(diǎn)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是我們要引入的隨機(jī)變量。52 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S，稱定義在樣本空間S上的實(shí)值函數(shù)X=X( )為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的表示：常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母 等表示隨機(jī)變量所取的值，一般采用小寫字母x,y,z 62 隨機(jī)變量的定義注意：(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同 隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別 ,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù))。 (2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律 隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)

4、的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.72 隨機(jī)變量的定義講課本例1，例2練習(xí)題:(1)在有兩個(gè)孩子的家庭中,考慮其性別 , 共有 4 個(gè)樣本點(diǎn):若用X表示該家女孩的個(gè)數(shù)時(shí)，則應(yīng)該怎么表示？82 隨機(jī)變量的定義(2)設(shè)盒中有5個(gè)球 (2白3黑), 從中任抽3個(gè),用隨機(jī)變量 X(e) 的所有可能取值是什么？（3）設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊 , 直到擊中目標(biāo)為止,用隨機(jī)變量 X(e) 的所有可能取值是什么？（4）某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過, 如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的, 用隨

5、機(jī)變量X(e) 的所有可能取值是什么？92.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布1.離散型隨機(jī)變量：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，如果它全部可能的取值只有有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè)，則稱X為一個(gè)離散隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量：假如一個(gè)隨機(jī)變量X的可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間（a,b）,則稱X為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。例（1）投擲一顆骰子點(diǎn)數(shù)X的可能取值只有1，2，3，4，5，6，則X是什么型的隨機(jī)變量？（2）電燈泡的使用壽命T，可能取值T0,所以T是一個(gè)什么型的隨機(jī)變量？102.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布2.概率分布定義1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 ， 稱為X的概率分布或分布律，也稱概率函數(shù)。X的概率分布常用表格

6、的形式來表示。講課本例1練習(xí)題：設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為X -1 2 3 0.25 0.5 0.25試求P(X0.5),P(-1X2.5)112.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布分布律的說明：當(dāng)已知一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布時(shí)，而且X所成的任何事件的概率都能夠求出來，122.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布3 常用離散分布兩點(diǎn)分布（0-1分布）：若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能取值，且其分布為則稱X服從 處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E，它只有兩種可能的結(jié)果A和 ，即A要么發(fā)生，要么不發(fā)生，則這種試驗(yàn)E總可以用（01）分布來描述，這種試驗(yàn)在實(shí)際中很普遍例如，拋擲硬幣試驗(yàn),A = “出現(xiàn)正

7、面”， “出現(xiàn)反面”；在射擊試驗(yàn)中， A=“命中目標(biāo)”, “未命中目標(biāo)”;它們都可用（01）分布來描述（01）分布是實(shí)際中經(jīng)常用到的一種分布132.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布二項(xiàng)分布：若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布由式給出，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為Xb(n,p)(或B(n,p).注：當(dāng)n=1時(shí)，隨機(jī)變量X即服從0-1分布在實(shí)際中，把概率很?。ㄒ话阋笤?.05以下）的事件稱為小概率事件由于小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性很小，因此，在一次試驗(yàn)中，小概率事件實(shí)際上是不應(yīng)該發(fā)生的. 這條原則我們稱它為實(shí)際推斷原理需要注意的是,實(shí)際推斷原理是指在一次試驗(yàn)中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生的

8、，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，小概率事件至少發(fā)生一次卻幾乎是必然的。如何證明以上這個(gè)結(jié)論是正確的呢？142.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布二項(xiàng)分布在經(jīng)濟(jì)管理方面的應(yīng)用：在實(shí)際問題中，很多商品的銷售量都是服從二項(xiàng)分布的。因?yàn)槊考唐范贾挥惺鄢龊蛶?kù)存兩種狀態(tài)，而每件商品售出的概率在一段時(shí)間內(nèi)是基本固定，因此商品的進(jìn)貨量即為二項(xiàng)分布中的參數(shù)n，參數(shù)p的值可利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)公式為p /n。 為所出售的商品的件數(shù)。在不增加成本的前提下, 追求利潤(rùn)的最大化是迫切需要解決的問題。其實(shí)在有些情況下, 產(chǎn)品可靠性數(shù)據(jù)可按二項(xiàng)分布加以分析, 我們只需作出小小的調(diào)整,就能收到良好的效果。152.2 離散型隨機(jī)

9、變量及其概率分布二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：（1）當(dāng)（n+1）p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率PX=k在k=(n+1)p時(shí)達(dá)到最大值（2）當(dāng)（n+1）p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率PX=k在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1時(shí)達(dá)到最大值講課本例3和例4注意二項(xiàng)分布b(n,p)和兩點(diǎn)分布的關(guān)系162.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布在實(shí)際中，我們經(jīng)常要計(jì)算n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利試驗(yàn)中恰好k次成功的概率 ，至少有次成功的概率為 等，當(dāng)n很大時(shí)，要計(jì)算出它們的確切數(shù)值很不容易,那我們應(yīng)該怎么做呢?172.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布泊松分布：若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布，記為XP( )泊松流:若隨

10、機(jī)事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松流。對(duì)泊松流，在任意時(shí)間間隔（0，t）內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布。 稱為泊松流的強(qiáng)度。182.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都可用泊松分布來描述例如,一批產(chǎn)品的廢品數(shù)；一本書中某一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某汽車站單位時(shí)間內(nèi)前來候車的人數(shù)；某段時(shí)間內(nèi)，某種放射性物質(zhì)中發(fā)射出的粒子數(shù)等等，均可用泊松分布來描述.泊松分布是概率論中的又一個(gè)重要分布，在隨機(jī)過程中也有重要應(yīng)用。192.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布在經(jīng)濟(jì)管理決策中，利用泊松分布可以合理安排工作崗位。 例如某車間有90臺(tái)相同的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器需要維修的概

11、率均為0.01，在同一時(shí)間每人只能維修一臺(tái)機(jī)器，在崗位設(shè)置中，不同的設(shè)置的方法使得機(jī)器出現(xiàn)故障而等待維修的概率是不同的。如果三個(gè)人明確分工，每人負(fù)責(zé)30臺(tái)，此時(shí)=0.3，機(jī)器需要維修的概率為PX1=0.0369；若三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)，此時(shí)=0.9，機(jī)器需要維修的概率為PX3=0.0135；通過概率的對(duì)比可知，共同協(xié)作比各自為政的維修效率有所提高。講課本例5202.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，對(duì)二項(xiàng)分布b(n,p)的概率計(jì)算起來不方便，此時(shí)須尋求某種近似計(jì)算方法，其中一種就是二項(xiàng)分布的泊松近似。定理1（泊松定理）：在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn(注意這與試驗(yàn)的次數(shù)n有關(guān))，如果 時(shí)， （ 為常數(shù)），則對(duì)任意給定的k,有 b(k,n, pn)=講課本例6，例7 212.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義1 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱F(x)=PXx 為X的分布函數(shù)。有時(shí)記作XF（x）這個(gè)概率具有什么特點(diǎn)呢?具有累積性這個(gè)概率與x有關(guān)，不同的x此累積概率的值也不同。注：X是數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間 的概率。222.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì) ，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間 的概率