復(fù)變函數(shù)與積分變換：1-2 冪與根、平面概念及復(fù)球面

1、第二節(jié) 冪與根、平面概念及復(fù)球面一、冪與根二、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、復(fù)球面四、小結(jié)與思考復(fù)平面上的曲線和區(qū)域一、冪與根1. n次冪:棣莫佛公式棣莫佛介紹2.棣莫佛公式當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí), 這些根又重復(fù)出現(xiàn). 從幾何上看, 例1解例2解即練習(xí)：2以方程 的根的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積為答案：例3解故原方程可寫成故原方程的根為 (a) 證明：二次方程 az2+bz+c = 0 (a 0)當(dāng) a, b, c為復(fù)常數(shù)時(shí)的求根公式為(b) 用(a)的結(jié)果求方程 z2 +2z + (1-i) = 0 的根.例4(a)證明：(b) 方程 z2 +2z + (1i) = 0 的根是練習(xí)

2、：解下列方程：答案：二、復(fù)平面上的曲線與區(qū)域區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界1. 區(qū)域鄰域:去心鄰域:內(nèi)點(diǎn):開集: 如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末G 稱為開集.聚點(diǎn)：若點(diǎn) z0 的任意鄰域內(nèi)都含有G 的無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱 z0 為G的聚點(diǎn).閉集：若G 的聚點(diǎn)都屬于G, 則稱G為閉集.有界點(diǎn)集和無界點(diǎn)集:區(qū)域: 如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1) D是一個(gè)開集；(2) D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.有界區(qū)域和無界區(qū)域:邊界點(diǎn)、邊界: 設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P 的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn), 也有不屬于D的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)P 我們稱為D的邊界

3、點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成 D 的邊界.說明區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.(1) 圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 帶形域:答案(1)有界; (2) (3) (4)無界.2、單連通域與多連通域連續(xù)曲線:由復(fù)數(shù)方程:那么所確定的平面點(diǎn)集稱為復(fù)平面上的連續(xù)曲線.光滑曲線: 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.簡(jiǎn)單曲線: 沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).換句話說, 簡(jiǎn)單曲線自身不相交. 簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界課堂練習(xí)判斷下列曲線是否

4、為簡(jiǎn)單曲線?答案簡(jiǎn)單閉簡(jiǎn)單不閉不簡(jiǎn)單閉不簡(jiǎn)單不閉單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為單連通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域.單連通域多連通域例5解所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為平面上曲線或區(qū)域可用復(fù)數(shù)形式的方程或不等式表示，反之亦然.例6解 滿足下列條件的點(diǎn)集是什么, 如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實(shí)軸的直線, 不是區(qū)域.單連通域.是多連通域.不是區(qū)域.無界的單連通域(如圖).例7求滿足不等式的點(diǎn) z 所構(gòu)成的點(diǎn)集，作出它的圖形.并指出它是有界還是無界區(qū)域，是單連通還是多連通的？

5、解即整理得從而有即它是以(5/2, 0)為圓心, 以3/2為半徑的圓周的外部，是無界多連通區(qū)域.Oxy(5/2, 0)三、復(fù)球面x2 + y2 + z2 =1球面上點(diǎn) N (0, 0 ,1) 稱為北極.， 復(fù)平面上點(diǎn) z對(duì)應(yīng)球面上點(diǎn) P.點(diǎn) P 坐標(biāo)為（(1t ) x, (1 t) y, t）并且點(diǎn) P 坐標(biāo)為解得反過來，球面上點(diǎn)P (x1, y1, z1)對(duì)應(yīng)著平面上的點(diǎn) 球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作.復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與球面上的北極 N相

6、對(duì)應(yīng). 因而球面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示. 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱為復(fù)球面.復(fù)球面的定義3. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, 或簡(jiǎn)稱復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)來說, 實(shí)部,虛部,輻角等概念均無意義, 它的模規(guī)定為正無窮大.四、總結(jié)與思考1.冪與方根的計(jì)算. 重點(diǎn)是方根的運(yùn)算.2. 掌握曲線和區(qū)域的概念，重點(diǎn)是判別不等式或方程代表的是否是區(qū)域、何種區(qū)域.3. 重點(diǎn)掌握復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)球面上的點(diǎn)如何對(duì)應(yīng).思考：無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域和去心鄰域應(yīng)如何定義？， 作業(yè): P12 4，6，10(3), (4)放映結(jié)束，按Esc退出.Abraham de