-期末隨機(jī)過程試題及答案

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考隨機(jī)過程期末考試卷1. 設(shè) A,B,C 為三個(gè)隨機(jī)事件，證明條件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB) 。1設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布，則 X 的特征函數(shù)為。2設(shè)隨機(jī)過程 X(t)=Acos( t+ ),-t 其中 為正常數(shù)， A 和 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 A 和 服從在區(qū)間 0,1 上的均勻分布，則 X(t) 的數(shù)學(xué)期望為。3強(qiáng)度為 的泊松過程的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從均值為的同一指數(shù)分布。4設(shè)W ,n1 是與泊松過程X(t),t0 對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則W 服2. 設(shè) X( t ), t0 是獨(dú)立增量過程 , 且

2、 X(0)=0, 證明 X( t ), t0 是一個(gè)馬爾科夫從分布。5袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的 t 對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量X(t)t,如果t時(shí)取得紅球，則 這個(gè)隨機(jī)過過程。3 te ,如果t時(shí)取得白球3. 設(shè)X ,n0 為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為I ，則對(duì)任意整數(shù) n0,1ln和程的狀態(tài)空間。 6 設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(p ) ， n 步轉(zhuǎn)移矩陣(n) P(p(n) ，二者之間ij的關(guān)系為。7設(shè)X ,n n0 為馬氏鏈，狀態(tài)空間I ，初始概率piP(X =i) ，絕對(duì)概率p (n) jP Xnj ， n 步轉(zhuǎn)移概率(n) p ij，三者之間

3、的關(guān)系為。8 設(shè)X(t),t0 是 泊 松 過 程 ， 且 對(duì) 于 任 意t2t 10則P X(5)6 |X(3)4_i, jI ， n 步轉(zhuǎn)移概率p(n)p( )p(n- )，稱此式為切普曼科爾莫哥洛夫方程，ijikkj9更新方程K tH ttK ts dF s 解的一般形式為。k I 證明并說明其意義。010記EXn,對(duì)一切a0，當(dāng)t時(shí)，Mt +aM t。得 分評(píng)卷 人二、證明題（本大題共4 道小題，每題 8 分，共 32 分）學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考4. 設(shè) N(t),t0 是強(qiáng)度為的泊松過程，Y ,k=1,2, k是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與N(t),t0 獨(dú)立，令X(t

4、)=N(t)Y ,t0，證明：若2 E(Y ) ，則2. 設(shè)顧客以每分鐘 2 人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2 分鐘內(nèi)到達(dá)的顧k=1客不超過 3 人的概率。E X(t)tE Y 1。3. 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨得 分評(píng)卷 人三、計(jì)算題（本大題共4 道小題，每題 8 分，共 32 分）1. 設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P1/32/3203，求其平穩(wěn)分布。而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài) 0，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。1/30/01/32/3學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)

5、，僅供參考得 分評(píng)卷 人四、簡答題（本題6 分）簡述指數(shù)分布的無記憶性與馬爾科夫鏈的無后效性的關(guān)系。4. 設(shè)有四個(gè)狀態(tài) I= 0 1 2 3， 的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=1 212001 212001 41414140001（）畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；（）對(duì)狀態(tài)進(jìn)行分類；（）對(duì)狀態(tài)空間 I 進(jìn)行分解。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考P(X(t)-X(tn)x-xnX(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=xn) = P(X(t)-X(tn)x-x ) ，又因?yàn)镻(X(t)x X(t )=x )=P(X(t)-X(tn)x-xnX(t )=x ) = P(

6、X(t)-X(tn)x-x ) ，故一 填空題。211 (sin( 2t+1)-sint)。31n P 。 7 p (n)i Ipip(n)。P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x ) =P(X(t)x X(t )=x ) 3. 1為e(e -1) it證明：(n) P ijP X(n)=j X(0)=iP X(n)=j,X(l)=k X(0)=i=4 5;e,e2。 6 (n) Pt,2t,k IijP X(n)=j,X(l)=kX(0)=i33k I818e69。KtHttKts dMs 10. a =k IP X(l)=k X(0)=iP X(n)=j X(l

7、)=k,X(0)=i=(l) (n-l)P P kj，其意義為 n 步轉(zhuǎn)0移概率可以用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。 4. 二證明題A )=右邊證明：由條件期望的性質(zhì)E X(t)E E X(t) N(t)，而tE Y 1。1. N(t)證明：左邊 =P(ABC) P(A)P(ABC) P(AB)P(C AB)P(BE X(t) N(t)nEY N(t)ni=1P(AB)P(A)nn 2. =EY N(t)n =EYi=nE(Y ) ，所以E X(t)i=1i=1三計(jì)算題（每題10 分，共 50 分）證明：當(dāng)0t1t2tnt 時(shí)，1. 解：P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t

8、)=x ) =學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考解方程組1,11,4)ke-4，則四. 簡答題（ 6 分）答：（略）13 213 12P 和i1，即23 213 23解得13323 33 11222,34，故平穩(wěn)分布為(1,27777772.解：設(shè)N(t),t0 是顧客到達(dá)數(shù)的泊松過程，2 ，故P N(2)=k(4)k!P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1 +P N(2)=2+P N(2)=3-4 e4e-4-4 8e32e-471-4 e333.解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為p 00P= p 10p 010.70.3 0.6，于是p 110.4(2) PPP=0.610.39，四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為(4) P(2) (2)P P0.57490.4251，從0.520.480.56680.4332而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為(4) P 000.5749 。4. 解：（ 1）圖略；（2）p 33 1, 而 p 30，p 31，p 32 均為零，所以狀態(tài) 3 構(gòu)成一個(gè)閉集， 它是吸收態(tài)，記 C = 3 ；0，1 兩個(gè)狀態(tài)互通，且它們不能